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Übungen: Zufallsexperimente — Additionsregel

Dreißig Aufgaben zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Begründen: günstige Pfade finden, Pfadwahrscheinlichkeiten addieren.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen sind fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Aufgaben zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du feststeckst, helfen dir die gestuften Tipps. Halte dich immer an dieselbe Reihenfolge: erst das Ereignis aufschreiben, dann die günstigen Pfade markieren, dann entlang jedes Pfades multiplizieren — und ganz zum Schluss zwischen den Pfaden addieren.

A1
Was sagt die 2. Pfadregel?
AFB I

Welche Aussagen über die 2. Pfadregel stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Merksatz: im Pfad mal, zwischen den Pfaden plus. Und weil ein Ereignis höchstens alle Pfade umfassen kann, ist P(E) niemals größer als 1.
A2
Stimmt’s? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um günstige Pfade, Summen und das Gegenereignis.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die beiden Stolperfallen sind das vertauschte Rechenzeichen und die Verwechslung von „genau einmal“ mit „mindestens einmal“.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen. Alle Pfade, die dazu passen, heißen die Pfade. Entlang eines Pfades du die Astwahrscheinlichkeiten, zwischen den Pfaden du sie. Bei „mindestens einmal“ ist der Umweg über das meistens schneller. Zur Kontrolle rechnest du am Ende die aus — sie muss 1 ergeben.

Der „Durchschnitt“ bleibt übrig — Wahrscheinlichkeiten werden nie gemittelt, sondern addiert.
A4
Drei Ereignisse, neun Beschreibungen
AFB I

Eine Münze wird zweimal geworfen. Z steht für Zahl, K für Kopf. Sortiere jede Karte zu dem Ereignis, das sie beschreibt.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1genau einmal Zahl
2mindestens einmal Zahl
3keinmal Zahl
Alle vier Pfade haben hier dieselbe Wahrscheinlichkeit 0,25. Die drei Ereignisse unterscheiden sich also nur darin, wie viele dieser Pfade günstig sind: 2, 3 oder 1.
A5
In welcher Reihenfolge rechnest du?
AFB I

Bringe die fünf Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1 Das Ereignis E in eigenen Worten aufschreiben.
2 Alle günstigen Pfade im Baumdiagramm markieren.
3 Für jeden markierten Pfad entlang des Pfades multiplizieren.
4 Die Pfadwahrscheinlichkeiten der günstigen Pfade addieren.
5 Das Ergebnis mit der Pfadsumme oder dem Gegenereignis kontrollieren.
Der häufigste Fehler ist, sofort zu rechnen. Wer das Ereignis nicht zuerst aufschreibt, übersieht fast immer einen günstigen Pfad.
A6
Ereignis trifft Pfadzahl
AFB I

Eine Münze wird dreimal geworfen — das Baumdiagramm hat 8 Pfade. Verbinde jedes Ereignis mit der Anzahl seiner günstigen Pfade.

Klicke links ein Ereignis an und dann rechts seine Pfadzahl — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
„Höchstens einmal Kopf“ bedeutet keinmal oder einmal, also 1 + 3 = 4 Pfade. Und das letzte Ereignis passt auf jeden Pfad — es ist das sichere Ereignis mit P = 1.
A7
Blitzrechnung: genau ein Treffer
AFB I

Mia trifft jeden Freiwurf unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 0,7. Sie wirft zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E: „genau ein Treffer“? Gib eine Dezimalzahl an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Günstig sind zwei Pfade: (Treffer|daneben) mit 0,7 · 0,3 = 0,21 und (daneben|Treffer) mit 0,3 · 0,7 = 0,21. Zusammen 0,42. Wer nur 0,21 notiert, hat den zweiten günstigen Pfad vergessen.
A8
Kreuztabelle: wie viele Pfade sind günstig?
AFB I

Eine Münze wird zweimal geworfen; das Baumdiagramm hat 4 Pfade. Kreuze in jeder Zeile die richtige Spalte an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Ereignis1 Pfad2 Pfade3 Pfade
genau zweimal Kopf
genau einmal Kopf
mindestens einmal Kopf
keinmal Kopf
der erste Wurf zeigt Zahl
Praktische Probe: „keinmal Kopf“ (1 Pfad) und „mindestens einmal Kopf“ (3 Pfade) sind Gegenereignisse — zusammen ergeben sie alle 4 Pfade.
A9
Begriffs-Memory
AFB I

Finde die sechs Paare aus Fachbegriff und Bedeutung.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Die beiden Pfadregeln werden am häufigsten verwechselt: Die erste macht aus vielen Ästen einen Pfadwert, die zweite macht aus vielen Pfadwerten eine Ereigniswahrscheinlichkeit.
A10
Rechenkette vorwärts
AFB II

Nele gewinnt jeden Ballwechsel beim Tischtennis unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 0,6. Es werden zwei Ballwechsel gespielt (G = gewonnen, V = verloren).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Schreibe Dezimalzahlen mit Komma. Enter prüft.
  1. Wie groß ist die Pfadwahrscheinlichkeit von (G|G)? P
  2. Wie groß ist die Pfadwahrscheinlichkeit von (G|V)? P
  3. Und die von (V|G)? P
  4. Wie groß ist P(„genau ein Ballwechsel gewonnen“)? P
  5. Wie groß ist P(„mindestens ein Ballwechsel gewonnen“)? P
Die vier Pfade sind 0,36 + 0,24 + 0,24 + 0,16 = 1 — die Pfadsumme stimmt. Für den letzten Schritt gibt es zwei Wege: 0,36 + 0,24 + 0,24 = 0,84 oder kürzer 1 − 0,16 = 0,84.
A11
Direkter Weg oder Gegenereignis?
AFB II

Ein Versuch mit drei gleichen Stufen hat 8 Pfade. Für jedes Ereignis kannst du entweder die günstigen Pfade direkt addieren oder den Umweg über das Gegenereignis nehmen. Ordne zu, welcher Weg weniger Rechenarbeit macht.

Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 direkt addieren ist kürzer
2 über das Gegenereignis ist kürzer
3 beide Wege gleich aufwendig
Zähle einfach ab: Hat dein Ereignis weniger günstige Pfade als sein Gegenereignis, rechnest du direkt. Hat es mehr, lohnt sich 1 − P(Gegenereignis). Bei 4 gegen 4 Pfade ist es egal.
A12
Fehlersuche: sechs Sätze zur Additionsregel
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 und Zeile 4 sind die beiden Klassiker: mal statt plus — und plus an einer Stelle, an der gar keine Pfade zusammengefasst werden. Zeile 6 ist der Grund, warum man günstige Pfade erst sauber auflistet.
A13
Jonas rechnet „mindestens eine Sechs“
AFB II

Jonas würfelt zweimal mit einem normalen Würfel und interessiert sich für E: „mindestens eine Sechs“. Begleite ihn Schritt für Schritt.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der komplette Weg: Ereignis aufschreiben → günstige Pfade suchen → prüfen, ob das Gegenereignis kürzer ist → rechnen. Beide Wege führen zu 11/36 — das ist die beste Probe.
    A14
    Entscheidungsbaum: Welcher Rechenweg?
    AFB II

    Situation: Ein Versuch mit drei Stufen, das Ereignis lautet E: „mindestens einmal Treffer“. Finde heraus, welcher Rechenweg der kürzeste ist.

    Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
      Bei drei Stufen gehören 7 von 8 Pfaden zu „mindestens einmal Treffer“, aber nur ein Pfad zum Gegenereignis „keinmal Treffer“. Deshalb ist der Umweg hier klar der kürzere Weg.
      A15
      Bauteile der Additionsregel finden
      AFB I

      Zwei Blumensamen werden eingepflanzt. Jeder Samen keimt unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 0,8.

      Klicke das gesuchte Element im Baumdiagramm an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

      Start 0,8 0,2 keimt nicht 0,64 0,16 0,16 0,04 (K|K) (K|N) (N|K) (N|N)
      Die vier Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 0,64 + 0,16 + 0,16 + 0,04 = 1. Deshalb ist P(mindestens ein Samen keimt) = 1 − 0,04 = 0,96 — oder eben 0,64 + 0,16 + 0,16.
      A16
      Musterlösung zusammenbauen
      AFB II

      Ein Gummibärchen-Automat gibt mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 ein rotes Bärchen aus. Du ziehst zweimal. Baue die vollständige Musterlösung für E: „genau einmal rot“ — zwei Bausteine sind Fallen.

      Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
      Die beiden Fallen sind die Klassiker: die beiden Pfade multiplizieren statt addieren — und die Astwahrscheinlichkeiten der Stufen addieren, ohne überhaupt Pfade zu bilden. Genau so sieht eine volle Punktzahl aus: gegeben, Ereignis mit günstigen Pfaden, 1. Pfadregel, 2. Pfadregel, Antwort.
      A17
      Schätz-Regler: viermal würfeln
      AFB II

      Ein normaler Würfel wird viermal geworfen. Schätze zuerst, wie wahrscheinlich mindestens eine Sechs ist — und rechne danach nach.

      Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
      0 %100 %
      Über das Gegenereignis: P(keine Sechs) = (5/6)4 = 625/1296 ≈ 0,482. Also P(mindestens eine Sechs) = 1 − 0,482 ≈ 0,518, rund 52 %. Die meisten schätzen viel zu niedrig — und wer 4 · 1/6 ≈ 67 % rechnet, viel zu hoch.
      A18
      Was passiert mit P(mindestens einmal Treffer)?
      AFB III

      Ausgangspunkt ist immer derselbe Versuch: zwei Stufen mit je p = 0,5, Ereignis E: „mindestens einmal Treffer“, also P(E) = 1 − 0,5 · 0,5 = 0,75. Schätze für jede Zeile ein, wie sich P(E) ändert — ohne lange zu rechnen.

      Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viel kleiner, 2 = etwas kleiner, 3 = bleibt gleich, 4 = etwas größer, 5 = viel größer. „Viel“ heißt: Der Wert ändert sich um mehr als 0,2. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
      1 = viel kleiner5 = viel größer
      Die Trefferwahrscheinlichkeit steigt von 0,5 auf 0,9.
      Es kommt eine dritte Stufe dazu, p bleibt 0,5.
      Die beiden Stufen werden in der Reihenfolge vertauscht.
      Die Trefferwahrscheinlichkeit sinkt von 0,5 auf 0,4.
      Das Ereignis wird zu „zweimal Treffer“ geändert, p bleibt 0,5.
      Die Werte der Reihe nach: 1 − 0,12 = 0,99 (viel größer), 1 − 0,53 = 0,875 (etwas größer), unverändert 0,75 (die Reihenfolge der Stufen ändert nichts), 1 − 0,62 = 0,64 (etwas kleiner) und 0,5 · 0,5 = 0,25 (viel kleiner, weil nur noch ein Pfad günstig ist).
      A19
      Rückwärts: von der Wahrscheinlichkeit zum Pfad
      AFB III

      Ein Basketballspieler wirft zweimal auf den Korb, in beiden Würfen mit derselben Trefferwahrscheinlichkeit p. Bekannt ist nur: P(keinmal Treffer) = 0,49. Arbeite dich Schritt für Schritt zurück.

      Löse die Schritte der Reihe nach. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet.
      Schritt 1: Der Pfad „keinmal Treffer“ ist ein einziger Pfad. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf nicht zu treffen?
      Nach der 1. Pfadregel gilt q · q = 0,49. Welche Zahl mal sich selbst ergibt 0,49?
      Schritt 2: Wie groß ist damit die Trefferwahrscheinlichkeit p in einem Wurf?
      Treffen und Nichttreffen sind Gegenereignisse in einer Stufe: p = 1 − q.
      Schritt 3: Wie groß ist P(mindestens einmal Treffer)?
      Hier musst du gar nichts Neues rechnen: Es ist das Gegenereignis zu „keinmal Treffer“.
      Schritt 4: Wie groß ist P(genau einmal Treffer)?
      Zwei günstige Pfade: (Treffer|kein Treffer) und (kein Treffer|Treffer), je 0,3 · 0,7.
      Probe: 0,49 + 0,42 + 0,09 = 1. Die drei Ereignisse „keinmal“, „genau einmal“ und „zweimal“ decken alle vier Pfade genau einmal ab — deshalb muss die Summe 1 ergeben.
      A20
      Pfade zum Ereignis bündeln
      AFB III

      Ein Saftautomat arbeitet in zwei Stufen: Zuerst wählt er die Sorte (Apfel mit 0,3, Birne mit 0,7), danach die Bechergröße (klein mit 0,4, groß mit 0,6). Das Baumdiagramm hat vier Pfade. Ihre Wahrscheinlichkeiten sind hier in Hundertsteln angegeben. Wähle die Pfade so aus, dass genau 30 Hundertstel, also P = 0,30 zusammenkommen.

      Klicke die Kärtchen an, die du dazunehmen willst. Tastatur: ←/→ wandern, Enter schaltet um. Die Summe rechnet sich live mit.
      0 Hundertstel
      Ziel: 30 Hundertstel
      12 + 18 = 30 — und das ist die einzige Möglichkeit. Die beiden gewählten Pfade sind genau die günstigen Pfade für „Apfelsaft“: 0,3 · 0,4 + 0,3 · 0,6 = 0,30. Alle vier Kärtchen zusammen ergeben 100 Hundertstel — die Pfadsumme 1.
      A21
      Zwei Exemplare in der Bücherei
      AFB I

      Die Schulbücherei besitzt von einem beliebten Roman zwei Exemplare. Jedes Exemplar ist unabhängig vom anderen mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 gerade ausgeliehen. Zeichne dir ein zweistufiges Baumdiagramm (A = ausgeliehen, V = verfügbar) und gib alle Ergebnisse als Dezimalzahl an.

      Ansatz: Schreibe zuerst alle vier Pfade untereinander auf: AA, AV, VA, VV. Dann siehst du sofort, welche Pfade zu welchem Ereignis gehören.Warum hilft das? Die Additionsregel braucht immer zuerst eine vollständige Pfadliste — erst danach entscheidest du, welche Pfade günstig sind.
      Rechenweg: Entlang jedes Pfades multiplizieren: AA = 0,6 · 0,6; AV = 0,6 · 0,4; VA = 0,4 · 0,6; VV = 0,4 · 0,4. Zu b) gehören zwei Pfade — addiere sie. Zu c) gehören drei Pfade, kürzer geht es über das Gegenereignis.
      Lösung: a) 0,6 · 0,6 = 0,36. b) 0,24 + 0,24 = 0,48. c) 1 − 0,36 = 0,64. d) 0,36 + 0,24 + 0,24 + 0,16 = 1 — das ist deine Kontrolle.
      A22
      Kugeln mit Zurücklegen
      AFB I

      In einer Urne liegen 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird zweimal gezogen und die Kugel jedes Mal wieder zurückgelegt. Gib alle Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl an.

      Ansatz: Beim Zurücklegen sind beide Stufen völlig gleich beschriftet — der Vorrat ändert sich nicht.Warum hilft das? Du musst die Astwahrscheinlichkeiten nur einmal ausrechnen und kannst sie in der zweiten Stufe unverändert übernehmen.
      Rechenweg: 3 von 10 Kugeln sind rot, also 3 : 10. Die vier Pfade: RR = 0,3 · 0,3; RB = 0,3 · 0,7; BR = 0,7 · 0,3; BB = 0,7 · 0,7. Bei d) ist „höchstens einmal Rot“ das Gegenereignis zu „zweimal Rot“.
      Lösung: a) 0,3. b) 0,09. c) 0,21 + 0,21 = 0,42. d) 1 − 0,09 = 0,91. Probe: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1.
      A23
      Drei Schultage, ein Bus
      AFB II

      Der Schulbus ist an jedem Tag unabhängig von den anderen Tagen mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 pünktlich. Betrachtet werden drei aufeinanderfolgende Schultage. Runde, falls nötig, auf drei Nachkommastellen.

      Ansatz: Bei drei Stufen hat der Baum 2 · 2 · 2 = 8 Pfade. Sortiere sie danach, wie oft der Bus verspätet war: 0-mal, 1-mal, 2-mal, 3-mal.Warum hilft das? So erkennst du sofort, wie viele Pfade zu einem Ereignis gehören — und genau diese Anzahl brauchst du beim Addieren.
      Rechenweg: a) 0,9 · 0,9 · 0,9. b) 0,1 · 0,1 · 0,1. c) Gegenereignis zu a): 1 − 0,729. d) Genau eine Verspätung passiert an Tag 1, Tag 2 oder Tag 3 — das sind drei gleich schwere Pfade zu je 0,1 · 0,9 · 0,9 = 0,081.
      Lösung: a) 0,729. b) 0,001. c) 1 − 0,729 = 0,271. d) 3 · 0,081 = 0,243. Kontrolle: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.
      A24
      Zwei Fragen einfach geraten
      AFB II

      In einem Onlinequiz gibt es zu jeder Frage vier Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Tim hat nicht gelernt und rät bei zwei Fragen rein zufällig. Gib die Ergebnisse als Dezimalzahl an.

      Ansatz: Fasse jede Frage zu nur zwei Ausgängen zusammen: richtig (r) oder falsch (f). Dann hat der Baum zwei Stufen mit je zwei Ästen.Warum hilft das? Du interessierst dich nur dafür, ob getroffen wurde — welche der drei falschen Antworten angekreuzt wurde, spielt keine Rolle. Zusammenfassen spart drei Viertel der Pfade.
      Rechenweg: P(r) = 1 : 4 = 0,25 und P(f) = 0,75. Die vier Pfade: rr = 0,0625; rf = 0,1875; fr = 0,1875; ff = 0,5625. Zu c) gehören zwei Pfade, zu d) drei — oder kürzer 1 − ff.
      Lösung: a) 0,25. b) 0,0625. c) 0,1875 + 0,1875 = 0,375. d) 1 − 0,5625 = 0,4375. Probe: 0,0625 + 0,375 + 0,5625 = 1.
      A25
      Reißnagel dreimal geworfen
      AFB II

      Ein Reißnagel bleibt beim Fallen mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 auf dem Rücken liegen (R), sonst auf der Seite (S). Er wird dreimal geworfen.

      Ansatz: Notiere für d) zuerst, welche Pfade genau zwei R enthalten: RRS, RSR, SRR.Warum hilft das? Alle drei Pfade haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, weil in jedem zweimal 0,6 und einmal 0,4 vorkommt. Statt dreimal zu rechnen, rechnest du einmal und multiplizierst mit 3.
      Rechenweg: a) 0,6 · 0,6 · 0,6. b) 0,4 · 0,4 · 0,4. c) Gegenereignis zu b). d) 0,6 · 0,6 · 0,4 = 0,144, davon drei Stück.
      Lösung: a) 0,216. b) 0,064. c) 1 − 0,064 = 0,936. d) 3 · 0,144 = 0,432. Kontrolle mit allen vier Fällen: 0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1.
      A26
      Mischaufgabe: Bonbons ohne Zurücklegen
      AFB II

      In einem Beutel liegen 3 rote und 2 gelbe Bonbons. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen und notierst nur die Farbe. Hier trifft dein Wissen aus 3.1 (Baumdiagramm aufbauen) auf 3.2 (entlang eines Pfades multiplizieren) und die neue Additionsregel.

      Ansatz: Ohne Zurücklegen schrumpft der Vorrat: Vor dem zweiten Zug liegen nur noch 4 Bonbons im Beutel. Schreibe an jeden Ast der 2. Stufe die passende neue Wahrscheinlichkeit.Warum hilft das? Die drei Regeln greifen ineinander: 1.1 liefert die Struktur, 1.2 die Pfadwahrscheinlichkeit, und erst zum Schluss addierst du die günstigen Pfade.
      Rechenweg: 1. Stufe: rot 3 : 5 = 0,6; gelb 2 : 5 = 0,4. Nach Rot bleiben 2 rote und 2 gelbe → 2 : 4 = 0,5. Nach Gelb bleiben 3 rote und 1 gelbes → 3 : 4 = 0,75. Pfade: rr = 0,6 · 0,5 = 0,3; rg = 0,6 · 0,5 = 0,3; gr = 0,4 · 0,75 = 0,3; gg = 0,4 · 0,25 = 0,1.
      Lösung: a) 2 · 2 = 4 Pfade. b) 0,5. c) 0,3 + 0,3 = 0,6. d) 1 − 0,1 = 0,9. Probe: 0,3 + 0,6 + 0,1 = 1. Beachte: Die Astwahrscheinlichkeiten sind in der 2. Stufe nicht mehr überall gleich — trotzdem wird genauso multipliziert und addiert.
      A27
      Rückwärts: unbekannte Fehlerquote
      AFB II

      Eine Maschine stellt Bauteile her. Jedes Bauteil ist unabhängig von den anderen mit derselben, noch unbekannten Wahrscheinlichkeit fehlerhaft. Aus einer Messung ist bekannt: Bei drei Bauteilen beträgt P(mindestens ein fehlerhaftes) = 0,488. Arbeite dich zurück.

      Ansatz: Drehe die Gegenereignis-Formel um. Aus P(mindestens eines) = 1 − P(keines) wird P(keines) = 1 − P(mindestens eines).Warum hilft das? Der Pfad „kein Fehler“ ist der einzige, der sich direkt als Produkt schreiben lässt. Über ihn kommst du an die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit.
      Rechenweg: a) 1 − 0,488. b) Gesucht ist eine Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert 0,512 ergibt — probiere 0,7 (= 0,343) und 0,8. c) 1 minus dein Ergebnis aus b). d) Drei Pfade zu je 0,2 · 0,8 · 0,8.
      Lösung: a) 0,512. b) 0,8, denn 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512. c) 0,2. d) 3 · 0,128 = 0,384. Kontrolle: 0,512 + 0,384 + 0,096 + 0,008 = 1.
      A28
      Trickaufgabe: Ninas Losrechnung
      AFB III

      Auf dem Schulfest gewinnt jedes Los unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit 0,25. Nina behauptet: „Bei vier Losen ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 = 1 — ich gewinne also ganz sicher.“ Prüfe das nach und runde auf drei Nachkommastellen.

      Ansatz: Ninas Rechnung addiert Äste, die zu verschiedenen Stufen gehören. Addiert werden aber nur fertige Pfadwahrscheinlichkeiten.Warum hilft das? Wenn eine Rechnung eine Wahrscheinlichkeit von genau 1 oder mehr liefert, ist das fast immer das Signal für genau diesen Fehler.
      Rechenweg: Rechne über das Gegenereignis. Kein Gewinn heißt viermal Niete: 0,75 · 0,75 · 0,75 · 0,75. Danach 1 minus dieses Ergebnis. Bei acht Losen hängst du vier weitere Faktoren 0,75 an — oder quadrierst dein Ergebnis von a).
      Lösung: a) 0,75 hoch 4 = 0,3164… ≈ 0,316. b) 1 − 0,316 = 0,684. c) 0,316 · 0,316 = 0,100, also 1 − 0,100 = 0,900. Selbst mit acht Losen bleibt eine Chance von rund 10 %, leer auszugehen — sicher ist gar nichts.
      Warum klingt Ninas Rechnung trotzdem so überzeugend?
      Weil Addieren bei der Additionsregel ja tatsächlich vorkommt — nur an einer anderen Stelle. Addiert werden dürfen ausschließlich die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade desselben Baumdiagramms, denn diese Pfade schließen sich gegenseitig aus. Ninas vier Zahlen gehören aber zu vier hintereinander liegenden Stufen; die zugehörigen Ereignisse können alle gleichzeitig eintreten und überschneiden sich dadurch. Sie zählt die Mehrfachgewinne mehrfach mit. Merksatz: erst entlang der Pfade multiplizieren, dann zwischen den Pfaden addieren — und wenn eine Wahrscheinlichkeit über 1 rutscht, wurde in der falschen Richtung addiert.
      A29
      Glücksrad mit drei Farben
      AFB III

      Ein Glücksrad hat drei unterschiedlich große Sektoren: rot mit 0,5, blau mit 0,3 und gelb mit 0,2. Es wird zweimal gedreht. Das Baumdiagramm hat neun Pfade — hier musst du die günstigen sorgfältig bündeln.

      Ansatz: Lege eine 3-mal-3-Tabelle an: Zeilen = 1. Drehung, Spalten = 2. Drehung. Jede Zelle ist ein Pfad, und in jede Zelle schreibst du das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten.Warum hilft das? Bei neun Pfaden verliert man beim Aufzählen leicht den Überblick. In der Tabelle markierst du die günstigen Zellen und addierst sie einfach ab.
      Rechenweg: b) Das sind die drei Zellen auf der Diagonale: 0,5 · 0,5 + 0,3 · 0,3 + 0,2 · 0,2. c) ist das Gegenereignis von b). d) Gegenereignis: beide Male nicht rot, also 0,5 · 0,5. e) Rot in der 1. und nicht rot in der 2. Drehung oder umgekehrt.
      Lösung: a) 3 · 3 = 9. b) 0,25 + 0,09 + 0,04 = 0,38. c) 1 − 0,38 = 0,62. d) 1 − 0,25 = 0,75. e) 0,5 · 0,5 + 0,5 · 0,5 = 0,5. Kontrolle: alle neun Pfadwahrscheinlichkeiten zusammen ergeben 1.
      Warum darf man für d) alle drei „nicht rot“-Äste zu einem einzigen Ast von 0,5 zusammenfassen?
      Weil blau und gelb sich gegenseitig ausschließen: In einer Drehung kann höchstens eines von beiden eintreten. Nach der Additionsregel darf man ihre Wahrscheinlichkeiten deshalb einfach addieren: 0,3 + 0,2 = 0,5. Aus dem dreiastigen Baum wird so ein zweiastiger mit den Ästen „rot“ (0,5) und „nicht rot“ (0,5). Das ist erlaubt, solange dich die Unterscheidung zwischen blau und gelb nicht interessiert — und es halbiert die Rechenarbeit von neun Pfaden auf vier.
      A30
      Begründung: erst mal, dann plus
      AFB III

      Begründe in eigenen Worten (4–6 Sätze): Warum wird entlang eines Pfades multipliziert, zwischen verschiedenen Pfaden aber addiert? Benutze dabei die Wörter „Stufe“, „Pfad“ und „Ereignis“. Schreibe deine Antwort zuerst ins Heft und klappe danach die Beispiellösung auf.

      Beispiellösung anzeigen
      „Innerhalb eines Pfades müssen alle Teilergebnisse gleichzeitig eintreten: erst das Ergebnis der ersten Stufe, dann das der zweiten und so weiter. Jede weitere Stufe verkleinert den Anteil noch einmal, deshalb wird multipliziert — das Ergebnis ist immer kleiner als die einzelnen Astwahrscheinlichkeiten. Verschiedene Pfade dagegen können nie zusammen eintreten; man landet am Ende an genau einem Pfadende. Wenn ein Ereignis zu mehreren Pfaden passt, sammelt man diese sich ausschließenden Möglichkeiten ein und addiert ihre Wahrscheinlichkeiten. Kurz: hintereinander heißt mal, nebeneinander heißt plus.“
      Woran erkennst du, dass dein Ergebnis nicht stimmen kann?
      An drei Warnzeichen. Erstens: Deine Wahrscheinlichkeit ist größer als 1 — dann hast du vermutlich Äste entlang eines Pfades addiert statt multipliziert oder einen Pfad doppelt gezählt. Zweitens: Dein Ergebnis für „mindestens einmal“ ist kleiner als das für „genau einmal“ — unmöglich, denn das erste Ereignis enthält das zweite vollständig. Drittens: Die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten deines Baumdiagramms ergibt nicht 1 — dann fehlt ein Pfad oder eine Astwahrscheinlichkeit ist falsch. Diese Pfadsumme ist die schnellste Kontrolle, die du hast.