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Übungen: Volumen eines Prismas

Fülle das Prisma mit Würfeln — Schicht für Schicht. Aus „Wie viel passt rein?“ entsteht die Formel V = G · h: Grundfläche mal Höhe.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Formel-Check
AFB I

Welche Aussagen über die Formel V = G · h stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
h ist immer die Höhe des Prismas, also der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. Eine Höhe innerhalb der Grundfläche steckt schon in G — genauso wie der Faktor ½ beim Dreieck.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um Grundfläche, Höhe und Volumen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die beiden falschen Aussagen sind die zwei häufigsten Stolperfallen: die Einheit der Grundfläche und die Verwechslung der beiden Höhen.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei jedem geraden Prisma berechnest du zuerst die . Danach multiplizierst du sie mit der des Prismas. Das Ergebnis heißt und wird in angegeben. Ein Würfel mit 10 cm Kantenlänge fasst genau einen .

Die „Oberfläche“ bleibt übrig — sie beschreibt, wie viel Papier man zum Einwickeln braucht, und wird in cm² gemessen. Volumen und Oberfläche sind zwei völlig verschiedene Größen.
A4
Volumen, Fläche oder Länge?
AFB I

Sortiere die Karten danach, welche Art von Größe sie beschreiben.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Volumen (cm³)
2Flächeninhalt (cm²)
3Länge (cm)
Die Einheit verrät die Dimension: cm ist eine Länge, cm² eine Fläche, cm³ ein Volumen. Wer „Wasser hineinfüllen“ und „Papier drumherum“ auseinanderhält, verwechselt Volumen und Oberfläche nie wieder.
A5
Rechenweg in Ordnung bringen
AFB I

In welcher Reihenfolge berechnest du das Volumen eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche?

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1 Die Form der Grundfläche erkennen — hier ein Dreieck.
2 Die Grundfläche berechnen: G = ½ · g · hD.
3 Die Höhe h des Prismas heraussuchen — nicht noch einmal die Dreieckshöhe!
4 Das Produkt V = G · h ausrechnen.
5 Das Ergebnis mit der Einheit cm³ aufschreiben.
Schritt 2 und Schritt 3 sind streng getrennt: In Schritt 2 arbeitest du innerhalb der Grundfläche, in Schritt 3 verlässt du sie und gehst in die dritte Dimension.
A6
Blitzrechnung
AFB I

Ein fünfseitiges Prisma hat die Grundfläche G = 45 cm² und die Höhe h = 12 cm. Berechne das Volumen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
V = 45 · 12 = 540 cm³. Kopfrechentrick: 45 · 12 = 45 · 10 + 45 · 2 = 450 + 90. Dass die Grundfläche fünfeckig ist, spielt keine Rolle — G ist ja schon fertig ausgerechnet.
A7
Begriffs-Memory
AFB I

Finde die sechs Paare aus Begriff und Bedeutung.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Das Paar 1 dm³ und 1 Liter ist die wichtigste Brücke zwischen Mathematik und Alltag: Ein Würfel mit 10 cm Kantenlänge fasst genau eine Milchtüte.
A8
Prisma trifft Volumen
AFB II

Verbinde jedes Prisma mit seinem Volumen — Kopfrechnen genügt.

Klicke links ein Prisma an und dann rechts sein Volumen — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Immer dasselbe Muster: Zahl vor cm² mal Zahl vor cm — und die Einheit wird cm³. Wenn G schon gegeben ist, brauchst du über die Form der Grundfläche gar nicht nachzudenken.
A9
Kreuztabelle: Wer hat welches Volumen?
AFB II

Fünf Prismen, drei mögliche Volumina. Kreuze für jede Zeile die richtige Spalte an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
PrismaV = 120 cm³V = 240 cm³V = 360 cm³
G = 20 cm², h = 6 cm
G = 40 cm², h = 6 cm
G = 45 cm², h = 8 cm
G = 30 cm², h = 8 cm
G = 24 cm², h = 5 cm
Zwei Zeilen landen jeweils in derselben Spalte: 40 · 6 und 30 · 8 ergeben beide 240 cm³. Gleiches Volumen bedeutet also nicht gleiche Form — ein flaches, breites Prisma kann genauso viel fassen wie ein schmales, hohes.
A10
Rechenkette: Regenrinne
AFB II

Eine Regenrinne ist ein liegendes Prisma. Ihre Querschnittsfläche ist ein Trapez mit a = 12 cm (oben), c = 8 cm (unten) und der Trapezhöhe hT = 5 cm. Die Rinne ist 200 cm lang.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Berechne zuerst die Grundfläche: G = ½ · (a + c) · hT. cm²
  2. Die Länge der Rinne ist die Höhe des Prismas: h = 200 cm. Wie groß ist V? cm³
  3. Wie viel ist das in Litern? (1000 cm³ = 1 Liter) Liter
  4. Die Rinne wird auf 400 cm verlängert, der Querschnitt bleibt gleich. Wie viele Liter fasst sie dann? Liter
G = ½ · 20 · 5 = 50 cm², V = 50 · 200 = 10 000 cm³ = 10 Liter. Beim letzten Schritt musst du nichts neu rechnen: Doppelte Länge bei gleicher Grundfläche bedeutet doppeltes Volumen.
A11
Welche Größe ist gemeint?
AFB II

Im Schema stehen sechs Größen eines Prismas. Klicke jeweils die gesuchte an.

Klicke das gesuchte Element im Schema an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Grundfläche G Höhe h des Prismas Höhe in der Grundfläche Mantelfläche Volumen V Oberfläche O
Drei Größen tragen das Wort „Fläche“ und werden in cm² gemessen: Grundfläche, Mantelfläche und Oberfläche. Nur die Grundfläche G steht in der Volumenformel — die Mantelfläche ist der Streifen ringsherum, die Oberfläche alles zusammen.
A12
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 4 ist der Klassiker in Klassenarbeiten: richtig gerechnet, aber die falsche Einheit hingeschrieben. Merke dir die Einheitenrechnung cm² · cm = cm³ — sie kontrolliert deine Rechnung ganz nebenbei.
A13
Lenas Rechenweg
AFB II

Begleite Lena durch eine Aufgabe — bei jedem Schritt entscheidest du, wie es weitergeht.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    In Sachaufgaben stehen oft mehr Angaben, als du brauchst. Wer zuerst die Formel hinschreibt, erkennt die überflüssige Zahl sofort — und multipliziert nicht versehentlich alles miteinander.
    A14
    Entscheidungsbaum: Wie komme ich an V?
    AFB II

    Situation: Du sollst das Volumen eines Prismas bestimmen. Die Grundfläche ist ein Dreieck; ihr Flächeninhalt G ist nicht angegeben, wohl aber die Grundseite g und die Dreieckshöhe hD. Finde den passenden Weg.

    Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
      Alle Wege enden bei derselben Formel V = G · h. Der Baum klärt nur, wie viel Arbeit vorher nötig ist — ob G geschenkt wird oder ob du sie erst aus der Grundfläche berechnen musst.
      A15
      Musterlösung zusammenbauen
      AFB II

      Baue die vollständige Musterlösung für ein Dreiecksprisma mit g = 12 cm, hD = 5 cm und der Prismenhöhe h = 7 cm — zwei Bausteine sind Fallen.

      Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
      Die beiden Fallen sind das doppelt gerechnete ½ und die Flächeneinheit cm² beim Volumen. So sieht eine volle Punktzahl aus: gegeben, Grundfläche, Formel, einsetzen, Antwort mit Einheit.
      A16
      Was passiert mit dem Volumen?
      AFB III

      Ein Prisma wird verändert. Schätze für jede Zeile ein, was mit dem Volumen passiert — ohne zu rechnen.

      Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt, 4 = verdreifacht, 5 = vervierfacht. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
      1 = halbiert5 = vervierfacht
      Die Höhe h wird verdoppelt, die Grundfläche G bleibt gleich.
      Die Grundfläche G wird halbiert, die Höhe h bleibt gleich.
      Grundfläche G und Höhe h werden beide verdoppelt.
      Die Grundfläche G wird verdoppelt, die Höhe h wird halbiert.
      Die Grundfläche G wird verdreifacht, die Höhe h bleibt gleich.
      Faktoren wandern direkt durch das Produkt G · h. Werden beide Größen verdoppelt, wird V vierfach — 2 · 2 = 4. Und 2 · ½ = 1, deshalb hebt sich „G verdoppelt, h halbiert“ genau auf.
      A17
      Quader oder Dreiecksprisma — oder beides?
      AFB III

      Ordne jede Aussage dem richtigen Bereich zu.

      Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
      1 nur Quader
      2 beide
      3 nur Dreiecksprisma
      Die Mitte ist das Wichtigste: V = G · h, die Einheit cm³ und die deckungsgleichen Deckflächen gelten für jedes Prisma. Verschieden ist nur, wie G berechnet wird — und wie viele Flächen der Körper hat: der Quader sechs, das Dreiecksprisma fünf.
      A18
      Rechenkette rückwärts — h gesucht
      AFB III

      Ein Prisma hat das Volumen V = 720 cm³. Seine Grundfläche ist ein Rechteck mit a = 12 cm und b = 5 cm. Wie hoch ist das Prisma? Ohne Formelumstellen — nur durch Überlegen!

      Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
      1. Berechne zuerst die Grundfläche G = a · b. cm²
      2. Jetzt gilt 60 · h = 720. Welche Zahl mal 60 ergibt 720? cm
      3. Probe: Wie groß ist 60 · 12? cm³
      Rückwärts geht es in zwei Schritten: erst die Grundfläche ausrechnen, dann die fehlende Zahl suchen — 60 · 10 = 600 ist zu wenig, 60 · 12 = 720 passt. Die Probe am Schluss kostet zehn Sekunden und fängt fast jeden Fehler ab.
      A19
      Genau ein Liter
      AFB III

      Ein Messbecher soll genau 1 Liter fassen. Auf dem Tisch stehen Portionen mit verschiedenen Volumen. Wähle Portionen so aus, dass sie zusammen genau 1 Liter ergeben.

      Klicke die Portionen an, die du in den Messbecher schüttest. Tastatur: ←/→ wandern, Enter schaltet um. Die Summe rechnet sich live mit.
      0 cm³
      Ziel: 1000 cm³
      1 Liter = 1 dm³ = 1000 cm³. Es gibt mehrere richtige Kombinationen, zum Beispiel 750 + 250 oder 500 + 400 + 100. Wer konsequent in cm³ denkt, verwechselt den Faktor 1000 zwischen Liter und Kubikzentimeter nicht mehr.
      A20
      Schätz-Regler: Zelt
      AFB III

      Ein Zelt hat die Form eines liegenden Dreiecksprismas: Die dreieckige Vorderseite ist unten 2 m breit und 1,5 m hoch, das Zelt ist 3 m lang. Wie viele Liter Luft sind darin? Erst schieben, dann nachrechnen!

      Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
      0 Liter10000 Liter
      G = ½ · 2 · 1,5 = 1,5 m², also V = 1,5 · 3 = 4,5 m³. Weil 1 m³ = 1000 Liter sind, entspricht das 4500 Litern. Die meisten schätzen viel zu niedrig — ein Zelt fasst ungefähr so viel Luft wie 22 volle Badewannen (je 200 Liter).
      A21
      Würfel — Volumen
      AFB I

      Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 6 cm. Berechne erst die Grundfläche und dann das Volumen.

      cm²
      cm³
      Ansatz: Beim Würfel ist die Grundfläche ein Quadrat mit Seitenlänge a, also G = a · a = a².Warum so? Weil alle 6 Würfelflächen gleich sind — Quadrate.
      Rechenweg: G = 6² = 36 cm². h = 6 cm. V = G · h = 36 · 6 = 216 cm³ (= a³).
      Lösung: G = 36 cm², V = 216 cm³
      a = 6 cm
      Würfel
      A22
      Quader — Volumen
      AFB I

      Ein Quader hat die Maße a = 8 cm, b = 5 cm, h = 3 cm.

      cm²
      cm³
      Reihenfolge: Erst G = a · b ausrechnen, dann V = G · h.Warum so? So baust du Schritt für Schritt auf — du siehst, wo eventuelle Rechenfehler stecken.
      Rechenweg: G = 8 · 5 = 40 cm². V = G · h = 40 · 3 = 120 cm³.
      Lösung: G = 40 cm², V = 120 cm³
      a = 8 cm b = 5 cm h = 3 cm
      Quader
      A23
      Welche Größe ist es? — Mix nach Einheit
      Mix

      Hier sind vier Werte. Ordne jedem den passenden Begriff zu — gib jeweils einen der Buchstaben a (Kantenlänge), G (Grundfläche), V (Volumen) oder h (Prismenhöhe) ein:

      Wie erkenne ich das an den Einheiten?
      Die Einheit verrät die Dimension: cm = Länge (also a oder h), cm² = Fläche (G), cm³ = Volumen (V). Bei zwei Längen (10 cm und 30 cm) musst du aus dem Kontext entscheiden — meistens steht „Kantenlänge“ oder „Höhe“ dabei. Hier: 10 cm passt zu „a“ (Würfel-Kante), 30 cm zur „h“ (Prismenhöhe). Gegenprobe: Die vier Zahlen gehören nicht zu einem einzigen Körper — sie sind bewusst gemischt, damit du jede Größe allein an ihrer Einheit erkennst.
      cm Länge (1D) cm² Fläche (2D) cm³ Volumen (3D)
      Einheiten erkennen
      A24
      Dreiseitiges Prisma
      AFB II

      Ein dreiseitiges Prisma hat die Grundfläche G = 24 cm² und eine Höhe von h = 8 cm. Berechne das Volumen.

      cm³
      Ansatz: Hier ist G schon gegeben — du musst sie nicht erst aus dem Dreieck berechnen.Warum so? Lies die Aufgabe genau: „G = 24 cm²“ ist der fertige Wert.
      Rechenweg: V = G · h = 24 · 8 = 192 cm³.
      Lösung: V = 192 cm³
      G = 24 cm² h = 8 cm
      Dreiseitiges Prisma
      A25
      Aquarium — wie viele Liter?
      AFB II

      Ein Aquarium hat die Maße 80 cm × 35 cm × 40 cm. Wie viel Liter Wasser passen hinein (Tipp: 1 dm³ = 1 L)?

      cm³
      L
      Plan: Erst V in cm³ ausrechnen, dann durch 1000 teilen (denn 1 L = 1000 cm³).Warum so? Du arbeitest in der gleichen Einheit (cm) bis zum Schluss — danach umrechnen.
      Rechenweg: V = 80 · 35 · 40 = 112 000 cm³. 112 000 cm³ = 112 dm³ = 112 L.
      Lösung: V = 112 000 cm³ = 112 L
      80 cm 35 cm 40 cm
      Aquarium
      A26
      Trickaufgabe: Würfel-Packung
      Mix

      Wie viele kleine Würfel mit Kantenlänge 2 cm passen in einen Quader mit den Maßen 8 cm × 6 cm × 4 cm?

      Stück
      Lösungsweg
      VQuader = 8 · 6 · 4 = 192 cm³. VWürfel = 2³ = 8 cm³. Anzahl = VQuader / VWürfel = 192 / 8 = 24 Würfel. Plausibilitätscheck: Pro Reihe 4 Würfel (8/2), pro Lage 4·3 = 12 Würfel (6/2 Reihen), und 2 Lagen übereinander (4/2). Macht 4·3·2 = 24. ✓ Beide Wege liefern dasselbe.
      8 cm 4 cm 6 cm 2 cm
      Quader und kleiner Würfel
      A27
      Rückwärts rechnen — h gesucht
      AFB III

      Ein Quader hat das Volumen V = 240 cm³ und die Grundkanten a = 8 cm, b = 5 cm. Wie hoch ist er?

      cm
      Lösungsweg
      G = a · b = 8 · 5 = 40 cm². Aus V = G · h folgt h = V / G = 240 / 40 = 6 cm. Strategie: Wenn drei der vier Größen (a, b, h, V bzw. G, h, V) bekannt sind, lässt sich die vierte durch Rückwärtsrechnen bestimmen: erst die Grundfläche G, dann teilen.
      a = 8 cm b = 5 cm h = ? V = 240 cm³
      h gesucht
      A28
      Swimming-Pool — Wasservolumen
      AFB III

      Ein quaderförmiger Swimming-Pool hat die Innenmaße 10 m × 5 m × 1,8 m und ist randvoll mit Wasser. Wie viele Liter Wasser sind das?

      m³
      L
      Rechenweg
      G = 10 · 5 = 50 m². V = G · h = 50 · 1,8 = 90 m³. Umrechnung: 1 m³ = 1000 L → 90 m³ = 90 000 L. Plausibilitätscheck: Ein normaler Wasserhahn füllt ca. 10 L/min — der Pool bräuchte bei einem einzigen Hahn etwa 9000 min = 150 Stunden = über 6 Tage zum Füllen. Passt.
      10 m 5 m 1,8 m
      Pool
      A29
      Begründung — Cavalieri-Prinzip
      AFB III

      Begründe in eigenen Worten (3–5 Sätze): Warum gilt die Formel V = G · h für JEDES Prisma — und nicht nur für Quader? Benutze in deiner Erklärung die Worte „Stapel“, „Schicht“ und „Grundfläche“.

      Beispiellösung anzeigen
      „Ein Prisma kann man sich als Stapel sehr vieler dünner, identischer Schichten seiner Grundfläche vorstellen. Egal welche Form die Grundfläche hat — Rechteck, Dreieck oder Sechseck — jede Schicht hat denselben Flächeninhalt G. Wenn ich h Schichten der Dicke 1 stapele, ist das Gesamtvolumen G + G + G + … = G · h. Das ist die Idee von Cavalieri: zwei Körper mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben dasselbe Volumen — unabhängig von der Form der Grundfläche. Daher gilt V = G · h für alle Prismen.“

      Selbst-Bewertung: Hast du die drei Begriffe verwendet? Erklärt deine Antwort, warum die Form der Grundfläche egal ist? Wenn ja: ✓ — gut argumentiert.

      A30
      Ablesen und rechnen
      AFB II

      Die dreieckige Grundfläche eines Prismas liegt auf Karopapier (1 Karo = 1 cm). Die Körperhöhe steht daneben. Zähle die Maße der Grundfläche selbst ab, berechne G und daraus das Volumen.

      cm²
      cm³
      Ablesen: Grundseite und Dreieckshöhe kannst du direkt abzählen: Grundseite entlang der dicken Linie, Höhe entlang der gestrichelten Linie.Achte auf die Einheiten: die Grundfläche wird in cm² gemessen, das Volumen in cm³. Die Körperhöhe hₖ = 5 cm ist nicht die Dreieckshöhe.
      Lösung: Grundseite 6 cm, Dreieckshöhe 4 cm → G = ½ · 6 · 4 = 12 cm²; V = G · hₖ = 12 · 5 = 60 cm³
      Körperhöhe hₖ = 5 cm 1 Karo = 1 cm
      Grundfläche zählen, dann V berechnen