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Übung — AFB II

10 Aufgaben zum Verknüpfen: Verfahren auswählen, Gleichungen vorbereiten, Sachtexte in Systeme übersetzen.

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Aufgabenblock — AFB II

Diese Übung deckt alle fünf Unterkapitel des Themas „Gleichungssysteme“ ab. Auf der Stufe AFB II (Zusammenhänge herstellen) reicht es nicht mehr, ein Verfahren abzuspulen: Du musst das passende Verfahren auswählen, Gleichungen erst vorbereiten und aus einem Sachtext selbst ein Gleichungssystem aufstellen. Das sind die 10 Aufgaben, an denen sich in der Klassenarbeit die Note entscheidet.

A1
Verfahren wählen und sauber durchziehen
AFB II

I y = 2x − 1
II 3x + 4y = 18

Spiele den Lösungsweg Schritt für Schritt durch. Es geht nicht nur darum, ob du rechnen kannst — sondern ob du den kürzesten Weg erkennst.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Merksatz für die Klassenarbeit: Erst schauen, dann rechnen. Ist eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst, ist Einsetzen fast immer am schnellsten. Und die Klammer beim Einsetzen ist der Fehler Nummer eins — sie kostet mehr Punkte als jeder Rechenfehler.
    A2
    Additionsverfahren mit zwei Faktoren
    AFB II

    I 2x + 3y = 12
    II 3x − 2y = 5

    Hier passt kein Koeffizientenpaar von selbst zusammen. Multipliziere beide Gleichungen passend, sodass sich die y-Glieder beim Addieren aufheben, und berechne dann x und y.

    Ziel festlegen: Die y-Koeffizienten sind +3 und −2. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 2 ist 6 — du willst also +6y und −6y erzeugen.
    Multiplizieren: Rechne I·2: 4x + 6y = 24 und II·3: 9x − 6y = 15. Achte darauf, jedes Glied zu multiplizieren, auch die rechte Seite.
    Lösung: Addiert ergibt das 13x = 39, also x = 3. Eingesetzt in I: 6 + 3y = 12, also 3y = 6 und y = 2. Die Zeichnung bestätigt S (3 | 2).
    xyIIIS (3 | 2)
    Beide Gleichungen als Geraden — der Schnittpunkt ist das Ergebnis der Rechnung.
    A3
    Pfandautomat
    AFB II

    Ein Getränkemarkt zählt die Rückgabe eines Vereins aus: insgesamt 90 Flaschen. Kleine Flaschen bringen 0,15 € Pfand, große 0,25 €. Ausgezahlt werden 17,50 €. Wie viele Flaschen waren es von jeder Sorte?

    Stück
    Stück
    Zwei Gleichungen aufstellen: Nenne k die Anzahl der kleinen und g die der großen Flaschen. Dann gilt k + g = 90 (Stückzahl) und 0,15k + 0,25g = 17,50 (Geldwert).
    Einsetzen statt raten: Stelle die erste Gleichung um: k = 90 − g. Setze das in die zweite ein: 0,15 · (90 − g) + 0,25g = 17,50.
    Lösung: 13,50 − 0,15g + 0,25g = 17,50, also 0,1g = 4 und g = 40. Damit ist k = 50. Probe: 50 · 0,15 € + 40 · 0,25 € = 7,50 € + 10,00 € = 17,50 € ✓
    A4
    Zweier und Dreier
    AFB II

    Lena trifft im Basketballspiel 12-mal und erzielt damit 29 Punkte — nur Zweier und Dreier, keine Freiwürfe. Rechne dich in vier Schritten zur Aufteilung durch.

    Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
    1. Wie viele Punkte hätte Lena, wenn alle 12 Treffer Zweier gewesen wären? Punkte
    2. Wie viele Punkte fehlen von diesem Wert bis zu den tatsächlichen 29 Punkten? Punkte
    3. Jeder Dreier bringt genau einen Punkt mehr als ein Zweier. Wie viele Dreier waren es? Dreier
    4. Und wie viele Zweier hat Lena getroffen? Zweier
    Das war der Annahme-Trick: erst so tun, als wäre alles gleich, dann die Differenz aufteilen. Dahinter steckt genau das System z + d = 12 und 2z + 3d = 29 — Schritt 1 und 2 sind nichts anderes als das Additionsverfahren, nur in Worten. Probe: 7 · 2 + 5 · 3 = 14 + 15 = 29 ✓
    A5
    Welches Verfahren passt am besten?
    AFB II

    Alle neun Systeme lassen sich mit jedem Verfahren lösen — aber jeweils eines ist deutlich am schnellsten. Ordne nach der Form, in der die Gleichungen dastehen.

    Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
    1Gleichsetzen
    2Einsetzen
    3Addieren
    Die Faustregel steckt in der Form: beide nach derselben Variablen aufgelöst → gleichsetzen; eine aufgelöst → einsetzen; beide in der Form ax + by = c mit passenden Koeffizienten → addieren. Wer das erkennt, spart in der Klassenarbeit mehrere Minuten.
    A6
    Räder auf dem Schulhof
    AFB II

    Auf dem Hof stehen nur Fahrräder und Autos, zusammen 14 Fahrzeuge. Der Hausmeister zählt 38 Räder. Wie viele Fahrräder und wie viele Autos sind es? (Ein Fahrrad hat 2 Räder, ein Auto 4.)

    Stück
    Stück
    Was zählt wie?: Die erste Gleichung zählt Fahrzeuge: f + a = 14. Die zweite zählt Räder: 2f + 4a = 38.
    Vorbereiten: Multipliziere die erste Gleichung mit 2: 2f + 2a = 28. Jetzt kannst du subtrahieren.
    Lösung: (2f + 4a) − (2f + 2a) = 38 − 28 ergibt 2a = 10, also a = 5 Autos und f = 9 Fahrräder. Probe: 9 · 2 + 5 · 4 = 18 + 20 = 38 Räder ✓
    A7
    Gleichsetzen, Addieren — oder beides?
    AFB II

    Neun Aussagen über zwei Verfahren. Entscheide jeweils, ob sie nur für das Gleichsetzungsverfahren gilt, nur für das Additionsverfahren — oder für beide.

    Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
    1 nur Gleichsetzen
    2 beide Verfahren
    3 nur Addieren
    Die Mitte ist der Kern: Jedes Verfahren hat dasselbe Ziel — eine Gleichung mit nur einer Variablen. Unterschiedlich ist nur der Weg dahin. Deshalb liefern alle Verfahren dasselbe Ergebnis, und deshalb darfst du in der Klassenarbeit frei wählen, solange du sauber rechnest.
    A8
    Umstellen, dann einsetzen
    AFB II

    I 2x + y = 7
    II 4x − 3y = 9

    Keine der beiden Gleichungen ist aufgelöst — aber eine lässt sich mit einem einzigen Schritt sehr bequem umstellen. Finde sie und löse das System.

    Die bequeme Gleichung: In Gleichung I steht y ganz allein mit dem Koeffizienten 1. Subtrahiere 2x: y = 7 − 2x.
    Einsetzen: In II: 4x − 3 · (7 − 2x) = 9. Klammer nicht vergessen — das Minus muss auf beide Summanden wirken.
    Lösung: 4x − 21 + 6x = 9, also 10x = 30 und x = 3. Damit ist y = 7 − 6 = 1. Probe in II: 12 − 3 = 9 ✓
    A9
    Zwei Behälter, ein Zeitpunkt
    AFB II

    Behälter A enthält 60 Liter und läuft mit 4 Litern pro Minute leer. Behälter B enthält 20 Liter und wird mit 6 Litern pro Minute gefüllt.

    I y = 60 − 4t   (Behälter A)
    II y = 20 + 6t   (Behälter B)

    Rechne aus, nach wie vielen Minuten beide gleich viel Wasser enthalten, und stelle den Regler auf diesen Wert.

    Schiebe den Regler auf deinen Wert — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
    0 Minuten12 Minuten
    Gleichsetzen: 60 − 4t = 20 + 6t → 40 = 10t → t = 4 Minuten. Beide enthalten dann 44 Liter (60 − 16 = 44 und 20 + 24 = 44). Das ist derselbe Rechenweg wie bei zwei Geraden — nur heißt die Variable hier t statt x, und der Schnittpunkt hat eine Bedeutung: den Zeitpunkt des Gleichstands.
    A10
    Nicht zu früh aufhören
    AFB II

    Die Geraden y = 4x − 5 und y = x + 7 schneiden sich in genau einem Punkt. Gesucht ist der y-Wert dieses Schnittpunkts.

    Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
    Gleichsetzen: 4x − 5 = x + 7 → 3x = 12 → x = 4. Wer hier aufhört, trägt 4 ein — gefragt war aber y. Einsetzen: y = 4 + 7 = 11 (Kontrolle mit der anderen Gleichung: 4 · 4 − 5 = 11 ✓). Der Schnittpunkt ist S (4 | 11). Lies in der Klassenarbeit immer nach, welche der beiden Zahlen verlangt ist.

    Wie war es?

    Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 Aufgaben der Stufe AFB II?