Aufgabenblock — AFB III
Hier geht es nicht mehr ums bloße Anwenden — du sollst begründen, rückwärts arbeiten und Strukturen erkennen. Manche Aufgaben haben keine fertige Zahl als Lösung, sondern verlangen einen Begründungssatz. Bei diesen Aufgaben gilt: erst selbst denken, dann die Musterlösung öffnen — das Aufklappen zählt als erledigt.
Begründe in 3–4 Sätzen, warum die Formel A = ½ · g · h für jedes Dreieck gilt — egal ob spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig.
Hinweis: Denke an das Ergänzungsprinzip — zwei kongruente Dreiecke ergeben zusammen ein Parallelogramm mit Fläche g · h.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Nimmt man ein beliebiges Dreieck mit Grundseite g und zugehöriger Höhe h, kann man eine zweite, kongruente Kopie um 180° drehen und an einer Seite anlegen — so entsteht stets ein Parallelogramm mit Grundseite g und Höhe h. Dessen Flächeninhalt ist nach der bekannten Parallelogrammformel APar = g · h. Da das Dreieck genau die Hälfte des Parallelogramms ist, folgt ADreieck = ½ · g · h. Diese Konstruktion funktioniert für spitzwinklige, rechtwinklige und auch stumpfwinklige Dreiecke gleichermaßen — bei stumpfwinkligen liegt die Höhe nur außerhalb der Grundseite, das Verdoppelungsprinzip bleibt aber gültig.
Ein Trapez hat den Flächeninhalt A = 84 cm² und parallele Seiten a = 14 cm und c = 10 cm. Berechne die Höhe h.
Musterlösung anzeigen
Gegeben: A = 84 cm², a = 14 cm, c = 10 cm
Formel: A = ½ · (a + c) · h
Einsetzen: 84 = ½ · (14 + 10) · h = ½ · 24 · h = 12 · h
Umstellen: h = 84 ÷ 12 = 7 cm
Zeige in 2–3 Sätzen: Die Trapezformel A = ½ · (a + c) · h geht in die Parallelogrammformel A = a · h über, sobald a = c ist.
Was passiert beim Trapez, wenn die beiden parallelen Seiten gleich lang werden?
Musterlösung anzeigen
Musterlösung: Setzt man in der Trapezformel A = ½ · (a + c) · h die Bedingung c = a ein, ergibt sich A = ½ · (a + a) · h = ½ · 2a · h = a · h. Das ist genau die bekannte Parallelogrammformel. Geometrisch ist das auch sinnvoll: Wenn beim Trapez die obere parallele Seite c genauso lang wird wie die untere a, ist die Figur ein Parallelogramm. Die Trapezformel enthält die Parallelogrammformel also als Sonderfall.
Ein dreiseitiges Prisma hat das Volumen V = 240 cm³. Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 6 cm und 8 cm.
Musterlösung anzeigen
Grundfläche: G = ½ · 6 · 8 = 24 cm²
Volumen-Formel: V = G · hP → hP = V ÷ G
Einsetzen: hP = 240 ÷ 24 = 10 cm
Du sollst eine Schachtel mit dem Volumen V = 1000 cm³ als Quader bauen. Vergleiche zwei Bauformen:
c) Welcher Körper braucht weniger Material? Begründe in 1–2 Sätzen.
Musterlösung anzeigen
a) Würfel 10×10×10: O = 6 · a² = 6 · 100 = 600 cm²
b) Quader 20×10×5: O = 2·(20·10 + 20·5 + 10·5) = 2·(200 + 100 + 50) = 2·350 = 700 cm²
c) Vergleich: Der Würfel braucht weniger Material (600 cm² statt 700 cm²) — also 100 cm² Karton gespart, bei gleichem Inhalt. Mathematischer Hintergrund: Unter allen Quadern mit festem Volumen hat der Würfel die kleinste Oberfläche. Je „flacher“ oder „länger“ ein Quader, desto mehr Außenfläche entsteht im Verhältnis zum Volumen. Genau deshalb sind Verpackungen für Massenware oft nahe an der Würfelform.
Erkläre in eigenen Worten:
a) Warum bleibt die Vorderfläche beim Schrägbild in wahrer Größe erhalten?
b) Warum bleiben parallele Kanten auch im Schrägbild parallel?
c) Warum muss der Verkürzungsfaktor q kleiner als 1 sein?
Musterlösung anzeigen
a) Vorderfläche in wahrer Größe: Beim Schrägbild liegt die Vorderfläche parallel zur Zeichenebene. Sie wird also nicht „schräg“ gesehen, sondern frontal — wie ein gerades Foto. Deshalb bleiben Längen und Winkel der Vorderfläche unverändert; ein Quadrat bleibt ein Quadrat.
b) Parallelität der Kanten: Alle in die Tiefe gehenden Kanten werden unter demselben Winkel α (oft 45°) und mit demselben Faktor q gezeichnet. Da sie alle gleich verschoben werden, bleiben parallele Kanten parallel — Parallelität ist eine Invariante der Schrägprojektion.
c) q < 1: Wäre q = 1, wäre die Tiefe genauso lang wie die wahren Kanten und der Körper sähe „aufgeklappt“ oder flach aus. Mit q < 1 (meist ½ oder ⅔) werden die Tiefenkanten verkürzt — dadurch entsteht der räumliche Eindruck, weil unser Auge entferntere Dinge kleiner wahrnimmt.
Drei verschiedene Prismen haben dieselbe Höhe h = 10 cm und dasselbe Volumen V = 100 cm³.
b) Skizziere im Heft drei verschiedene Grundflächen-Formen, die jeweils G = 10 cm² ergeben (z. B. Rechteck, Dreieck, L-Form).
c) Warum hängt das Volumen nicht von der Form der Grundfläche ab — sondern nur von ihrem Inhalt?
Musterlösung anzeigen
a) Aus V = G · h folgt G = V/h = 100/10 = 10 cm².
b) Verschiedene Grundflächen mit G = 10 cm²:
- Rechteck 5 cm × 2 cm
- Dreieck mit g = 4 cm und hD = 5 cm (½ · 4 · 5 = 10)
- Trapez mit a = 3 cm, c = 2 cm, h = 4 cm (½ · 5 · 4 = 10)
- L-Form aus 5 Quadraten zu 2 cm² (oder 10 Einheits-Quadrate zu 1 cm²)
c) In der Formel V = G · h taucht G nur als Flächeninhalt auf — nicht als Form. Solange der Flächeninhalt 10 cm² beträgt, ist es egal, wie das Vieleck aussieht. Das ist das Prinzip von Cavalieri: Stellt man sich das Prisma als Stapel sehr dünner „Scheiben“ derselben Grundfläche vor, kommt es nur auf den Flächeninhalt jeder Scheibe an, nicht auf ihre Umrissform.
Finde im Alltag einen Gegenstand, dessen Form sich am besten als Prisma modellieren lässt.
a) Skizziere ihn in deinem Heft als Schrägbild.
b) Schätze (oder miss) seine Maße in cm.
c) Berechne sein Volumen und seine Oberfläche.
d) Vergleiche: Wie nah war deine Schätzung an der Realität? Wo lagst du daneben?
Musterlösung — Beispielrechnungen anzeigen
Beispiel 1 — Schuhkarton (Quader): geschätzt 30 × 18 × 12 cm
- V = 30 · 18 · 12 = 6480 cm³ ≈ 6,5 Liter
- O = 2·(540 + 360 + 216) = 2232 cm²
Beispiel 2 — Vitamin-Päckchen / Toblerone (dreiseitiges Prisma): gleichseitiges Dreieck mit a = 4 cm (hD ≈ 3,5 cm), Länge h = 20 cm
- G = ½ · 4 · 3,5 = 7 cm²
- V = G · h = 7 · 20 = 140 cm³
- u = 3 · 4 = 12 cm; M = 12 · 20 = 240 cm²; O = 2·7 + 240 = 254 cm²
Beispiel 3 — Kühlschrank (Quader): geschätzt 60 × 60 × 180 cm
- V = 60 · 60 · 180 = 648 000 cm³ = 648 Liter (zu groß — typische Kühlschränke 200–400 L; das zeigt: realer Innenraum ist viel kleiner als das Außenmaß!)
Reflexion: Beim Schätzen sind Tiefe (b) oder Höhe (c) am häufigsten daneben — man unterschätzt sie meistens. Volumen reagiert besonders empfindlich, weil drei Maße multipliziert werden: 10 % Fehler bei jedem Maß = ca. 33 % Fehler im Volumen!
Von einem Prisma werden alle Kantenlängen verdoppelt (aus 1 cm wird 2 cm, aus 3 cm wird 6 cm usw.).
a) Um welchen Faktor ändert sich die Grundfläche? b) Um welchen Faktor die Oberfläche? c) Um welchen Faktor das Volumen?
d) Begründe in zwei bis drei Sätzen, warum die drei Faktoren verschieden sind — ohne mit konkreten Zahlen zu rechnen.
Musterlösung — Faktoren und Begründung anzeigen
a) Grundfläche: Faktor 4. Beispiel Dreieck: A = ½ · g · h wird zu ½ · (2g) · (2h) = 4 · (½ · g · h).
b) Oberfläche: Faktor 4. Die Oberfläche ist eine Summe aus lauter Flächen (2 Grundflächen + Mantel). Jeder einzelne Summand wächst um den Faktor 4, also auch die Summe.
c) Volumen: Faktor 8. V = G · h wird zu (4G) · (2h) = 8 · (G · h).
d) Begründung: Entscheidend ist, wie viele Längen miteinander multipliziert werden. Bei einer Fläche sind es zwei, also verdoppelt sich der Wert zweimal: 2² = 4. Beim Volumen sind es drei, also 2³ = 8. Eine Länge selbst wächst nur um den Faktor 2¹ = 2. Deshalb wachsen Volumen immer schneller als Flächen und Flächen schneller als Längen.
Alltagsbezug: Genau deshalb wird eine Verpackung, die man „doppelt so groß“ macht, achtmal so schwer zu tragen, braucht aber nur viermal so viel Karton — pro Liter Inhalt spart große Verpackung also Material.
Lena zerlegt ein unregelmäßiges Fünfeck in drei Dreiecke. Tim zerlegt dasselbe Fünfeck in ein Trapez und zwei Dreiecke. Beide addieren ihre Teilflächen und erhalten dasselbe Ergebnis.
a) Begründe, warum das kein Zufall ist, sondern immer so sein muss.
b) Tim behauptet: „Meine Zerlegung ist besser, weil sie weniger Teile hat.“ Nimm Stellung — woran erkennt man wirklich eine geschickte Zerlegung?
c) Gib ein Beispiel für eine Zerlegung desselben Fünfecks, die zwar richtig, aber unpraktisch wäre.
Musterlösung — Begründung und Bewertung anzeigen
a) Beide Zerlegungen sind lückenlos und überlappungsfrei: Jeder Punkt des Fünfecks gehört zu genau einem Teilstück. Der Flächeninhalt zählt, wie viel Fläche insgesamt bedeckt wird — und das ändert sich nicht dadurch, wo man Trennlinien zieht. Man nennt diese Eigenschaft Zerlegungsgleichheit: Summe der Teilflächen = Fläche der Gesamtfigur, unabhängig vom Weg.
b) Tims Argument greift zu kurz. Eine Zerlegung ist dann geschickt, wenn alle benötigten Maße bekannt oder leicht ablesbar sind — vor allem die Höhen. Drei einfache Dreiecke mit bekannten Höhen sind besser als zwei Teile, bei denen man erst eine Höhe konstruieren müsste. Zusätzliche Kriterien: möglichst wenige Zwischenschritte, möglichst wenige Rundungen, und rechte Winkel, wo es geht.
c) Beispiel: Man zerlegt das Fünfeck in acht schmale Dreiecke mit lauter schrägen Höhen. Das Ergebnis stimmt weiterhin — aber man muss acht Höhen messen, acht Mal runden und addiert dabei acht kleine Messfehler auf. Ebenso unpraktisch: eine Zerlegung, bei der ein Teilstück über den Rand hinausragt und man die überstehende Fläche wieder abziehen muss (Ergänzungsverfahren statt Zerlegung) — korrekt, aber fehleranfällig.
Merksatz: Richtig ist jede lückenlose, überlappungsfreie Zerlegung. Geschickt ist die, bei der du die Höhen ohne Extraarbeit ablesen kannst.
Reflexion — was hast du mitgenommen?
AFB III bedeutet: nicht nur rechnen, sondern verstehen, warum. Du hast geübt:
- Verallgemeinern — eine Formel gilt nicht durch Zufall, sondern hat einen geometrischen Grund (Ergänzungsprinzip beim Dreieck).
- Rückwärtsrechnen — Formeln nach unbekannten Größen umstellen (Höhe aus Fläche bzw. Volumen).
- Strukturen erkennen — Trapez und Parallelogramm gehören zur selben Formelfamilie; Volumen hängt nur vom Flächeninhalt der Grundfläche ab (Cavalieri).
- Optimieren — bei gegebenem Volumen hat der Würfel die kleinste Oberfläche.
- Modellieren — reale Gegenstände als Prisma sehen und Maße schätzen/messen/rechnen.
In der Klassenarbeit zählt eine saubere Begründung oft genauso viel wie das richtige Ergebnis. Schreibe immer einen Antwortsatz mit Einheit.