Die 10 häufigsten Fehler
1Beim Subtrahieren nur das erste Vorzeichen gedreht
Falsch: I − II wird zu 3x + 2y − x + 2y = 4 zusammengefasst. Heraus kommt 2x + 4y = 4 — das y ist immer noch da, obwohl es doch wegfallen sollte.
Was ist hier passiert? Das Minuszeichen wurde nur auf den ersten Summanden von II angewendet. „I minus II“ heißt aber, die ganze Gleichung II abzuziehen — also auch + 2y zu − 2y zu machen.
Richtig: 3x − x + 2y − 2y = 12 − 8, also 2x = 4 und damit x = 2. Rücksubstitution in II: 2 + 2y = 8 → y = 3. Probe in I: 3 · 2 + 2 · 3 = 12 ✓. L = {(2 | 3)}.
Merksatz: Denk dir eine Klammer: I − (II). Das Minus verteilt sich auf jeden Summanden.2Klammer beim Einsetzen vergessen
Falsch: y = −x + 3 wird in II eingesetzt als 2x − 3 · −x + 3 = 1. Daraus wird 2x + 3x + 3 = 1 und schließlich x = −0,4.
Was ist hier passiert? Der Faktor −3 wurde nur mit dem ersten Summanden −x multipliziert. Die + 3 blieb unangetastet stehen, obwohl −3 · (+3) = −9 ergeben muss.
Richtig: 2x − 3 · (−x + 3) = 1 → 2x + 3x − 9 = 1 → 5x = 10 → x = 2, also y = −2 + 3 = 1. Probe in II: 2 · 2 − 3 · 1 = 1 ✓. L = {(2 | 1)}.
Merksatz: Der eingesetzte Term kommt immer in Klammern — erst danach wird ausmultipliziert.3Nur x berechnet — das y vergessen
Falsch: Nach dem Gleichsetzen 2x − 1 = −x + 5 steht x = 2 da, und als Ergebnis wird L = {2} notiert.
Was ist hier passiert? Ein LGS mit zwei Variablen verlangt zwei Zahlen. x = 2 beschreibt eine ganze senkrechte Gerade — auf ihr liegen unendlich viele Punkte, gesucht ist aber genau einer.
Richtig: x = 2 zurück in I einsetzen: y = 2 · 2 − 1 = 3. Probe in II: −2 + 5 = 3 ✓. L = {(2 | 3)}.
Merksatz: Zwei Variablen → zwei Zahlen. Nach dem x kommt immer die Rücksubstitution.4Probe nur in einer der beiden Gleichungen
Falsch: Als Lösung wird (5 | 2) vermutet. Die Probe in I ergibt 5 + 2 = 7 ✓ — und damit gilt die Aufgabe als erledigt.
Was ist hier passiert? Eine einzelne Gleichung hat unendlich viele Lösungen: alle Punkte ihrer Geraden. (5 | 2) liegt auf Gerade I, aber nicht auf Gerade II: 2 · 5 + 2 = 12 ≠ 11.
Richtig: II − I ergibt x = 4, damit y = 3. Probe in beiden: I: 4 + 3 = 7 ✓ und II: 2 · 4 + 3 = 11 ✓. L = {(4 | 3)}.
Merksatz: Die Probe ist erst mit zwei Häkchen fertig — I und II.5Schnittpunkt geschätzt und als exakt ausgegeben
Falsch: Aus der Zeichnung wird der Schnittpunkt als (0,8 | 1,8) abgelesen und ohne weitere Rechnung als L = {(0,8 | 1,8)} notiert.
Was ist hier passiert? Aus dem Karokästchen lässt sich nur schätzen. Die Probe entlarvt den Ablesewert sofort: II liefert −3 · 0,8 + 4 = 1,6 und nicht 1,8.
Richtig: x + 1 = −3x + 4 → 4x = 3 → x = 0,75, damit y = 0,75 + 1 = 1,75. Probe in II: −3 · 0,75 + 4 = 1,75 ✓. L = {(0,75 | 1,75)}.
Merksatz: Die Zeichnung zeigt, wo die Lösung ungefähr liegt — genau wird sie nur durch Rechnen.60 = 0 als „keine Lösung“ gedeutet
Falsch: Am Ende steht 0 = 0, und daraus wird L = { } gemacht. Umgekehrt wird bei 0 = 2 auf „unendlich viele Lösungen“ getippt.
Was ist hier passiert? Die Schlusszeile wird als Rechenergebnis gelesen („null, also nichts“). Sie ist aber eine Aussage. Die einzige Frage lautet: Ist dieser Satz wahr oder falsch?
Richtig: 0 = 0 ist eine wahre Aussage → jedes Paar, das I erfüllt, erfüllt auch II → unendlich viele Lösungen, L = {(x | −2x + 4)}. 0 = 2 ist eine falsche Aussage → keine Lösung, L = { }.
Merksatz: Wahre Schlusszeile → unendlich viele. Falsche Schlusszeile → keine.7Beim Multiplizieren nur einen Teil der Gleichung erwischt
Falsch: I soll mit (−4) multipliziert werden. Notiert wird −8x − 4y = 8 — die rechte Seite blieb stehen. Nach der Addition mit II kommt x = −5 heraus.
Was ist hier passiert? Multipliziert wurde nur die linke Seite. Eine Gleichung bleibt aber nur dann äquivalent, wenn beide Seiten denselben Faktor bekommen — sonst kippt die Waage.
Richtig: I · (−4) ergibt −8x − 4y = −32. Addition mit II: −5x = −15 → x = 3, damit 2 · 3 + y = 8 → y = 2. Probe in II: 3 · 3 + 4 · 2 = 17 ✓. L = {(3 | 2)}.
Merksatz: Mal nehmen heißt: die ganze Gleichung — links jeden Summanden, rechts die Zahl.8Lösungsmenge falsch notiert
Falsch: Notiert wird L = {x = 2; y = 3} oder kurz L = {2; 3} — manchmal auch mit vertauschter Reihenfolge als L = {3 | 2}.
Was ist hier passiert? {2; 3} ist eine Menge aus zwei einzelnen Zahlen; so schreibt man die Lösungen zweier getrennter Aufgaben. Gesucht ist aber ein Punkt der Ebene, also ein geordnetes Zahlenpaar.
Richtig: L = {(2 | 3)} — runde Klammern für das Paar, Mengenklammern außen, x an erster Stelle. Keine Lösung heißt L = { }, unendlich viele z. B. L = {(x | −2x + 4)}.
Merksatz: Erst x, dann y, in runden Klammern, das Ganze in geschweiften: L = {(2 | 3)}.9Sachaufgabe ohne Antwortsatz und ohne Einheit
Falsch: 3 Hefte und 2 Stifte kosten 7,50 €, ein Heft und 4 Stifte kosten 6,50 €. Als Ergebnis steht nur x = 1,7 und y = 1,2 im Heft.
Was ist hier passiert? Das Gleichungssystem ist richtig gelöst — aber die Aufgabe war ein Text und verlangt eine Antwort. Eine nackte Zahl beantwortet keine Frage, und 1,7 ohne Einheit ist keine Geldangabe.
Richtig: II · 3 − I ergibt 10s = 12,00 → s = 1,20; damit h = 6,50 − 4 · 1,20 = 1,70. Antwortsatz: „Ein Heft kostet 1,70 €, ein Stift kostet 1,20 €.“ Probe in I: 3 · 1,70 + 2 · 1,20 = 7,50 ✓.
Merksatz: Textaufgabe → Textantwort: Zahl + Einheit + ganzer Satz.10Variablen im Sachkontext nicht definiert
Falsch: Auf einem Hof leben Hühner und Schafe, zusammen 20 Köpfe und 56 Beine. Ohne jede Erklärung stehen x + y = 20 und 2x + 4y = 56 da; am Ende lautet die Antwort „8 Hühner und 12 Schafe“.
Was ist hier passiert? Weil nie aufgeschrieben wurde, wofür x und y stehen, werden die beiden Werte am Schluss vertauscht. Die Beinprobe zeigt es: 8 · 2 + 12 · 4 = 64 ≠ 56.
Richtig: zuerst x = Anzahl der Hühner, y = Anzahl der Schafe. Dann II − 2 · I: 2y = 16 → y = 8 und x = 12. Antwort: 12 Hühner und 8 Schafe. Probe: 12 · 2 + 8 · 4 = 56 ✓.
Merksatz: Erst definieren, dann rechnen — die Variablendefinition steht vor der ersten Gleichung.