Die Schrägparkplätze
AFB IIEin Supermarkt lässt seinen Parkplatz neu pflastern. Die Stellplätze liegen schräg zum Bordstein; jede Bucht ist ein Parallelogramm (M1). Insgesamt gibt es 12 solcher Buchten, die Fahrgasse dazwischen wird nicht gepflastert.
Die Pflastersteine kommen auf Paletten; eine Palette reicht für 5 m².
Die gestrichelte rote Strecke ist die Höhe: der senkrechte Abstand der beiden parallelen Begrenzungslinien.
- Berechne den Flächeninhalt einer Parkbucht.
- Bestimme, wie viele Paletten der Supermarkt für alle 12 Buchten bestellen muss.
- Erkläre, warum man die Länge der schrägen Seite (2,60 m) nicht in die Flächenformel einsetzen darf.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(A=g\cdot h=5{,}00\,\text{m}\cdot 2{,}40\,\text{m}=12{,}00\,\text{m}^2\)
Eine Parkbucht ist 12 m² groß.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gesamtfläche: \(12\cdot 12{,}00\,\text{m}^2=144\,\text{m}^2\)
Paletten: \(144\,\text{m}^2:5\,\text{m}^2=28{,}8\)
Es müssen 29 Paletten bestellt werden; 28 Paletten würden nur für 140 m² reichen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
In \(A=g\cdot h\) ist \(h\) der senkrechte Abstand der beiden parallelen Seiten. Die 2,60 m sind dagegen die Länge einer schrägen Seite — sie verläuft nicht senkrecht zur Grundseite und ist deshalb immer länger als die Höhe.
Mit \(5{,}00\,\text{m}\cdot 2{,}60\,\text{m}=13{,}00\,\text{m}^2\) käme ein zu großer Wert heraus.
Man darf die 2,60 m nur dann verwenden, wenn man sie als Grundseite wählt — dann aber mit der Höhe, die zu dieser Seite gehört: \(12{,}00\,\text{m}^2:2{,}60\,\text{m}\approx 4{,}62\,\text{m}\).
Der geschobene Stapel
AFB IIIEin Grafiker zeichnet am Computer ein Rechteck und schiebt anschließend nur die obere Kante immer weiter nach rechts. Die Grundseite und der Abstand der beiden waagerechten Kanten bleiben dabei unverändert (M2).
Beim dritten Bild sagt er: „Je schräger die Figur wird, desto größer wird auch ihr Flächeninhalt.“
Die roten gestrichelten Strecken sind die Höhen. Die schrägen Seiten sind in P1 4 cm, in P2 5 cm und in P3 8,5 cm lang.
- Berechne den Flächeninhalt von P1, P2 und P3.
- Berechne den Umfang der drei Figuren.
- Überprüfe die Behauptung des Grafikers und begründe, welche Größen sich beim Verschieben ändern und welche nicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(A_1=6\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\)
\(A_2=6\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\)
\(A_3=6\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm}=24\,\text{cm}^2\)
Alle drei Figuren haben denselben Flächeninhalt von 24 cm².
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(U_1=2\cdot(6\,\text{cm}+4\,\text{cm})=20\,\text{cm}\)
\(U_2=2\cdot(6\,\text{cm}+5\,\text{cm})=22\,\text{cm}\)
\(U_3=2\cdot(6\,\text{cm}+8{,}5\,\text{cm})=29\,\text{cm}\)
Der Umfang wächst von 20 cm über 22 cm auf 29 cm.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung ist falsch. Alle drei Figuren haben 24 cm², obwohl P3 deutlich schräger ist als P1.
Beim Verschieben der oberen Kante bleiben die Grundseite (6 cm) und die Höhe (4 cm) gleich. Nur diese beiden Größen stehen in der Formel \(A=g\cdot h\) — also kann sich der Flächeninhalt gar nicht ändern.
Was sich ändert, sind die schrägen Seiten: Sie werden länger, und deshalb wächst der Umfang. Gleicher Flächeninhalt bedeutet also nicht gleicher Umfang — und umgekehrt.