Probe- Klassenarbeit : Zufallsexperimente – Mathe Klasse 8 einfach erklärt

Zum NachschlagenZurück zum KapitelAlle vier Unterkapitel, Reaktivierung, Lernkarten und die drei Übungsseiten nach AFB-Stufen auf einen Blick.

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So läuft es ab: Nimm dir 90 Minuten, Papier, Lineal und einen Taschenrechner. Bearbeite die zwanzig Aufgaben der Reihe nach — die drei Blöcke sind nach Anforderungsbereichen sortiert und werden von Block zu Block anspruchsvoller. Zeichne jedes Baumdiagramm sauber ins Heft und beschrifte jeden Ast mit seiner Wahrscheinlichkeit; die interaktiven Aufgaben haken sich ab, sobald sie stimmen. Runde Wahrscheinlichkeiten, wenn nichts anderes dabeisteht, auf drei Nachkommastellen. Erst wenn du fertig bist, klickst du unten auf „Auswerten“ — dann bekommst du Punkte, Note und alle Lösungswege.

AFB I

Wissen und Reproduzieren

25 Punkte

Grundwissen — Laplace und Grundbegriffe

AFB I 6 Punkte

Alle sechs Teilaufgaben sind Laplace-Experimente: Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich. Rechne mit der Formel „günstige durch mögliche Ergebnisse“ und runde auf drei Nachkommastellen. Komma oder Punkt sind beide erlaubt.

a) Ein Dodekaeder trägt die Zahlen 1 bis 12. P(Zahl ist durch 4 teilbar) 1 P

P =

b) Aus einem Skatblatt mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. P(Ass) 1 P

P =

c) Die sechs Buchstabenkarten des Wortes ZUFALL liegen verdeckt. P(Karte zeigt ein L) 1 P

P =

d) Ein Glücksrad hat fünf gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 5. P(nicht Feld 3) 1 P

P =

e) Eine Münze wird zweimal geworfen. Wie viele Ergebnisse hat die Ergebnismenge Ω? 1 P

Anzahl =

f) Von einem Ereignis E ist P(E) = 0,35 bekannt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. 1 P

P =

Ansatz: Schreibe für jede Teilaufgabe zuerst auf, wie viele Ergebnisse insgesamt möglich sind — das ist der Nenner. Danach zählst du die günstigen ab.Warum hilft das? Der häufigste Fehler in Klassenarbeiten ist ein falscher Nenner: 32 Karten, 12 Flächen, 6 Buchstabenkarten — die Gesamtzahl steht immer im Text.

Rechenweg: a) durch 4 teilbar sind 4, 8, 12, also 3 von 12. b) Ein Skatblatt hat 4 Asse unter 32 Karten. c) Im Wort ZUFALL kommt das L zweimal vor. d) Von 5 Feldern sind 4 nicht die 3. e) Zwei Stufen mit je 2 Ästen. f) P(Gegenereignis) = 1 − P(Ereignis).

Lösung: a) 3/12 = 0,25. b) 4/32 = 0,125. c) 2/6 ≈ 0,333. d) 4/5 = 0,8. e) 2 · 2 = 4 Ergebnisse. f) 1 − 0,35 = 0,65.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

a) Günstig sind 4, 8 und 12: P = 3 : 12 = 0,25

b) 4 Asse unter 32 Karten: P = 4 : 32 = 0,125

c) ZUFALL hat 6 Buchstaben, davon zwei L: P = 2 : 6 ≈ 0,333

d) Gegenereignis zu „Feld 3“: P = 1 − 1/5 = 4 : 5 = 0,8

e) Ω = {KK; KZ; ZK; ZZ}, also 4 Ergebnisse

f) P(E) = 1 − 0,35 = 0,65

Fachbegriffe im Text ergänzen

AFB I 4 Punkte

Setze die fünf Fachbegriffe an die richtige Stelle. Ein Begriff aus der Wortbank bleibt übrig — er gehört nicht in dieses Kapitel.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments gleich wahrscheinlich, heißt es . Fasst man mehrere Ergebnisse zusammen, etwa „Augenzahl größer als 4“, entsteht ein . Alles, was dazu nicht passt, bildet das ; beide Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1. Wiederholt man ein Experiment sehr oft und teilt die Trefferzahl durch die Versuchszahl, erhält man die . Um die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades zu bestimmen, benutzt du die .

Der „Median“ bleibt übrig — er gehört zur Statistik und sagt nichts über Wahrscheinlichkeiten aus.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

Reihenfolge der Lücken: Laplace-Experiment – Ereignis – Gegenereignis – relative Häufigkeit – Pfadmultiplikation. Übrig bleibt der Median.

Aussagen prüfen — stimmt oder stimmt nicht

AFB I 4 Punkte

Fünf Aussagen zum Kapitelstoff. Entscheide jedes Mal, ob die Aussage richtig ist. Du musst alle fünf hintereinander richtig einschätzen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die beiden Fallen sind das Verwechseln von Multiplizieren und Addieren sowie der Kurzschluss von der Wahrscheinlichkeit auf eine feste Trefferzahl.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4. Falsch sind Aussage 3 (entlang eines Pfades wird multipliziert) und Aussage 5 (eine Wahrscheinlichkeit garantiert keine feste Trefferzahl).

Bauteile eines Baumdiagramms benennen

AFB I 4 Punkte

Ein Reißnagel wird zweimal geworfen. Er landet mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 mit der Spitze nach oben (O) und mit 0,6 auf der Seite (S). Das Baumdiagramm dazu ist bereits gezeichnet. Klicke nacheinander die fünf gesuchten Bauteile an.

Klicke das gesuchte Element im Baumdiagramm an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Vier Bauteile gehören in jedes Baumdiagramm: die Wurzel links, die beschrifteten Äste, die Knoten als Zwischenstationen und die Pfadenden rechts. Die Astsumme stimmt auch hier: 0,4 + 0,6 = 1.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

Ein Reißnagel ist ausdrücklich kein Laplace-Experiment: Die beiden Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich. Die Werte 0,4 und 0,6 stammen aus einer langen Versuchsreihe, nicht aus einer Abzählung.

Wie viele Pfade hat der Baum?

AFB I 3 Punkte

In einer Pizzeria wählt der Automat rein zufällig aus: erst einen von 3 Teigböden, dann einen von 4 Belägen, zuletzt eine von 2 Größen. Wie viele Pfade hat das dreistufige Baumdiagramm?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

3 · 4 · 2 = 24 Pfade. Wer 9 rechnet, hat addiert statt multipliziert — an jedem der drei Böden hängen aber noch einmal alle Beläge und danach alle Größen.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

Anzahl der Pfade = Produkt der Astzahlen: 3 · 4 · 2 = 24 Pfade. Jeder Pfad steht für genau eine Pizza.

Ereignis und Wahrscheinlichkeit zuordnen

AFB I 4 Punkte

Aus einem Skatblatt mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. Das Blatt hat vier Farben zu je 8 Karten (Herz und Karo sind rot), darunter 4 Asse, 4 Buben, 4 Damen und 4 Könige. Verbinde jedes Ereignis mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Klicke links ein Ereignis an und dann rechts seine Wahrscheinlichkeit — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Alle fünf Ereignisse gehören zum selben Laplace-Experiment mit 32 gleich wahrscheinlichen Karten. Der Nenner ist deshalb jedes Mal 32 — nur die Zahl der günstigen Karten ändert sich.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

Herzkarte 8/32 = 0,25 · Ass 4/32 = 0,125 · rote Karte 16/32 = 0,5 · Bube, Dame oder König 12/32 = 0,375 · keine Herzkarte 24/32 = 0,75. Die letzte Zeile ist das Gegenereignis zur ersten: 1 − 0,25 = 0,75.

AFB II

Anwenden und Übertragen

44 Punkte

Sportfest — zwei Stationen

AFB II 6 Punkte

Beim Sportfest muss Merle zwei Stationen schaffen. Den Weitsprung besteht sie erfahrungsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit 0,7, den Sprint unabhängig davon mit 0,6. Das Baumdiagramm steht daneben. Runde auf drei Nachkommastellen.

a) P(sie besteht beide Stationen) 1 P

P =

b) P(sie besteht genau eine der beiden Stationen) 2 P

P =

c) P(sie besteht keine der beiden Stationen) 2 P

P =

d) Summe der Ergebnisse aus a), b) und c) als Probe 1 P

Summe =

Ansatz: Suche zuerst zu jeder Frage die passenden Pfade im Baumdiagramm und markiere sie mit dem Bleistift.Warum hilft das? Sobald du weißt, welche Pfade gemeint sind, ist der Rest reine Rechenarbeit: entlang jedes Pfades multiplizieren, zwischen den Pfaden addieren.

Rechenweg: a) 0,7 · 0,6. b) Zwei Pfade gehören dazu: (W|s) mit 0,7 · 0,4 und (w|S) mit 0,3 · 0,6. c) 0,3 · 0,4. d) Addiere deine drei Ergebnisse — zusammen mit nichts sonst decken sie alle vier Pfade ab.

Lösung: a) 0,42. b) 0,28 + 0,18 = 0,46. c) 0,12. d) 0,42 + 0,46 + 0,12 = 1. Diese Probe gehört in jede Klassenarbeit: Alle Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen ergeben immer 1.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

a) P(W|S) = 0,7 · 0,6 = 0,42

b) P(genau eine) = 0,7 · 0,4 + 0,3 · 0,6 = 0,28 + 0,18 = 0,46

c) P(w|s) = 0,3 · 0,4 = 0,12

d) 0,42 + 0,46 + 0,12 = 1 — die Probe stimmt, es fehlt kein Pfad.

W = Weitsprung bestanden, w = nicht bestanden; S = Sprint bestanden, s = nicht bestanden

Karaoke-Zettel ohne Zurücklegen

AFB II 6 Punkte

Beim Karaoke-Abend liegen 9 Zettel in einer Dose: 4 tragen einen Popsong, 5 einen Rocksong. Zwei Kinder ziehen nacheinander je einen Zettel, es wird nicht zurückgelegt. Runde auf drei Nachkommastellen.

a) P(der erste Zettel ist ein Popsong) 1 P

P =

b) Astwahrscheinlichkeit für „Popsong“ in der 2. Stufe, wenn zuerst ein Popsong gezogen wurde 1 P

P =

c) P(beide Zettel sind Popsongs) 2 P

P =

d) P(genau ein Popsong) 2 P

P =

Ansatz: Zeichne den zweistufigen Baum und schreibe an jeden Ast der 2. Stufe einen Bruch mit dem Nenner 8.Warum hilft das? Ohne Zurücklegen liegt vor dem zweiten Zug ein Zettel weniger in der Dose. Der Nenner 8 erinnert dich daran, auch den Zähler anzupassen.

Rechenweg: a) 4 von 9. b) Nach einem Popsong sind noch 3 Popzettel unter 8 Zetteln. c) 4/9 · 3/8. d) Zwei Pfade: 4/9 · 5/8 und 5/9 · 4/8 — beide ergeben 20/72.

Lösung: a) 4/9 ≈ 0,444. b) 3/8 = 0,375. c) 12/72 ≈ 0,167. d) 40/72 ≈ 0,556. Kontrolle: Auch P(beide Rock) = 5/9 · 4/8 = 20/72 gehört dazu, und 12 + 40 + 20 = 72.

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a) P = 4 : 9 ≈ 0,444

b) Es bleiben 3 Popzettel unter 8: P = 3 : 8 = 0,375

c) P = 4/9 · 3/8 = 12/72 ≈ 0,167

d) P = 4/9 · 5/8 + 5/9 · 4/8 = 20/72 + 20/72 = 40/72 ≈ 0,556

Rechenkette: Zahlenschloss

AFB II 5 Punkte

Ein Fahrradschloss hat drei Rädchen mit den Ziffern 0 bis 9. Arbeite dich Schritt für Schritt durch — jeder Schritt baut auf dem vorherigen auf.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Schreibe Dezimalzahlen mit Punkt, zum Beispiel 0.001.

Wie viele Einstellungen hat ein dreistelliges Zahlenschloss mit den Ziffern 0 bis 9? Pfade
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Schloss beim ersten Versuch zu treffen? P
Wie viele Einstellungen gibt es, wenn keine Ziffer zweimal vorkommen darf? Pfade
Wie wahrscheinlich sind bei einer zufällig eingestellten Zahl alle drei Ziffern verschieden? P
Und wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens zwei Ziffern gleich sind? P

10 · 10 · 10 = 1000 gegen 10 · 9 · 8 = 720 — derselbe Unterschied wie zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen. Und „mindestens zwei gleich“ rechnest du wieder über das Gegenereignis: 1 − 0,72.

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1000 Einstellungen · P(Treffer) = 0,001 · 720 Einstellungen ohne Wiederholung · P(alle verschieden) = 720 : 1000 = 0,72 · P(mindestens zwei gleich) = 1 − 0,72 = 0,28.

A10

Welche Pfadregel brauchst du?

AFB II 5 Punkte

Neun Aussagen, drei Bereiche. Entscheide jedes Mal, ob nur multipliziert wird, nur addiert wird oder beide Regeln nacheinander nötig sind.

Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 nur Pfadmultiplikation

2 beide Regeln nacheinander

3 nur Pfadaddition

Die Faustregel lautet: entlang eines Pfades multiplizieren, zwischen mehreren Pfaden addieren. Bei fast jeder Sachaufgabe brauchst du beides nacheinander.

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Nur multiplizieren musst du bei allem, was einen einzigen Pfad betrifft. Nur addieren musst du, wenn die Pfadwerte bereits fertig vorliegen. Beide Regeln brauchst du immer dann, wenn ein Ereignis aus mehreren Pfaden besteht, deren Werte du erst noch berechnen musst.

A11

Elfmeterschießen — das Gegenereignis nutzen

AFB II 6 Punkte

Jonas trifft beim Elfmeter mit der Wahrscheinlichkeit 0,8. Er schießt vier Elfmeter; die Schüsse beeinflussen sich nicht gegenseitig. Runde auf vier Nachkommastellen.

a) P(alle vier Schüsse sind Treffer) 1 P

P =

b) P(kein einziger Treffer) 1 P

P =

c) P(mindestens ein Fehlschuss) 2 P

P =

d) P(mindestens ein Treffer) 2 P

P =

Ansatz: Unterstreiche im Text das Wort „mindestens“. Genau dort lohnt sich das Gegenereignis, weil sonst sehr viele Pfade einzeln zu berechnen wären.Warum hilft das? Zu „mindestens ein Fehlschuss“ gehören 15 der 16 Pfade — zum Gegenereignis „kein Fehlschuss“ dagegen nur ein einziger.

Rechenweg: a) 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,8. b) Der Fehlschuss hat die Wahrscheinlichkeit 0,2; rechne 0,2 hoch 4. c) Gegenereignis zu a). d) Gegenereignis zu b).

Lösung: a) 0,8⁴ = 0,4096. b) 0,2⁴ = 0,0016. c) 1 − 0,4096 = 0,5904. d) 1 − 0,0016 = 0,9984. Merke: „mindestens ein Treffer“ ist das Gegenteil von „gar kein Treffer“ — nicht von „alle Treffer“.

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a) P = 0,8⁴ = 0,4096

b) P = 0,2⁴ = 0,0016

c) P(mindestens ein Fehlschuss) = 1 − P(alle Treffer) = 1 − 0,4096 = 0,5904

d) P(mindestens ein Treffer) = 1 − P(kein Treffer) = 1 − 0,0016 = 0,9984

A12

Der Weg zur vollen Punktzahl

AFB II 5 Punkte

Fünf Arbeitsschritte einer typischen Klassenarbeitsaufgabe sind durcheinandergeraten. Bringe sie in die Reihenfolge, in der du sie in der Arbeit abarbeiten solltest.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1 Den Text lesen und notieren, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird.

2 Das Baumdiagramm zeichnen und jeden Ast mit seiner Wahrscheinlichkeit beschriften.

3 An jedem Knoten prüfen, ob die Astsumme 1 ergibt.

4 Die günstigen Pfade markieren und entlang jedes Pfades multiplizieren.

5 Die Werte der günstigen Pfade addieren und einen Antwortsatz schreiben.

Punkte gibt es in der Klassenarbeit auch für den Weg: Wer das Baumdiagramm sauber zeichnet und die Astsumme prüft, findet Rechenfehler selbst — und bekommt Teilpunkte, selbst wenn am Ende eine Zahl nicht stimmt.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

Erst den Aufgabentyp klären (mit oder ohne Zurücklegen), dann das Diagramm zeichnen und beschriften, danach die Astsumme als Kontrolle, dann multiplizieren, zuletzt addieren und antworten.

A13

Relative Häufigkeit beim Kronkorken

AFB II 6 Punkte

Ein Kronkorken ist kein Laplace-Experiment — deshalb muss man seine Wahrscheinlichkeit durch Versuche schätzen. In einer ersten Versuchsreihe wird er 250-mal geworfen und landet 90-mal mit der Öffnung nach oben. Runde auf drei Nachkommastellen.

a) Relative Häufigkeit für „Öffnung oben“ in der ersten Reihe 2 P

h =

b) Wie viele Treffer erwartest du bei 1000 Würfen? 1 P

Anzahl =

c) Eine zweite Reihe mit 400 Würfen liefert 132 Treffer. Relative Häufigkeit dieser Reihe 1 P

h =

d) Relative Häufigkeit, wenn du beide Reihen zusammen auswertest 2 P

h =

Ansatz: Die relative Häufigkeit ist immer „Trefferzahl geteilt durch Versuchszahl“. Schreibe zu jeder Reihe beide Zahlen sauber untereinander auf.Warum hilft das? Beim Zusammenfassen zweier Reihen darf man die beiden relativen Häufigkeiten nicht einfach mitteln — man addiert Treffer und Versuche getrennt.

Rechenweg: a) 90 : 250. b) 0,36 · 1000. c) 132 : 400. d) (90 + 132) : (250 + 400) = 222 : 650.

Lösung: a) 0,36. b) etwa 360 Treffer. c) 0,33. d) 222 : 650 ≈ 0,342. Das Mittel aus 0,36 und 0,33 wäre 0,345 — leicht daneben, weil die zweite Reihe mehr Würfe hat und deshalb stärker zählt.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

a) h = 90 : 250 = 0,36

b) 0,36 · 1000 = etwa 360 Treffer (eine Schätzung, keine Garantie)

c) h = 132 : 400 = 0,33

d) h = (90 + 132) : (250 + 400) = 222 : 650 ≈ 0,342

A14

Glücksrad — Ereignisse und ihre Werte

AFB II 5 Punkte

Ein Glücksrad hat fünf gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 5. Es wird zweimal gedreht. Kreuze in jeder Zeile die richtige Wahrscheinlichkeit an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.

Ereignis bei zwei Drehungen	0,04	0,16	0,36	0,64
zweimal die 5
beide Male eine gerade Zahl
beide Male eine ungerade Zahl
mindestens einmal eine gerade Zahl
erst die 2, dann die 4

Jedes einzelne Feld hat die Wahrscheinlichkeit 0,2. Gerade Zahlen sind 2 und 4, zusammen 0,4; ungerade sind 1, 3 und 5, zusammen 0,6. Die letzte Zeile ist das Gegenereignis zur dritten: 1 − 0,36 = 0,64.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

zweimal die 5: 0,2 · 0,2 = 0,04 · beide gerade: 0,4 · 0,4 = 0,16 · beide ungerade: 0,6 · 0,6 = 0,36 · mindestens einmal gerade: 1 − 0,36 = 0,64 · erst 2, dann 4: 0,2 · 0,2 = 0,04.

AFB III

Beurteilen und Problemlösen

31 Punkte

A15

Popcorn — rückwärts gerechnet

AFB III 5 Punkte

In einer großen Popcorn-Tüte sind süße und salzige Stücke gemischt. Weil die Tüte sehr groß ist, ändert ein einzelnes Stück den Anteil praktisch nicht — du rechnest deshalb wie mit Zurücklegen. Jonas greift zweimal blind hinein. Bekannt ist nur: P(beide Stücke süß) = 0,36.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, bei einem Griff ein süßes Stück zu erwischen? 1 P

p =

b) In einer kleinen Probierschale liegen 20 Stücke im selben Verhältnis. Wie viele davon sind süß? 1 P

Anzahl = Stück

c) P(beide Stücke salzig) 1 P

P =

d) P(genau ein Stück süß) 1 P

P =

e) P(mindestens ein Stück süß) 1 P

P =

Ansatz: Schreibe die bekannte Gleichung hin: p · p = 0,36. Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 0,36 ergibt.Warum hilft das? Bei zwei gleichen Stufen ist die Pfadwahrscheinlichkeit ein Quadrat. Sobald du das siehst, wird aus der Wahrscheinlichkeitsaufgabe eine ganz normale Gleichung.

Rechenweg: a) Probiere systematisch: 0,5 · 0,5 = 0,25, 0,6 · 0,6 = 0,36 — treffer. b) 20 Stücke, davon der Anteil p. c) Salzig ist das Gegenereignis zu süß. d) Zwei Pfade gehören zu „genau einmal süß“. e) Nimm das Gegenereignis zu „beide salzig“.

Lösung: a) p = 0,6. b) 0,6 · 20 = 12 Stücke. c) 0,4 · 0,4 = 0,16. d) 0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,6 = 0,48. e) 1 − 0,16 = 0,84. Probe: 0,36 + 0,48 + 0,16 = 1.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

a) p · p = 0,36, also p = 0,6 (denn 0,6 · 0,6 = 0,36).

b) 0,6 · 20 = 12 süße Stücke unter 20.

c) P(salzig) = 1 − 0,6 = 0,4, also P(beide salzig) = 0,4 · 0,4 = 0,16.

d) P(genau einmal süß) = 0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,6 = 0,24 + 0,24 = 0,48.

e) P(mindestens einmal süß) = 1 − P(beide salzig) = 1 − 0,16 = 0,84.

Probe: 0,36 + 0,48 + 0,16 = 1 — alle vier Pfade sind erfasst.

A16

Fehlersuche im fremden Heft

AFB III 5 Punkte

Eine Mitschülerin hat ihre Notizen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung abgegeben. Drei der sechs Zeilen enthalten einen Fehler. Finde sie und begründe für dich selbst, was jeweils schiefgegangen ist.

In diesem Heft steht die Lösung einer Mitschülerin. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Drei Zeilen sind falsch. Zeile 2 und 4 sind derselbe Denkfehler in zwei Verkleidungen: plus statt mal. Zeile 5 zeigt, warum sich die Kontrolle „0 ≤ P ≤ 1“ lohnt.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

Zeile 2: Bei „mindestens“ führt das Gegenereignis zum Ziel: 1 − (5/6)² = 11/36 ≈ 0,306. Das Addieren der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten zählt den Fall „zweimal Sechs“ doppelt.

Zeile 4: Pfadmultiplikation statt Addition — längs eines Pfades wird multipliziert.

Zeile 5: Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1. Ein Ergebnis von 1,2 kann nie stimmen.

A17

Roboter-Wettbewerb

AFB III 6 Punkte

Beim Robotik-Wettbewerb schicken zwei Teams ihre Roboter unabhängig voneinander durch denselben Parcours. Roboter A schafft die Strecke mit der Wahrscheinlichkeit 0,9, Roboter B mit 0,85. Runde auf drei Nachkommastellen.

a) P(beide Roboter schaffen den Parcours) 1 P

P =

b) P(kein Roboter schafft den Parcours) 1 P

P =

c) P(mindestens ein Roboter schafft den Parcours) 1 P

P =

d) P(genau ein Roboter schafft den Parcours) 1 P

P =

e) Der Parcours wird 200-mal gefahren. Wie oft schaffen ihn erwartungsgemäß beide? 1 P

Anzahl = mal

f) Probe: Summe der Ergebnisse aus a), b) und d) 1 P

Summe =

Ansatz: Baue den zweistufigen Baum mit den Gegenwahrscheinlichkeiten 0,1 für A und 0,15 für B. Dann steht an jedem der vier Pfade sofort das passende Produkt.Warum hilft das? Vier Pfade bedeuten vier mögliche Ausgänge. Wenn alle vier notiert sind, musst du für jede Teilfrage nur noch die richtigen Pfade auswählen und addieren.

Rechenweg: a) 0,9 · 0,85. b) 0,1 · 0,15. c) Gegenereignis zu b). d) Zwei gemischte Pfade addieren. e) Multipliziere das Ergebnis aus a) mit 200. f) Alle vier Pfadwahrscheinlichkeiten aufsummieren.

Lösung: a) 0,765. b) 0,015. c) 1 − 0,015 = 0,985. d) 0,9 · 0,15 + 0,1 · 0,85 = 0,135 + 0,085 = 0,22. e) 0,765 · 200 = 153. f) 0,765 + 0,135 + 0,085 + 0,015 = 1.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

a) 0,9 · 0,85 = 0,765

b) 0,1 · 0,15 = 0,015

c) P(mindestens einer schafft es) = 1 − 0,015 = 0,985

d) P(genau einer) = 0,9 · 0,15 + 0,1 · 0,85 = 0,135 + 0,085 = 0,22

e) 0,765 · 200 = 153 Durchläufe, in denen beide bestehen. Das ist eine Erwartung, keine Garantie.

f) 0,765 + 0,22 + 0,015 = 1 — die drei sich ausschließenden Fälle decken alles ab.

A18

Bauplan einer Musterlösung

AFB III 5 Punkte

In der Bäckerei am Schulweg sind an jedem Tag mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 noch Franzbrötchen da. Mia geht an zwei Tagen hin. Gesucht ist P(an genau einem Tag gibt es Franzbrötchen). Baue aus den Bausteinen die vollständige Lösung — zwei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

So sieht eine volle Punktzahl aus: gegeben → Pfade suchen → multiplizieren → addieren → Antwortsatz. Die beiden Fallen sind das Addieren innerhalb eines Pfades und die vergessene zweite Reihenfolge (nur 0,24 statt 0,48).

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

P(genau einmal da) = 0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,6 = 0,24 + 0,24 = 0,48. Wer nur einen der beiden Pfade sieht, landet bei 0,24 — die Reihenfolge „erst ausverkauft, dann da“ gehört genauso dazu.

A19

Playlist im Shuffle — Strategie entwickeln

AFB III 5 Punkte

Auf Milenas Playlist liegen 10 Songs, 4 davon sind ihre Lieblingssongs. Der Shuffle spielt zwei verschiedene Songs hintereinander. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Lieblingssong dabei ist. Entscheide bei jedem Schritt, wie es weitergeht.

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch: Was ist als Nächstes zu tun? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Der komplette Weg: Modell klären (ohne Zurücklegen) → bei „mindestens“ zum Gegenereignis wechseln → den einen Gegenpfad ausrechnen → von 1 abziehen.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

P(kein Lieblingssong) = (6 : 10) · (5 : 9) = 30 : 90 = 1 : 3. Damit ist P(mindestens ein Lieblingssong) = 1 − 1 : 3 = 2 : 3 ≈ 0,667.

A20

Warum das kein Laplace-Experiment ist

AFB III 5 Punkte

Ein Radiergummi wird geworfen. Er bleibt entweder auf einer breiten Seite oder auf der schmalen Kante liegen. Ein Schüler behauptet: „Zwei Ergebnisse, also ist jedes 0,5 wahrscheinlich.“ Kreuze alle Aussagen an, die richtig begründen, warum das so nicht stimmt und wie man stattdessen vorgeht.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Ein Baumdiagramm darfst du auch hier zeichnen — nur die Zahlen an den Ästen musst du aus Versuchen gewinnen statt sie abzuzählen. Und geschätzt bleibt geschätzt: Der Wert wird zuverlässiger, aber nie exakt.

Lösungsweg anzeigen (nach dem Auswerten freigeschaltet)

Begründung: Ein Laplace-Experiment verlangt, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Beim Radiergummi ist die breite Seite deutlich stabiler als die Kante — die Symmetrie fehlt, die beim Würfel oder bei der Münze für gleiche Chancen sorgt.

Folgerung: Man wirft ihn sehr oft und nimmt die relative Häufigkeit als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Je größer die Versuchszahl, desto stabiler wird dieser Wert — exakt wird er nie. Mit diesen geschätzten Werten darf man anschließend ganz normal ein Baumdiagramm zeichnen und die Pfadregeln anwenden.

Probe-Klassenarbeit auswerten

Wenn du alle 20 Aufgaben bearbeitet hast, klicke auf „Auswerten“. Jede Teilaufgabe wird automatisch geprüft — du bekommst Punktzahl, Prozentwert, Note und alle Lösungswege.

Dein Ergebnis

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Aufgabe	Thema	Punkte

Gewertet wird pro Aufgabe anteilig: Jede richtig geprüfte Eingabe und jedes gelöste Widget bringt seinen Anteil an der Punktzahl der Karte. Eingaben, die du gar nicht geprüft hast, zählen als nicht gelöst — klicke also vor dem Auswerten überall auf „Prüfen“.

Notenschema

Punkte	Note	Beurteilung
100 – 92 P	1	sehr gut
91 – 80 P	2	gut
79 – 60 P	3	befriedigend
59 – 44 P	4	ausreichend
43 – 24 P	5	mangelhaft
23 – 0 P	6	ungenügend

Nach der Probe: so arbeitest du weiter

Die Punktzahl allein bringt dich nicht weiter — entscheidend ist, was du aus den Fehlern machst. Arbeite die folgenden vier Punkte im Heft ab.

Schreibe zu jeder Aufgabe, bei der du nicht die volle Punktzahl hast, in einem Satz auf, woran es lag: Rechenfehler, falsches Modell (mit statt ohne Zurücklegen), vergessener zweiter Pfad oder das übersehene Gegenereignis. Diese vier Ursachen decken fast alles ab.
Rechne alle Aufgaben mit weniger als der halben Punktzahl komplett neu — ohne in den Lösungsweg zu schauen. Erst danach vergleichst du.
Schau dir die Themenspalte der Ergebnistabelle an. Taucht ein Thema mehrfach mit Punktverlust auf, gehst du in das passende Unterkapitel zurück: 3.1 für Baumdiagramme, 3.2 für die Pfadmultiplikation, 3.3 für Pfadaddition und Gegenereignis, 3.4 für die klassischen Probleme.
Notiere zwei Aufgaben, deren Lösungsweg du auch nach dem Nachlesen nicht verstanden hast. Genau diese beiden bringst du mit in die nächste Stunde.

Probe-Klassenarbeit: Zufallsexperimente

Wissen und Reproduzieren

Anwenden und Übertragen

Beurteilen und Problemlösen

Probe-Klassenarbeit auswerten

Dein Ergebnis

Notenschema

Nach der Probe: so arbeitest du weiter