Spezialfälle: Lösungen: Übungen – Mathe Klasse 8

A1

Fall-Check

AFB I

Welche Aussagen über die drei möglichen Ergebnisse einer Gleichung stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der häufigste Denkfehler steckt in Option 4: „x fällt weg“ wird als x = 0 gedeutet. Tatsächlich heißt es nur, dass x überhaupt keine Rolle mehr spielt — dann entscheidet allein die übrig gebliebene Zahlenaussage über L = ℚ oder L = { }. Und L = { } ist ein völlig korrektes Ergebnis, kein Rechenfehler.

A2

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen rund um leere Menge, ℚ und die eine Lösung.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die beiden gefährlichsten Verwechslungen sind Aussage 2 und 5: L = { } (leer, keine Lösung) gegen L = {0} (eine Lösung, nämlich die Null). Wer „x = 0“ mit „keine Lösung“ gleichsetzt, verliert in der Klassenarbeit Punkte.

A3

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim Lösen fallen manchmal alle x-Terme weg. Bleibt dann eine Zahlenaussage wie 7 = 7 stehen, erfüllt jede Zahl die Gleichung: L = . Bleibt dagegen eine Aussage wie 7 = 9 stehen, nennt man das einen ; die Lösungsmenge ist dann die .

Die „Probe“ bleibt übrig — sie ist eine Kontrolle, aber kein Ergebnistyp. Typischer Fehler: Nach dem Wegfallen der x wird die übrig gebliebene Aussage gar nicht mehr angeschaut. Genau sie entscheidet aber zwischen ℚ und { }.

A4

Gleichungen sortieren

AFB I

Eine Lösung, keine Lösung oder alle Zahlen? Sortiere die Karten in die passenden Körbe.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1genau eine Lösung

2keine Lösung (L = { })

3alle Zahlen (L = ℚ)

Faustregel: Steht auf beiden Seiten dieselbe Anzahl x, fällt x weg — dann entscheidet nur noch der Zahlenvergleich. Nur wenn links und rechts unterschiedlich viele x stehen (wie 3x und x), gibt es genau eine Lösung. Typischer Fehler: 4·(x + 2) wird zu 4x + 2 ausmultipliziert und landet dadurch im falschen Korb.

A5

Lösungsweg in Ordnung bringen

AFB I

In welcher Reihenfolge gehst du vor, wenn du die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmen willst?

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1 Alle Klammern ausmultiplizieren.

2 Auf jeder Seite gleichartige Glieder zusammenfassen.

3 Die x-Terme auf eine Seite bringen (z. B. | − 2x).

4 Nachschauen, was übrig bleibt: eine Gleichung mit x oder eine reine Zahlenaussage?

5 Die Lösungsmenge aufschreiben: L = {…}, L = { } oder L = ℚ.

Schritt 4 wird am häufigsten übersprungen: Viele hören auf, sobald die x weg sind, und schreiben irgendetwas hin. Erst der Blick auf die übrig gebliebene Zahlenaussage entscheidet zwischen L = ℚ und L = { }.

A6

Rechenkette vorwärts

AFB II

Untersuche die Gleichung 6·(x + 2) = 6x + 15 Schritt für Schritt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Multipliziere die Klammer aus. Links steht dann 6x + …
Ziehe auf beiden Seiten 6x ab. Wie viele x stehen danach noch in der Gleichung? Stück
Übrig bleibt die Aussage 12 = … — welche Zahl steht rechts?
Wie viele Zahlen x machen die Aussage 12 = 15 wahr? Lösungen

12 = 15 ist ein Widerspruch — deshalb L = { }. Achtung beim zweiten Schritt: „null x“ heißt nicht „x ist null“. Es heißt, dass x aus der Gleichung verschwunden ist und gar nichts mehr entscheiden kann.

A7

Blitzrechnung

AFB I

Löse die Gleichung 8x − 5 = 3x + 15 und gib den Wert von x an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

| − 3x ergibt 5x − 5 = 15, dann | + 5 ergibt 5x = 20, also x = 4 und L = {4}. Hier stehen links und rechts unterschiedlich viele x (8 und 3) — deshalb bleibt x stehen und es gibt genau eine Lösung. Nur bei gleich vielen x auf beiden Seiten entsteht ein Spezialfall.

A8

Regler: den Zahlenwert treffen

AFB II

Für welchen Wert von c hat die Gleichung 5·(x + 4) = 5x + c unendlich viele Lösungen? Stelle den Regler auf deinen Wert.

Schiebe den Regler auf deine Antwort — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

c = 0c = 40

Links steht ausmultipliziert 5x + 20. Nur für c = 20 sind beide Seiten wortwörtlich derselbe Term, dann ist L = ℚ. Typischer Fehler: Man nimmt die 4 aus der Klammer, weil sie so schön dasteht — multipliziert werden muss aber 5 · 4 = 20. Für jeden anderen c-Wert kippt die Gleichung sofort in L = { }.

A9

Begriffs-Memory

AFB I

Finde die sechs Paare aus Schreibweise bzw. Begriff und Bedeutung.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Die drei L-Karten sind das Herzstück. Wer { } und {4} sauber auseinanderhält, macht den häufigsten Notationsfehler nicht mehr: L = 0 oder L = {0} statt L = { } hinzuschreiben.

A10

Kreuztabelle: Welche Lösungsmenge?

AFB II

Fünf Gleichungen, drei mögliche Ergebnisse. Kreuze für jede Zeile die richtige Spalte an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.

Gleichung	L = { }	L = ℚ	genau eine Lösung
8x + 5 = 8x + 5
3·(x + 6) = 3x + 20
7x − 9 = 2x + 6
2·(4x − 3) = 8x − 6
10x + 4 = 10x − 4

Nur Zeile 3 hat unterschiedlich viele x (7 und 2) — deshalb ist sie die einzige mit genau einer Lösung (x = 3). Zeile 2 ist die Stolperfalle: 3·(x + 6) = 3x + 18, und 18 ≠ 20 ergibt den Widerspruch. Wer nur die 6 mit der 20 vergleicht, ordnet falsch zu.

A11

Leere Menge oder alle Zahlen?

AFB II

Neun Aussagen über die beiden Spezialfälle. Manche passen nur zu L = { }, manche nur zu L = ℚ — und manche zu beiden.

Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 nur L = { }

2 beide

3 nur L = ℚ

Die Mitte ist der Kern des Kapitels: In beiden Spezialfällen verschwindet x. Wer dann automatisch „x = 0“ hinschreibt, hat genau diese Gemeinsamkeit mit einer Lösung verwechselt. Erst die übrig gebliebene Zahlenaussage — wahr oder falsch — entscheidet zwischen ℚ und { }.

A12

Gleichung trifft Lösungsmenge

AFB II

Fünf Gleichungen, die links alle gleich anfangen. Verbinde jede mit ihrer Lösungsmenge.

Klicke links eine Gleichung an und dann rechts ihre Lösungsmenge — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Schau immer zuerst auf die Anzahl der x: Nur bei gleich vielen x links und rechts (Zeile 1 und 2) kann ein Spezialfall entstehen. Sobald die Anzahl verschieden ist, bleibt x stehen und es gibt genau eine Lösung — 3x = 9 → x = 3, 2x = 10 → x = 5, 7 = x.

A13

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Zeile 2 und Zeile 4 sind die beiden Klassiker in Klassenarbeiten: „x ist weg, also x = 0“ und „leere Menge = Menge mit der Null“. Beide kosten den ganzen Punkt, obwohl die Rechnung darüber stimmt.

A14

Jonas' Rechenweg

AFB II

Begleite Jonas durch die Gleichung 3·(2x + 4) = 6x + 9 — bei jedem Schritt entscheidest du, wie es weitergeht.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Der komplette Weg: ausmultiplizieren → x-Terme abziehen → übrig gebliebene Zahlenaussage prüfen → Lösungsmenge aufschreiben. Der Fehler lauert im dritten Schritt, wo aus „kein x mehr“ fälschlich „x = 0“ wird.

A15

Entscheidungsbaum: Welcher Fall liegt vor?

AFB II

Situation: Du untersuchst 8·(x − 2) = 8x − 16. Du hast die Klammer bereits ausmultipliziert — links steht 8x − 16, rechts steht 8x − 16. Arbeite dich durch den Baum.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Bei 8·(x − 2) = 8x − 16 stehen links und rechts nach dem Ausmultiplizieren identische Terme: 8x − 16 = 8x − 16 → 0 = 0 ist wahr → L = ℚ. Wer hier bei der zweiten Frage „Ja“ klickt, sucht ein x, das längst weggefallen ist — genau daraus entsteht die falsche Antwort x = 0.

A16

Wie viele Lösungen sind es?

AFB III

Schätze für jede Gleichung ein, wie viele Lösungen sie hat — im Kopf, ohne vollständigen Rechenweg.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keine Lösung, 2 = genau eine Lösung, 3 = genau zwei Lösungen, 4 = genau drei Lösungen, 5 = unendlich viele Lösungen. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = keine Lösung5 = unendlich viele

4x + 9 = 4x + 9

5x + 1 = 5x − 7

4x + 9 = 9x − 6

3·(x + 4) = 4x + 12

7·(x − 3) = 7x − 12

Die Stufen 3 und 4 kommen hier nie vor — und das ist der eigentliche Kern: Eine Gleichung dieser Bauart hat immer keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen, niemals genau zwei oder drei. Zeile 4 ist die Falle: 3x + 12 = 4x + 12 sieht nach einem Spezialfall aus, aber die x-Anzahlen sind verschieden (3 und 4) — also bleibt x stehen und es ergibt sich x = 0. Das ist genau eine Lösung, L = {0}, nicht die leere Menge.

A17

Musterlösung zusammenbauen

AFB II

Baue die vollständige Musterlösung für 4·(x + 5) = 4x + 20 — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Die beiden Fallen sind die zwei Klassiker: Baustein x0 zieht 4x ab und lässt trotzdem ein x stehen — beim Abziehen von 4x verschwindet aber die gesamte x-Seite. Baustein x1 macht aus „x ist weggefallen“ die Lösung 0. Richtig ist: Es bleibt eine wahre Zahlenaussage, also passt jede Zahl, L = ℚ.

A18

Rechenkette rückwärts: den Parameter finden

AFB III

Gegeben ist 7·(x − 3) = 7x + c. Die Zahl c ist noch offen — arbeite dich Schritt für Schritt an sie heran.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Multipliziere links aus: 7·(x − 3) = 7x − … Welche Zahl steht nach dem Minus?
Welchen Wert muss c haben, damit die Gleichung für jede Zahl x erfüllt ist? (Minuszeichen nicht vergessen.)
Nun sei c = 5. Wie viele Lösungen hat 7·(x − 3) = 7x + 5 dann? Lösungen
Wie viele verschiedene Werte von c führen insgesamt zu unendlich vielen Lösungen? Wert

Links steht 7x − 21. Nur wenn rechts genau derselbe Term steht, also c = −21, sind beide Seiten identisch und es gilt L = ℚ. Für jedes andere c bleibt nach | − 7x eine falsche Aussage wie −21 = 5 übrig — dann ist L = { }. Hier gibt es also genau einen Sonderwert; es entsteht nie eine einzelne Lösung, weil links und rechts immer gleich viele x stehen.

A19

Welcher Faktor passt?

AFB II

Für welchen Wert von a ist die Gleichung a·(x + 2) = 3x + 6 für jede Zahl x erfüllt?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Ausmultipliziert steht links a·x + 2a. Damit beide Seiten identisch sind, muss a = 3 sein — dann steht links 3x + 6, genau wie rechts, und es gilt L = ℚ. Beliebter Fehler: statt a einen Wert für x zu suchen. Gefragt ist hier aber der Faktor vor der Klammer, nicht die Lösung der Gleichung.

A20

Unendlich viele Lösungen — welche?

AFB III

Welche dieser Gleichungen haben unendlich viele Lösungen, sind also für jede Zahl x erfüllt?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Prüfe immer beides: gleich viele x und gleiche Zahl. Bei 5·(x + 2) = 5x + 12 stimmt zwar die x-Anzahl, aber 10 ≠ 12 → L = { }. Bei 6·(x − 1) = 6x − 1 ist der Fehler das nicht mitmultiplizierte Vorzeichen-Glied: links steht 6x − 6, rechts 6x − 1 → L = { }. Und 4x + 3 = 3x + 4 hat unterschiedlich viele x, also genau eine Lösung (x = 1) — kein Spezialfall.

A21

Erkennst du die Spezialfälle?

AFB I

Bestimme die Lösungsmenge L für jede Gleichung.

a) 3·(x + 2) = 3x + 6 → L =

b) 5·(x + 1) = 5x + 8 → L =

c) 2·(x − 4) = 2x − 9 → L =

Ansatz: Multipliziere zuerst die Klammer aus und ziehe dann auf beiden Seiten die x-Terme ab.Warum? Damit du siehst, was übrig bleibt, wenn die x verschwinden.

Was übrig bleibt: a) 6 = 6 (immer wahr → ℚ) · b) 5 = 8 (falsch → { }) · c) −8 = −9 (falsch → { }).

Lösung: a) L = ℚ · b) L = { } · c) L = { }

A22

Welcher Fall ist es? — Mix

Mix

Hier sind Gleichungen aus allen drei Fällen gemischt. Bestimme die Lösungsmenge L. Bei „eine Lösung“ gibst du z. B. {4} ein.

a) 4x + 7 = 4x + 7 → L =

b) 6x − 3 = 2x + 9 → L =

c) 7·(x − 2) = 7x − 13 → L =

d) 3·(x + 4) = 2x + 16 → L =

Warum hilft dieses „Mischen“ beim Lernen?

Im Test (oder in der echten Mathematik) sagt dir niemand, welcher Fall vorliegt. Du musst entscheiden: erst rechnen, dann erkennen. Wenn alle x verschwinden → Sonderfall (Fall 2 oder 3). Wenn x stehen bleibt → Fall 1 mit konkreter Lösung. Lösungen: a) ℚ · b) {3} · c) { } · d) {4}.

A23

Konstruiere selbst eine Gleichung mit L = { }

AFB III

Erfinde eine eigene Gleichung der Form a·(x + b) = a·x + c, die keine Lösung hat. Schreibe sie auf — und erkläre kurz, warum sie keine Lösung hat.

Lösungs-Idee anzeigen

Wähle für a eine beliebige Zahl (z. B. 5). Dann muss links nach dem Ausmultiplizieren 5x + 5b stehen, rechts steht 5x + c. Damit es keine Lösung gibt, muss 5b ≠ c sein. Beispiel: 5·(x + 2) = 5x + 11 → 5x + 10 = 5x + 11 → 10 = 11 → L = { }. Allgemein: Wähle b und c so, dass a·b ≠ c.

A24

Finde den passenden Wert für c

AFB III

Welcher Wert für c macht die Gleichung 2·(x + 3) = 2x + c zu einer Gleichung mit unendlich vielen Lösungen?

c =

Idee: Multipliziere die linke Seite aus. Es ergibt sich 2x + 6 = 2x + c.Damit beide Seiten genau gleich werden, muss c gleich der „6“ sein.

Lösung: c = 6. Dann steht links und rechts dasselbe (2x + 6 = 2x + 6) → L = ℚ. Bei jedem anderen Wert für c ist L = { }.

Was passiert bei c = 5, c = 6, c = 7? Erkläre den Übergang.

Bei c = 5: 2x + 6 = 2x + 5 → 6 = 5 → L = { }. Bei c = 6: 2x + 6 = 2x + 6 → identisch → L = ℚ. Bei c = 7: 2x + 6 = 2x + 7 → 6 = 7 → L = { }. Nur genau ein Wert (c = 6) erzeugt den Fall „unendlich viele Lösungen“ — alle anderen Werte führen zu „keine Lösung“. Spannender Sprung!

A25

Behauptung prüfen

AFB II

Tim behauptet: „Die Gleichung 3x + 5 = 3x + 5 hat genau eine Lösung, nämlich x = 0, weil links und rechts dasselbe steht.“ Stimmt das?

Antwort

Nein, Tim irrt sich. Wenn beide Seiten algebraisch identisch sind (3x + 5 = 3x + 5), ist die Aussage für jedes x wahr — nicht nur für x = 0. Test: x = 1 → 8 = 8 ✓. x = 100 → 305 = 305 ✓. x = −5 → −10 = −10 ✓. Also L = ℚ, nicht L = {0}. Tim verwechselt „beide Seiten gleich“ mit „x muss 0 sein“.

A26

Knifflig — Klammer auf beiden Seiten

AFB II

Bestimme die Lösungsmenge: 4·(x − 1) = 2·(2x − 2).

L =

Schritt 1: Beide Klammern getrennt ausmultiplizieren.

Zwischenstand: 4x − 4 = 4x − 4. Beide Seiten sind identisch.

Lösung: L = ℚ. Jede Zahl löst die Gleichung.

A27

Lösungsmenge richtig aufschreiben

AFB I

Drei Gleichungen, die alle mit 9x + 2 beginnen. Bestimme jeweils die Lösungsmenge L und achte auf die richtige Schreibweise.

a) 9x + 2 = 9x + 2 → L =

b) 9x + 2 = 9x + 5 → L =

c) 9x + 2 = 2x + 51 → L =

Erster Blick: Zähle die x auf beiden Seiten. Bei a) und b) sind es beide Male 9 — dort fällt x weg. Bei c) sind es 9 und 2, also bleibt x stehen.Warum? Nur wenn links und rechts gleich viele x stehen, kann ein Spezialfall entstehen.

Was übrig bleibt: a) 2 = 2 (wahr) · b) 2 = 5 (falsch) · c) 7x = 49.

Lösung: a) L = ℚ · b) L = { } · c) 7x = 49 → x = 7, also L = {7}. Schreibe die einzelne Lösung immer in Mengenklammern: L = {7}, nicht nur „7“.

A28

Begründen: Warum ist genau eine Lösung unmöglich?

AFB III

Betrachte alle Gleichungen der Bauart a·(x + b) = a·x + c, wobei a, b und c feste Zahlen sind und a ≠ 0 ist. Begründe: Eine solche Gleichung hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen — aber niemals genau eine. Schreibe deine Begründung erst selbst auf.

Begründung anzeigen

Multipliziert man links aus, steht dort a·x + a·b, rechts steht a·x + c. Auf beiden Seiten kommt derselbe Term a·x vor. Zieht man ihn ab, verschwindet x vollständig aus der Gleichung — übrig bleibt die reine Zahlenaussage a·b = c. Diese Aussage enthält kein x mehr, also kann x sie auch nicht mehr beeinflussen. Zwei Fälle sind möglich: Ist a·b = c wahr, stimmt die Gleichung für jede eingesetzte Zahl → L = ℚ. Ist a·b = c falsch, stimmt sie für keine Zahl → L = { }. Ein dritter Fall wäre nur möglich, wenn x stehen bliebe — und das passiert genau dann nicht, wenn links und rechts gleich viele x stehen, wie hier. Beispiel: 5·(x + 3) = 5x + 15 → L = ℚ; 5·(x + 3) = 5x + 16 → L = { }.

A29

Gemischtes Training — alle drei Fälle

AFB III

Hier ist nichts vorsortiert: Jede Gleichung kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen haben. Rechne jeweils vollständig und gib die Lösungsmenge L an.

a) 5x + 9 = 5x + 9 → L =

b) 8x − 4 = 3x + 11 → L =

c) 3·(2x + 5) = 6x + 14 → L =

d) 2·(3x − 1) = 3·(2x − 1) + 1 → L =

Reihenfolge: Erst alle Klammern ausmultiplizieren, dann jede Seite für sich zusammenfassen, erst danach entscheiden.Warum? Bei d) steht rechts nach dem Zusammenfassen 6x − 2 — das sieht man der Aufgabe vorher nicht an.

Zwischenstand: a) beide Seiten identisch · b) 5x = 15 · c) 6x + 15 = 6x + 14 · d) links 6x − 2, rechts 6x − 3 + 1 = 6x − 2.

Lösung: a) L = ℚ · b) x = 3, also L = {3} · c) 15 = 14 ist falsch → L = { } · d) beide Seiten sind 6x − 2 → L = ℚ.

Woran hast du bei jeder Teilaufgabe den Fall erkannt?

Der Entscheidungspunkt ist immer derselbe: Steht nach dem Zusammenfassen auf beiden Seiten dieselbe Anzahl x? Bei a), c) und d) ja (5 und 5, 6 und 6, 6 und 6) — dort fällt x weg und nur die Zahlenaussage entscheidet: 9 = 9 wahr → ℚ, 15 = 14 falsch → { }, −2 = −2 wahr → ℚ. Bei b) sind es 8 und 3 x, also bleibt x stehen und es ergibt sich genau eine Lösung. Aufgabe d) ist die Stolperfalle: Wer rechts das „+ 1“ übersieht, landet bei −2 = −3 und schreibt fälschlich L = { }.

A30

Trickaufgabe — ein Parameter, drei Möglichkeiten?

Mix

Gegeben ist die Gleichung a·x + 6 = 4x + 6. Die Zahl a darfst du frei wählen.

Für welches a hat die Gleichung unendlich viele Lösungen? a =

Vergleiche die Seiten: Die Zahl 6 steht bereits auf beiden Seiten. Es entscheidet sich also allein an den x-Termen a·x und 4x.Warum? Zieht man auf beiden Seiten 6 ab, bleibt a·x = 4x übrig.

Weiterdenken: Aus a·x = 4x wird a·x − 4x = 0, also (a − 4)·x = 0. Überlege, wann dieses Produkt für jedes x null ist — und wann nur für ein einziges x.

Lösung: a = 4. Dann steht links und rechts derselbe Term 4x + 6 → L = ℚ.

Und was passiert bei allen anderen Werten von a? Überlege erst selbst.

Für jedes a ≠ 4 bleibt (a − 4)·x = 0 mit einem Faktor (a − 4), der nicht null ist. Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist — also muss x = 0 sein. Die Gleichung hat dann genau eine Lösung: L = {0}. Beispiel a = 7: 7x + 6 = 4x + 6 → 3x = 0 → x = 0. Der Trick liegt darin, dass diese Gleichung nie die leere Menge liefert: Da rechts und links dieselbe Zahl 6 steht, ist x = 0 immer eine Lösung. Es gibt hier also nur zwei Möglichkeiten — L = ℚ für a = 4 und L = {0} für alle anderen a.

Diese Aufgabe ist absichtlich knifflig: Viele erwarten, dass „x fällt weg“ automatisch zu L = { } oder L = ℚ führt. Hier fällt x aber nur teilweise weg — und genau deshalb entsteht die einzelne Lösung x = 0, die sonst so oft fälschlich hingeschrieben wird.

Übungen: Spezialfälle — keine oder unendlich viele Lösungen

Übungsaufgaben