10 Aufgaben zum Begründen und Beurteilen: Sonderfälle, Parameter, Fehleranalyse und Grenzen des Modells.
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Aufgabenblock — AFB III
Diese Übung deckt alle fünf Unterkapitel des Themas „Gleichungssysteme“ ab. Auf der Stufe AFB III (Verallgemeinern und Beurteilen) wird nicht mehr nur gerechnet: Du begründest Sonderfälle, findest fremde Fehler, überträgst das Verfahren auf Parameter, Brüche und drei Unbekannte und beurteilst, ob ein rechnerisch richtiges Ergebnis im Sachzusammenhang überhaupt Sinn ergibt. Das sind die 10 Aufgaben für die letzte Note.
A1
Ein Parameter entscheidet
AFB III
I y = 2x + 5 II 4x − 2y = k
In Gleichung II steht statt einer festen Zahl der Parameter k. Untersuche, wie k über die Lösungsmenge bestimmt: Für welches k hat das System unendlich viele Lösungen — und wie viele Lösungen hat es für k = 6?
Beide auf dieselbe Form bringen: Löse II nach y auf: −2y = −4x + k, also y = 2x − 0,5k. Vergleiche das mit y = 2x + 5.
Vergleich der Achsenabschnitte: Die Steigung ist in beiden Fällen 2 — die Geraden sind also nie schneidend, sondern immer parallel oder identisch. Entscheidend ist allein b.
Lösung: Identisch werden sie für −0,5k = 5, also k = −10 — dann unendlich viele Lösungen. Für k = 6 ist y = 2x − 3, also parallel zu y = 2x + 5: 0 Lösungen.
A2
Fehlersuche in einer Klassenarbeit
AFB III
I 3x − 2y = 5 II 4x + 3y = 18
Ein Schüler hat diesen Lösungsweg abgegeben. Drei Zeilen sind falsch. Prüfe jede Zeile für sich: Was müsste an dieser Stelle richtig stehen? Klicke genau die fehlerhaften Zeilen an.
In dieser Rechnung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Die drei Fehler stehen für die drei häufigsten Punktverluste: eine halbe Multiplikation, ein Vorzeichen beim Teilen und eine vertauschte Antwort. Alle drei fallen sofort auf, wenn man am Ende die Probe in beiden Gleichungen macht — mit (2 | 3) ergäbe Gleichung I nämlich 6 − 6 = 0 und nicht 5.
A3
Sonderfälle beurteilen
AFB III
Fünf Aussagen über Systeme, die keine oder unendlich viele Lösungen haben. Entscheide jeweils, ob die Aussage allgemein gilt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Der Kern: Ob ein System keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat, hängt nur am Vergleich von m und b. Verschiedene m → genau eine Lösung. Gleiches m, verschiedenes b → keine. Gleiches m und gleiches b → unendlich viele. Die Zeilen 0 = 7 und 0 = 0 sind nur die rechnerischen Spuren dieser beiden Sonderfälle.
A4
Von zwei auf drei Unbekannte
AFB III
Drei Klassen sammeln zusammen 24 kg Altpapier. Die Klassen 8a und 8b sammeln gleich viel, die 8c sammelt doppelt so viel wie die 8b. Übertrage dein Verfahren aus dem Unterricht auf drei Unbekannte: Stelle die drei Gleichungen auf und berechne, wie viel jede Klasse gesammelt hat.
kg
kg
kg
Gleichungen aufstellen: a + b + c = 24, dazu a = b und c = 2b. Zwei der drei Gleichungen sagen dir bereits, wie a und c von b abhängen.
Alles durch b ausdrücken: Ersetze in der ersten Gleichung a durch b und c durch 2b: b + b + 2b = 24, also 4b = 24.
Lösung: b = 6, damit a = 6 und c = 2 · 6 = 12. Probe: 6 + 6 + 12 = 24 ✓ Das Prinzip ist dasselbe wie bei zwei Variablen: so lange einsetzen, bis nur noch eine Unbekannte übrig ist.
A5
Ein System mit Brüchen — Weg planen
AFB III
I x/2 + y/3 = 6 II x − y = 2
Brüche in einem Gleichungssystem sind kein neues Verfahren, sondern ein zusätzlicher Vorbereitungsschritt. Bringe die fünf Schritte in die Reihenfolge, die am wenigsten Rechenarbeit macht.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Gleichung I mit 6 multiplizieren, damit die Nenner verschwinden: 3x + 2y = 36
2Gleichung II nach x umstellen: x = y + 2
3x = y + 2 in die bruchfreie Gleichung einsetzen: 3 · (y + 2) + 2y = 36
4Zusammenfassen und lösen: 5y + 6 = 36, also y = 6
5Rückeinsetzen und Probe: x = 8, denn 8 : 2 + 6 : 3 = 4 + 2 = 6
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner 2 und 3 ist 6 — deshalb genau dieser Faktor. Entscheidend ist die Reihenfolge: erst die Brüche wegräumen, dann ein Verfahren wählen. Wer zuerst einsetzt und danach mit Brüchen weiterrechnet, kommt zwar auch zum Ziel, macht aber deutlich mehr Fehler. Die Lösung ist L = {(8 | 6)}.
A6
Vom Text zur Formel und zurück
AFB III
Ein Rechteck hat den Umfang 34 cm. Die Länge ist 5 cm größer als die Breite. Begründe zuerst, warum hier ein Gleichungssystem entsteht, und berechne dann beide Seiten.
cm
cm
Zwei Bedingungen, zwei Gleichungen: Die erste Bedingung ist der Umfang: 2l + 2b = 34. Die zweite ist der Vergleich der Seiten: l = b + 5.
Einsetzen: Setze l = b + 5 in die Umfangsgleichung ein: 2 · (b + 5) + 2b = 34, also 4b + 10 = 34.
Lösung: 4b = 24, also b = 6 cm und l = 6 + 5 = 11 cm. Probe: 2 · 11 + 2 · 6 = 22 + 12 = 34 cm ✓ Eine einzige Gleichung reicht hier nicht, weil zwei unbekannte Längen gesucht sind — für jede Unbekannte braucht es eine eigene Bedingung.
Zwei Bedingungen an dieselbe Figur — daraus wird ein Gleichungssystem.
A7
Fünf Systeme, fünf Eigenschaften
AFB III
Vor dir stehen fünf Gleichungssysteme. Beantworte jede Frage, indem du das passende System anklickst — jedes Mal ist genau eines gemeint. Rechne nicht alles durch: Schau auf die Form.
Klicke das gesuchte Element im Schema an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Die Auflösung: ① ist parallel (keine Lösung), ② ist dieselbe Gerade (unendlich viele Lösungen), ③ ergibt S (1 | 5), ④ ergibt (3 | 2) und ⑤ ergibt (6 | 3). Bei ④ heben sich +y und −y beim Addieren sofort auf, bei ⑤ führt Einsetzen auf 3 · 2y − y = 15. Wer die Form liest, spart sich in der Klassenarbeit vier von fünf Rechnungen.
A8
Eine Formel für alle Fälle
AFB III
I x + y = s II x − y = d
Statt konkreter Zahlen stehen hier die Buchstaben s (Summe) und d (Differenz). Löse das System allgemein — heraus kommt eine Formel, die für jedes Zahlenpaar funktioniert. Wende sie dann auf s = 46 und d = 12 an.
Addieren: Addiere beide Gleichungen: (x + y) + (x − y) = s + d. Links bleibt 2x, weil sich +y und −y aufheben.
Die beiden Formeln: Aus 2x = s + d folgt x = (s + d) : 2. Subtrahieren liefert 2y = s − d, also y = (s − d) : 2.
Lösung: Mit s = 46 und d = 12: x = (46 + 12) : 2 = 58 : 2 = 29 und y = (46 − 12) : 2 = 34 : 2 = 17. Probe: 29 + 17 = 46 und 29 − 17 = 12 ✓ Diese Formel steckt hinter jeder Aufgabe vom Typ „Summe und Differenz sind gegeben“.
A9
Entscheidungsbaum: Wie viele Lösungen?
AFB III
I 6x − 4y = 8 II y = 1,5x − 2
Arbeite dich mit Ja/Nein durch den Baum und begründe unterwegs jede Antwort für dieses System. Am Ende muss das Ergebnis herauskommen, das wirklich zutrifft.
Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Der Schlüssel steckt in Gleichung I: 6x − 4y = 8 wird zu −4y = −6x + 8 und damit zu y = 1,5x − 2 — buchstäblich dieselbe Gerade wie in Gleichung II. Deshalb ist jedes Zahlenpaar auf dieser Geraden eine Lösung. Genau diese drei Fragen — y vorhanden? m gleich? b gleich? — beantworten die Lösungsanzahl jedes linearen Systems, ganz ohne Rechnung.
A10
Wenn die Rechnung stimmt, die Antwort aber nicht
AFB III
Ein Zeltlager hat 12 Zelte, teils für 4, teils für 6 Personen. Untergebracht werden sollen 47 Personen.
I x + y = 12 (Anzahl der Zelte) II 4x + 6y = 47 (Anzahl der Plätze)
Rechnet man das System durch, erhält man x = 12,5 und y = −0,5. Fülle den Text aus, der erklärt, was dieses Ergebnis bedeutet.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Rechnerisch besitzt das System genau eine . Im ist dieses Ergebnis jedoch wertlos, denn eine Anzahl von Zelten muss sein und darf nicht werden. Der tiefere Grund: Für ganze Zahlen ist der Term 4x + 6y immer , die Personenzahl 47 aber ist .
Das ist die wichtigste Einsicht der ganzen Übung: Ein Gleichungssystem rechnet immer — ob das Ergebnis auch etwas bedeutet, entscheidet der Sachkontext. Hier verrät schon ein Blick auf die Parität, dass es gar nicht klappen kann: 4x und 6y sind bei ganzen Zahlen beide gerade, ihre Summe also ebenfalls. 47 ist ungerade — mit 4er- und 6er-Zelten sind niemals genau 47 Plätze zu erreichen. Zwei Zelte weniger oder ein Platz mehr, und die Aufgabe wäre lösbar.
Wie war es?
Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 Aufgaben der Stufe AFB III?
