Zweimal am Glücksrad des Sommerfests
AFB I–IIDas Glücksrad am Stand der 8b hat 5 gleich große Felder: eines ist ein Gewinnfeld (G), vier sind Nieten (N). Wer eine Karte kauft, darf zweimal drehen; das Rad ist nach jeder Drehung wieder im selben Zustand (Material M1).
Alle fünf Felder sind gleich groß, deshalb gilt in jeder Stufe \(P(G)=\frac{1}{5}\).
- Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(A\): „genau ein Gewinn“.
- Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(B\): „mindestens ein Gewinn“, indem du alle günstigen Pfade addierst.
- Zeige, dass du \(P(B)\) auch über das Gegenereignis erhältst, und erkläre, wann sich dieser Weg besonders lohnt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Günstige Pfade: GN und NG.
\(P(\text{GN})=\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{25}\) und \(P(\text{NG})=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{25}\)
\(P(A)=\frac{4}{25}+\frac{4}{25}=\frac{8}{25}=0{,}32=32\,\%\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Günstige Pfade: GG, GN und NG.
\(P(\text{GG})=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
\(P(B)=\frac{1}{25}+\frac{4}{25}+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}=0{,}36=36\,\%\)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gegenereignis \(\bar B\): „kein Gewinn“, also der Pfad NN.
\(P(\bar B)=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{25}\)
\(P(B)=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}=36\,\%\) — dasselbe Ergebnis wie in b).
Der Weg über das Gegenereignis lohnt sich immer dann, wenn zum gesuchten Ereignis viele Pfade gehören, zum Gegenereignis aber nur wenige. Bei vier Drehungen müsste man für „mindestens ein Gewinn“ 15 Pfade addieren — über das Gegenereignis bleibt es bei einem einzigen Pfad.
Stichprobe in der Schülerfirma
AFB II–IIIDie Schülerfirma bindet Notizbücher von Hand. In einer Kiste liegen 10 Bücher, von denen 3 einen Bindefehler haben (Material M2). Vor dem Verkauf werden zwei Bücher zufällig herausgegriffen und geprüft; ein geprüftes Buch wird nicht zurückgelegt.
Die Kiste wird nur dann freigegeben, wenn beide geprüften Bücher fehlerfrei sind.
| Angabe | Wert |
|---|---|
| Bücher in der Kiste | 10 |
| davon mit Bindefehler (F) | 3 |
| Stichprobe | 2 Bücher, ohne Zurücklegen |
| Freigabe der Kiste | nur bei zwei fehlerfreien Büchern |
F steht für „fehlerhaft“, O für „ohne Fehler“.
- Berechne die Wahrscheinlichkeiten aller vier Pfade und prüfe das Ergebnis mit der Pfadsumme.
- Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobe mindestens ein fehlerhaftes Buch enthält — einmal über die Summe der günstigen Pfade und einmal über das Gegenereignis.
- Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Kiste freigegeben wird, obwohl sie fehlerhafte Bücher enthält, und beurteile die Prüfregel.
- Ein Firmenmitglied schlägt vor, nur noch ein Buch zu prüfen: „Das geht doppelt so schnell und ist fast genauso gut.“ Nimm Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
1. Stufe: \(P(F)=\frac{3}{10}\), \(P(O)=\frac{7}{10}\). 2. Stufe nach F: \(\frac{2}{9}\) bzw. \(\frac{7}{9}\); nach O: \(\frac{3}{9}\) bzw. \(\frac{6}{9}\).
\(P(\text{FF})=\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{90}\)
\(P(\text{FO})=\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{9}=\frac{21}{90}\)
\(P(\text{OF})=\frac{7}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{21}{90}\)
\(P(\text{OO})=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{42}{90}\)
Pfadsumme: \(\frac{6+21+21+42}{90}=\frac{90}{90}=1\) ✓
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Über die günstigen Pfade: \(\frac{6}{90}+\frac{21}{90}+\frac{21}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}\approx 0{,}533\).
Über das Gegenereignis: \(1-P(\text{OO})=1-\frac{42}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}\approx 53{,}3\,\%\).
Beide Wege führen zum selben Ergebnis; der zweite kommt mit einer einzigen Pfadwahrscheinlichkeit aus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Freigabe bedeutet den Pfad OO: \(P=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}\approx 0{,}467=46{,}7\,\%\).
In fast der Hälfte aller Fälle wird also eine Kiste freigegeben, in der 3 von 10 Büchern fehlerhaft sind.
Die Prüfregel ist damit deutlich zu schwach: Eine Stichprobe von 2 Büchern erfasst nur einen kleinen Teil der Kiste. Wer die Fehlerquote wirklich senken will, muss mehr Bücher prüfen oder alle Bücher kontrollieren — die Wahrscheinlichkeit einer unentdeckten Fehlerkiste sinkt mit jedem zusätzlich geprüften Buch.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Bei nur einem geprüften Buch gilt \(P(F)=\frac{3}{10}=30\,\%\); mit zwei Büchern sind es nach b) \(\frac{8}{15}\approx 53{,}3\,\%\).
Die Entdeckungswahrscheinlichkeit fällt also um mehr als 23 Prozentpunkte — von „etwas mehr als der Hälfte“ auf „nicht einmal ein Drittel“. „Fast genauso gut“ trifft das nicht.
Ich halte den Vorschlag deshalb für nicht sinnvoll: Die eingesparte Zeit ist gering, der Verlust an Sicherheit dagegen erheblich. Sinnvoller wäre eher der umgekehrte Weg — eine größere Stichprobe.