Die Klasse 8b plant ihre Fahrt
AFB IIDie Klasse 8b spart auf eine Fahrt nach Hamburg. In der Klassenkasse liegen bereits 480,00 €; die 24 Schülerinnen und Schüler wollen nun alle denselben Betrag dazulegen, bis 1200,00 € zusammen sind. Für die Busfahrt liegen außerdem zwei Angebote vor (Material M1).
Es bezeichne \(x\) den Betrag in Euro, den jede Person einzahlt, und \(k\) die Fahrstrecke in Kilometern.
| Angabe | Wert |
|---|---|
| Guthaben der Klassenkasse | 480,00 € |
| Anzahl der Schülerinnen und Schüler | 24 |
| Ziel: Guthaben nach der Einzahlung | 1200,00 € |
| Busfirma Nord | 260,00 € Grundpreis + 2,40 € je Kilometer |
| Busfirma Süd | 140,00 € Grundpreis + 3,00 € je Kilometer |
Jede Person zahlt denselben Betrag in die Kasse ein; der Grundpreis der Busfirmen fällt einmalig an.
- Stelle eine Gleichung für die Einzahlung auf und berechne, wie viel jede Person einzahlen muss.
- Bestimme, bei welcher Fahrstrecke beide Busfirmen gleich viel kosten, und gib diesen Preis an.
- Berechne die Kosten beider Firmen für eine Strecke von 250 km und entscheide begründet, welche Firma die Klasse buchen sollte.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(480+24x=1200 \quad\big|\ -480\)
\(24x=720 \quad\big|\ :24\)
\(x=30\)
Jede Person muss 30,00 € einzahlen. Probe: \(480+24\cdot 30=480+720=1200\) — richtig.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Kosten der Firma Nord: \(K_N=260+2{,}4k\). Kosten der Firma Süd: \(K_S=140+3k\).
Gleichsetzen:
\(260+2{,}4k=140+3k \quad\big|\ -2{,}4k\)
\(260=140+0{,}6k \quad\big|\ -140\)
\(120=0{,}6k \quad\big|\ :0{,}6\)
\(k=200\)
Preis: \(K_N=260+2{,}4\cdot 200=260+480=740\); Probe \(K_S=140+3\cdot 200=140+600=740\).
Bei genau 200 km kosten beide Firmen dasselbe, nämlich 740,00 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Firma Nord: \(260+2{,}4\cdot 250=260+600=860\) €.
Firma Süd: \(140+3\cdot 250=140+750=890\) €.
Die Klasse sollte Firma Nord buchen; sie spart damit 30,00 €. Das war zu erwarten: Ab 200 km ist Nord günstiger, weil dort der Kilometerpreis niedriger ist. Der höhere Grundpreis von Nord macht sich nur auf kurzen Strecken bemerkbar, und 250 km liegen deutlich über der berechneten Grenze.
Zwei Wege zum selben Preis?
AFB IIIDie Klasse 8b bestellt Hefte in einem Onlineshop. Es gibt zwei Möglichkeiten, am Ende drei Hefte zu Hause zu haben (Material M2). Lena will wissen, bei welchem Heftpreis \(x\) beide Wege gleich teuer sind, und notiert ihren Rechenweg in Material M3.
Ihr Nachbar Tobias sagt dazu: „Wenn am Ende eine Gleichung ohne \(x\) stehen bleibt, hat man sich immer verrechnet.“
| Weg | Beschreibung |
|---|---|
| Weg A | 3 Hefte bestellen und 8,00 € Versandkosten zahlen. |
| Weg B | 5 Hefte bestellen (Versand frei) und 2 Hefte zurückschicken; für jedes zurückgeschickte Heft werden \(x-4\) Euro erstattet, weil 4,00 € Bearbeitungsgebühr einbehalten werden. |
In beiden Fällen behält die Klasse am Ende 3 Hefte; \(x\) ist der Preis eines Heftes in Euro.
| Schritt | Notiz aus dem Heft |
|---|---|
| 1 | Gleichung ansetzen: \(3x+8=5x-2\cdot(x-4)\) |
| 2 | Klammer auflösen: \(3x+8=5x-2x-8\) |
| 3 | zusammenfassen: \(3x+8=3x-8\) |
| 4 | \(3x\) auf beiden Seiten abziehen: \(8=-8\) |
| 5 | „Das ist falsch — also sind die beiden Wege nie gleich teuer.“ |
Lena hat in Schritt 3 und 4 korrekt weitergerechnet — der Fehler liegt davor.
- Stelle für Weg A und Weg B je einen Term für die Gesamtkosten auf und erläutere den Term für Weg B.
- Überprüfe Lenas Rechenweg und gib an, in welchem Schritt der Fehler steckt.
- Löse die Gleichung korrekt und interpretiere dein Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Nimm zu Tobias' Behauptung Stellung und gib selbst eine Gleichung an, die keine Lösung hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Weg A: \(K_A=3x+8\) — drei Hefte zum Preis \(x\) plus 8,00 € Versand.
Weg B: \(K_B=5x-2\cdot(x-4)\).
Erläuterung zu Weg B: Zuerst werden fünf Hefte bezahlt, das kostet \(5x\) Euro. Für jedes der beiden zurückgeschickten Hefte gibt es \(x-4\) Euro zurück, für zwei Hefte also \(2\cdot(x-4)\) Euro. Dieser Betrag wird abgezogen — deshalb steht ein Minuszeichen vor der Klammer.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der Fehler steckt in Schritt 2. Beim Auflösen von \(-2\cdot(x-4)\) muss der Faktor \(-2\) mit beiden Summanden in der Klammer multipliziert werden:
\(-2\cdot(x-4)=-2x+8\)
Lena schreibt stattdessen \(-2x-8\); sie hat das Vorzeichen des zweiten Summanden nicht mitgedreht. Die Schritte 3 und 4 sind dann nur noch die richtige Fortsetzung eines falschen Ansatzes.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(3x+8=5x-2\cdot(x-4)\)
\(3x+8=5x-2x+8\)
\(3x+8=3x+8 \quad\big|\ -3x\)
\(8=8\)
Diese Aussage ist für jede Zahl \(x\) wahr. Die Gleichung ist allgemeingültig, ihre Lösungsmenge ist \(L=\mathbb{Q}\) (im Sachzusammenhang alle \(x>0\)).
Im Sachzusammenhang heißt das: Die beiden Wege kosten immer dasselbe, ganz gleich, was ein Heft kostet. Das ist kein Zufall. Bei Weg B zahlt man zwei Hefte zu viel und bekommt sie bis auf je 4,00 € erstattet — es bleiben also \(2\cdot 4{,}00\ \text{€}=8{,}00\ \text{€}\) hängen, genau die Versandkosten von Weg A. Lenas Schluss aus Schritt 5 ist damit widerlegt: Statt „nie gleich teuer“ gilt „immer gleich teuer“ — das genaue Gegenteil.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Tobias' Behauptung ist falsch. Verschwindet die Variable, ist das kein Rechenfehler, sondern ein Ergebnis — es gibt zwei Fälle:
Fall 1 — wahre Aussage wie \(8=8\) oder \(0=0\): Die Gleichung ist allgemeingültig, jede Zahl ist Lösung. Genau das lag in Teilaufgabe c) vor.
Fall 2 — falsche Aussage wie \(8=-8\): Die Gleichung hat keine Lösung, \(L=\{\}\). Ein Beispiel dafür ist
\(4x+7=4x+15 \quad\big|\ -4x \quad\Longrightarrow\quad 7=15\)
Hier steht auf beiden Seiten dasselbe Vielfache von \(x\), aber verschiedene Zahlen — die linke Seite ist immer um 8 kleiner als die rechte, für keine Zahl \(x\) sind beide gleich.
Richtig an Tobias' Satz ist nur die Vorsicht: Weil beide Fälle selten vorkommen, lohnt sich beim Verschwinden der Variablen immer ein zweiter Blick auf die Umformungen — bei Lena hat sich genau dort ein Vorzeichenfehler versteckt. Das Verschwinden selbst ist aber kein Fehler, sondern eine Information.