Zwei Angebote für den Anstrich
AFB IIZwei Malerbetriebe geben ein Angebot für den Anstrich der Klassenräume ab. Betrieb Neumann rechnet für jeden der vier Räume 15 € Materialpauschale und 2 € je Quadratmeter Wandfläche; Betrieb Ohlsen nennt gleich einen Gesamtpreis (Material M1). Die gesamte Wandfläche \(f\) wird in Quadratmetern angegeben und ist gleichmäßig auf die vier Räume verteilt.
| Betrieb | Preisangabe |
|---|---|
| Neumann | \(4\cdot(2f + 15)\) Euro |
| Ohlsen | \(8f + 60\) Euro |
Beide Angebote beziehen sich auf dieselbe Gesamtfläche \(f\) in Quadratmetern.
- Stelle die Gleichung für gleiche Preise auf und löse sie.
- Deute dein Ergebnis im Sachzusammenhang und überprüfe es für \(f = 12\) und \(f = 30\).
- Ohlsen erhöht seinen Preis auf \(8f + 68\). Löse die neue Gleichung und erkläre, was das Ergebnis für den Vergleich bedeutet.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(4\cdot(2f + 15) = 8f + 60\)
\(8f + 60 = 8f + 60 \;\;|\; -8f\)
\(60 = 60\)
Die Aussage ist für jede Zahl \(f\) wahr. Die Gleichung hat also unendlich viele Lösungen — die Lösungsmenge besteht aus allen Zahlen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beide Betriebe verlangen für jede Wandfläche genau denselben Preis; die Angebote sind nur unterschiedlich aufgeschrieben. Neumanns Klammerform macht die Kalkulation sichtbar, Ohlsens Form ist bereits ausmultipliziert.
\(f = 12\): Neumann \(4\cdot(24+15) = 4\cdot 39 = 156\); Ohlsen \(8\cdot 12 + 60 = 96 + 60 = 156\).
\(f = 30\): Neumann \(4\cdot(60+15) = 4\cdot 75 = 300\); Ohlsen \(8\cdot 30 + 60 = 240 + 60 = 300\).
Die Schule kann also allein nach anderen Kriterien entscheiden, etwa nach Termin oder Referenzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(8f + 60 = 8f + 68 \;\;|\; -8f\)
\(60 = 68\)
Das ist eine falsche Aussage; die Gleichung hat keine Lösung. Es gibt also keine Wandfläche, bei der beide Betriebe gleich viel verlangen.
Der Grund ist anschaulich klar: Beide berechnen denselben Preis je Quadratmeter, Ohlsen verlangt aber 8 € mehr Grundbetrag. Dieser Abstand bleibt bei jeder Fläche gleich — Neumann ist nun immer um 8 € günstiger.
Der Zahlentrick aus der Mathe-AG
AFB IIIIn der Mathe-AG führt Jonas einen Trick vor: „Denk dir eine Zahl. Addiere 6. Verdopple das Ergebnis. Subtrahiere 4. Halbiere. Subtrahiere zum Schluss deine gedachte Zahl.“ Er behauptet, das Ergebnis vorhersagen zu können, ohne die gedachte Zahl zu kennen (Material M2).
| Schritt | Anweisung |
|---|---|
| 1 | Denk dir eine Zahl \(x\) |
| 2 | Addiere 6 |
| 3 | Verdopple |
| 4 | Subtrahiere 4 |
| 5 | Halbiere |
| 6 | Subtrahiere die gedachte Zahl |
Erlaubt sind alle Zahlen — auch negative und Kommazahlen.
- Stelle einen Term für das Endergebnis auf und fasse ihn so weit wie möglich zusammen.
- Begründe mit deinem Term, warum das Ergebnis nicht von der gedachten Zahl abhängt, und überprüfe das für \(x = 7\) und \(x = -3\).
- Mia möchte den Trick so erklären, dass am Ende 5 herauskommt, und schreibt die Gleichung dazu auf. Untersuche, welche Zahl sie sich dafür denken muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Schritt für Schritt: \(x \to x+6 \to 2\cdot(x+6) \to 2(x+6)-4 \to \dfrac{2(x+6)-4}{2} \to \dfrac{2(x+6)-4}{2} - x\).
\(\dfrac{2(x+6)-4}{2} - x = \dfrac{2x+12-4}{2} - x = \dfrac{2x+8}{2} - x\)
\(= x + 4 - x = 4\)
Der Term ist also gleich der Zahl 4.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beim Zusammenfassen heben sich \(+x\) und \(-x\) auf; die Variable verschwindet vollständig. Übrig bleibt die Konstante 4, und eine Konstante ändert sich nicht, wenn man \(x\) verändert. Deshalb kann Jonas das Ergebnis immer vorhersagen.
\(x = 7\): \(7 \to 13 \to 26 \to 22 \to 11 \to 11-7 = 4\).
\(x = -3\): \(-3 \to 3 \to 6 \to 2 \to 1 \to 1-(-3) = 4\).
Beide Proben liefern 4 — auch mit einer negativen Ausgangszahl.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mias Ansatz führt auf
\(\dfrac{2(x+6)-4}{2} - x = 5\)
Die linke Seite ist nach a) für jede Zahl gleich 4, also bleibt
\(4 = 5\)
Das ist eine falsche Aussage; die Gleichung hat keine Lösung. Es gibt keine gedachte Zahl, mit der am Ende 5 herauskommt — der Trick liefert unabänderlich 4.
Mia muss also die Anweisungen ändern, wenn sie 5 erreichen will: Addiert sie im zweiten Schritt 7 statt 6, so ergibt sich \(\dfrac{2x+14-4}{2} - x = x+5-x = 5\). Der Trick funktioniert dann für jede Zahl mit dem Ergebnis 5.