Das Regenrückhaltebecken
AFB IIIn einem Neubaugebiet wird ein Regenrückhaltebecken angelegt. Sein Querschnitt ist ein Trapez: oben 6,00 m breit, an der Sohle 3,00 m breit und 1,80 m tief. Das Becken ist 12,00 m lang (M1).
Ein Zulaufrohr liefert höchstens 450 Liter Wasser pro Minute.
Der trapezförmige Querschnitt ist die Grundfläche \(G\) des Prismas; die Beckenlänge ist die zugehörige Höhe des Prismas.
- Berechne das Fassungsvermögen des Beckens in Kubikmetern und in Litern.
- Berechne, wie lange es dauert, bis das leere Becken über das Zulaufrohr gefüllt ist. Gib die Zeit in Stunden und Minuten an.
- Bei einem Starkregen fallen 28 mm Niederschlag auf eine versiegelte Fläche von 2400 m². Überprüfe, ob das Becken diese Wassermenge aufnehmen kann.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Grundfläche (Trapez): \(G=\tfrac{1}{2}\cdot(6{,}00\,\text{m}+3{,}00\,\text{m})\cdot 1{,}80\,\text{m}=\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}00\,\text{m}\cdot 1{,}80\,\text{m}=8{,}10\,\text{m}^2\)
\(V=G\cdot h=8{,}10\,\text{m}^2\cdot 12{,}00\,\text{m}=97{,}20\,\text{m}^3\)
\(97{,}20\,\text{m}^3=97\,200\,\text{l}\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(97\,200\,\text{l}:450\,\tfrac{\text{l}}{\text{min}}=216\,\text{min}\)
\(216\,\text{min}=3\,\text{h}\;36\,\text{min}\)
Das Becken ist nach 3 Stunden und 36 Minuten gefüllt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(28\,\text{mm}=0{,}028\,\text{m}\)
\(V=0{,}028\,\text{m}\cdot 2400\,\text{m}^2=67{,}2\,\text{m}^3\)
\(67{,}2\,\text{m}^3<97{,}20\,\text{m}^3\)
Das Becken kann die Wassermenge aufnehmen. Es bleiben \(97{,}20\,\text{m}^3-67{,}2\,\text{m}^3=30{,}0\,\text{m}^3\) Reserve — das sind gut 30 % des Fassungsvermögens.
Hinweis: In der Praxis läuft während des Regens schon Wasser ab, dafür regnet es auch auf das Becken selbst; die Rechnung ist also eine Abschätzung.
Zwei Blumenkübel
AFB IIIEin Gartencenter bietet zwei Pflanzkübel an (M2). Beide sind gerade Prismen und 60 cm hoch, haben aber verschieden geformte Grundflächen.
Erde wird in Säcken zu 45 Litern verkauft. Gefüllt wird nur bis 5 cm unter den Rand, damit beim Gießen nichts überläuft.
| Kübel A | Kübel B | |
|---|---|---|
| Form der Grundfläche | Quadrat | Trapez |
| Maße der Grundfläche | 40 cm × 40 cm | a = 50 cm, c = 30 cm, h = 40 cm |
| Höhe des Kübels | 60 cm | 60 cm |
| Preis | 39,00 € | 44,00 € |
Beide Kübel sind gerade Prismen: Der Querschnitt ist von unten bis oben gleich. Die Wandstärke wird vernachlässigt.
- Berechne das Volumen beider Kübel in Litern.
- Der Verkäufer sagt: „In den eckigen Kübel A passt mehr Erde als in den trapezförmigen Kübel B.“ Überprüfe diese Aussage.
- Berechne, wie viele Säcke Erde für beide Kübel zusammen gebraucht werden.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kübel A: \(G=40\,\text{cm}\cdot 40\,\text{cm}=1600\,\text{cm}^2\)
\(V=1600\,\text{cm}^2\cdot 60\,\text{cm}=96\,000\,\text{cm}^3=96\,\text{l}\)
Kübel B: \(G=\tfrac{1}{2}\cdot(50\,\text{cm}+30\,\text{cm})\cdot 40\,\text{cm}=\tfrac{1}{2}\cdot 80\,\text{cm}\cdot 40\,\text{cm}=1600\,\text{cm}^2\)
\(V=1600\,\text{cm}^2\cdot 60\,\text{cm}=96\,000\,\text{cm}^3=96\,\text{l}\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Aussage ist falsch: Beide Kübel fassen genau 96 Liter.
Begründung: Für das Volumen eines Prismas gilt \(V=G\cdot h\). Entscheidend ist allein der Flächeninhalt der Grundfläche, nicht ihre Form. Quadrat und Trapez haben hier beide 1600 cm², und beide Kübel sind 60 cm hoch — also stimmen auch die Volumina überein.
Wer trotzdem Kübel B kauft, zahlt 5,00 € mehr für dasselbe Fassungsvermögen; das kann man nur mit der Optik oder dem Standort begründen, nicht mit dem Volumen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Füllhöhe: \(60\,\text{cm}-5\,\text{cm}=55\,\text{cm}\)
Je Kübel: \(V=1600\,\text{cm}^2\cdot 55\,\text{cm}=88\,000\,\text{cm}^3=88\,\text{l}\)
Beide Kübel: \(2\cdot 88\,\text{l}=176\,\text{l}\)
\(176\,\text{l}:45\,\text{l}\approx 3{,}9\)
Es werden 4 Säcke gebraucht (4 Säcke = 180 l); 3 Säcke hätten mit 135 l nicht gereicht. Es bleiben 4 Liter übrig.