Typische Fehler

Falsch: P(Kopf; Kopf) = ½ + ½ = 1. Die Rechnung wirkt logisch: „Zwei Wege, also beide zusammenzählen.“ Das Ergebnis 1 heißt aber „sicheres Ereignis“ — zweimal Kopf ist ganz sicher nicht sicher.

Richtig: P(Kopf; Kopf) = ½ · ½ = ¼. Entlang eines Pfades wird multipliziert, weil beide Stufen nacheinander eintreten müssen. Addiert wird nur, wenn du mehrere verschiedene Pfade zusammenfasst, zum Beispiel P(genau einmal Kopf) = ¼ + ¼ = ½.

Falsch: P = ¾ + ½ = 1,25. Meist entsteht das, weil zwei Pfade addiert wurden, die sich überschneiden, oder weil zwei Stufen addiert statt multipliziert wurden. Viele schreiben das Ergebnis einfach hin, ohne es zu prüfen.

Richtig: Jede Wahrscheinlichkeit erfüllt 0 ≤ P ≤ 1. Kommt mehr als 1 heraus, ist die Rechnung falsch — nicht die Aufgabe. Prüfe: Habe ich Pfade addiert, die dasselbe Ergebnis doppelt zählen? Habe ich versehentlich statt · ein + benutzt?

Falsch: In einer Urne liegen 3 rote und 5 blaue Kugeln. P(rot; rot) = 3/8 · 3/8 = 9/64. Der Nenner 8 wird einfach beibehalten — die Zahl steht ja in der Aufgabe.

Richtig: P(rot; rot) = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 3/28. Nach dem ersten Zug fehlt eine rote Kugel: Der Zähler sinkt von 3 auf 2, der Nenner von 8 auf 7. Nur beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben beide Zahlen gleich.

Falsch: „Mindestens eine 6 in zwei Würfen“: P = 1 − (1/6)² = 35/36. Hier wurde das Gegenereignis vom falschen Ereignis gebildet. Andere rechnen richtig 1 − (5/6)² und ziehen das Ergebnis danach noch einmal von 1 ab — und landen bei 25/36.

Richtig: Gegenereignis von „mindestens eine 6“ ist „keine 6“: P(keine 6) = 5/6 · 5/6 = 25/36, also P = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 31 %. Das 1 − wird genau einmal angewendet.

Falsch: „Bei drei Münzwürfen mindestens einmal Kopf“: P = 3/8. Gezählt wurden nur KZZ, ZKZ und ZZK — also die Fälle mit genau einem Kopf.

Richtig: „Mindestens einmal“ heißt einmal, zweimal oder dreimal. Am schnellsten über das Gegenereignis: P = 1 − P(nie Kopf) = 1 − (½)³ = 7/8. Nur ZZZ fällt weg.

Falsch: P(A) = 0,3 und P(B) = 25 % → P(A oder B) = 0,3 + 25 = 25,3. Genauso häufig: 0,3 wird als „3 %“ gelesen oder ½ als „50“ eingesetzt.

Richtig: Erst in eine Schreibweise umrechnen: 25 % = 25/100 = 0,25. Dann 0,3 + 0,25 = 0,55 = 55 %. Und 0,3 sind 30 %, nicht 3 % — von Dezimalzahl zu Prozent wird mit 100 multipliziert.

Falsch: Am ersten Verzweigungspunkt stehen 0,4 für rot und 0,5 für blau. Das sieht harmlos aus, denn beide Zahlen sind kleiner als 1 — also wird weitergerechnet.

Richtig: An jedem Verzweigungspunkt müssen sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren, denn irgendein Ast tritt sicher ein. Richtig ist hier 0,4 und 0,6. Fehlen 0,1, ist ein dritter Ast vergessen worden.

Falsch: Ein Glücksrad hat drei Sektoren, also P(rot) = 1/3. Die Zählweise „Anzahl der Möglichkeiten“ sitzt tief — sie stimmt aber nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Richtig: Hier entscheidet der Flächenanteil: rot deckt die Hälfte ab, also P(rot) = 1/2, blau ein Drittel, gelb ein Sechstel. Die Laplace-Formel gilt nur bei einem Laplace-Experiment, zum Beispiel bei einem fairen Würfel oder einer fairen Münze.

Falsch: Zuerst wird gezeichnet, welche Kugel gezogen wird, und danach, aus welcher Urne sie kommt. Die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe werden dabei aus der falschen Urne abgelesen — das Ergebnis wirkt trotzdem „fertig“.

Richtig: Die Stufen folgen genau dem zeitlichen Ablauf des Versuchs: 1. Stufe Urne A oder B, 2. Stufe die Kugel aus der gewählten Urne. Nur so passen die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe zum jeweiligen Ast.

Falsch: „Ich habe viermal gewürfelt und dreimal eine 6 bekommen, also ist P(6) = 3/4.“ Umgekehrt genauso beliebt: „Nach fünf Nieten muss jetzt ein Gewinn kommen.“

Richtig: Die relative Häufigkeit ist ein Messwert aus einem Versuch, die Wahrscheinlichkeit eine feste Eigenschaft des Experiments. Erst bei vielen Versuchen nähern sie sich an (Gesetz der großen Zahlen). Beim fairen Würfel bleibt P(6) = 1/6 — auch nach fünf Nieten, denn der Würfel hat kein Gedächtnis.