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01
Verfahren
Lineares Gleichungssystem (LGS)
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Definition
Zwei lineare Gleichungen mit denselben zwei Variablen x und y, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Man schreibt sie untereinander und nummeriert sie mit I und II.
02
Begriff
Lösung eines LGS
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Definition
Ein Zahlenpaar (x | y), das in beide Gleichungen eingesetzt zwei wahre Aussagen liefert. Ein Wert allein ist noch keine Lösung.
03
Begriff
Lösungsmenge L
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Definition
Die Menge aller Lösungen. Genau eine Lösung: L = {(2 | 3)}. Keine Lösung: L = { }. Unendlich viele: L = {(x | y) | y = 4 − x}.
04
Verfahren
Grafisches Lösen
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Definition
Beide Gleichungen nach y auflösen, als Geraden ins Koordinatensystem zeichnen, den Schnittpunkt ablesen. Das Ergebnis ist nur so genau wie die Zeichnung — immer mit einer Probe prüfen.
05
Verfahren
Gleichsetzungsverfahren
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Definition
Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und die beiden Terme gleichsetzen. Es entsteht eine Gleichung mit nur noch einer Variablen.
06
Verfahren
Einsetzungsverfahren
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Definition
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und diesen ganzen Term in die andere Gleichung einsetzen. Der eingesetzte Term gehört immer in Klammern.
07
Verfahren
Additionsverfahren
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Definition
Die Gleichungen so mit Zahlen multiplizieren, dass die Vorzahlen einer Variablen entgegengesetzt gleich sind. Beim Addieren fällt diese Variable weg.
08
Begriff
Äquivalenzumformung
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Definition
Umformung, die die Lösungsmenge nicht verändert: auf beiden Seiten dasselbe addieren oder subtrahieren, beide Seiten mit derselben Zahl ungleich 0 multiplizieren oder dividieren.
09
Verfahren
Probe
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Definition
Beide gefundenen Werte in beide Ursprungsgleichungen einsetzen. Erst wenn I und II stimmen, ist die Lösung sicher richtig.
10
Verfahren
Welches Verfahren wähle ich?
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Definition
Eine Gleichung ist schon nach x oder y aufgelöst → Einsetzen. Beide sind nach y aufgelöst → Gleichsetzen. Beide stehen in der Form ax + by = c → Addition.
11
Begriff
Schnittpunkt zweier Geraden
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Definition
Der einzige Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Er ist genau die grafische Lösung des LGS: S(2 | 3) entspricht L = {(2 | 3)}.
12
Begriff
Parallele Geraden im LGS
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Definition
Gleiche Steigung, aber verschiedener y-Achsenabschnitt. Die Geraden treffen sich nie → das LGS hat keine Lösung, L = { }.
13
Begriff
Identische Geraden im LGS
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Definition
Gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt — es ist zweimal dieselbe Gerade. Jeder Punkt der Geraden löst das LGS → unendlich viele Lösungen.
14
Verfahren
Variablen definieren
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Definition
Bei jeder Sachaufgabe zuerst festlegen, wofür x und y stehen — mit Einheit. Zum Beispiel: „x = Preis eines Heftes in Euro, y = Preis eines Stiftes in Euro“.
15
Verfahren
Antwortsatz
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Definition
Eine Sachaufgabe endet mit einem vollständigen Satz, der die Frage beantwortet und Zahl und Einheit nennt: „Ein Heft kostet 1,70 €.“
16
Rechnen
I: x + y = 7
II: x − y = 1
Additionsverfahren?
II: x − y = 1
Additionsverfahren?
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Antwort
I + II: 2x = 8 → x = 4In I: 4 + y = 7 → y = 3. Probe: 4 + 3 = 7 ✓ und 4 − 3 = 1 ✓. L = {(4 | 3)}
17
Rechnen
I: 2x + 3y = 16
II: x − y = 3
Erst erweitern!
II: x − y = 3
Erst erweitern!
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Antwort
II · 2: 2x − 2y = 6I − (II·2): 5y = 10 → y = 2, damit x = 5. Probe: 2·5 + 3·2 = 16 ✓ und 5 − 2 = 3 ✓. L = {(5 | 2)}
18
Rechnen
I: y = 2x − 1
II: 3x + 2y = 12
Einsetzungsverfahren?
II: 3x + 2y = 12
Einsetzungsverfahren?
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Antwort
3x + 2 · (2x − 1) = 123x + 4x − 2 = 12 → 7x = 14 → x = 2, y = 3. Probe: 3·2 + 2·3 = 12 ✓. L = {(2 | 3)}
19
Rechnen
I: y = 3x − 4
II: y = −x + 8
Gleichsetzungsverfahren?
II: y = −x + 8
Gleichsetzungsverfahren?
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Antwort
3x − 4 = −x + 8 → 4x = 12x = 3, eingesetzt y = 5. Probe: 3·3 − 4 = 5 ✓ und −3 + 8 = 5 ✓. L = {(3 | 5)}
20
Sonderfall
I: x + y = 4
II: 2x + 2y = 8
Was kommt heraus?
II: 2x + 2y = 8
Was kommt heraus?
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Antwort
II − 2 · I: 0 = 0Eine wahre Aussage → beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade → unendlich viele Lösungen: L = {(x | y) | y = 4 − x}
21
Sonderfall
I: x + y = 3
II: x + y = 8
Was kommt heraus?
II: x + y = 8
Was kommt heraus?
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Antwort
I − II: 0 = −5Eine falsche Aussage → die Geraden sind parallel → keine Lösung: L = { }
22
Rechnen
Was bedeutet
3 · (2x − y = 5)?
3 · (2x − y = 5)?
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Antwort
6x − 3y = 15Jeder Summand und die rechte Seite werden mit 3 multipliziert — nie nur ein Teil der Gleichung.
23
Rechnen
I − II rechnen mit
II: 3x − 2y = 4
II: 3x − 2y = 4
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Antwort
I + (−3x + 2y = −4)Beim Subtrahieren dreht sich jedes Vorzeichen von II — auch das auf der rechten Seite.
24
Rechnen
Du hast x = 5 heraus.
Bist du fertig?
Bist du fertig?
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Antwort
Nein — y fehlt noch.x = 5 in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen und y berechnen. Erst das Paar (x | y) ist die Lösung.
25
Rechnen
I: 0,5x + y = 4
Komma weg?
Komma weg?
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Antwort
I · 2: x + 2y = 8Die ganze Gleichung mit 2 malnehmen. Rechnen mit ganzen Zahlen ist deutlich weniger fehleranfällig.
26
Rechnen
3 Hefte + 2 Stifte: 7,50 €
1 Heft + 4 Stifte: 6,50 €
LGS aufstellen?
1 Heft + 4 Stifte: 6,50 €
LGS aufstellen?
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Antwort
I: 3h + 2s = 7,50 II: h + 4s = 6,50II · 3 − I: 10s = 12,00 → s = 1,20 und h = 1,70. Probe I: 3·1,70 + 2·1,20 = 7,50 ✓. Ein Heft kostet 1,70 €.
27
Rechnen
Lösung x = 2, y = 3.
Wie notierst du L?
Wie notierst du L?
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Antwort
L = {(2 | 3)}Zahlenpaar in runden Klammern, x zuerst, Trennstrich dazwischen — nicht L = {x = 2; y = 3}.
28
Rechnen
I: y = 2x − 1
II: y = −x + 5
Schnittpunkt?
II: y = −x + 5
Schnittpunkt?
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Antwort
2x − 1 = −x + 5 → x = 2y = 2·2 − 1 = 3, also S(2 | 3). Rechnen schlägt Ablesen: die Zeichnung liefert nur einen Schätzwert.
29
Rechnen
Ist (5 | 2) Lösung von
I: x + y = 7, II: 2x + y = 11?
I: x + y = 7, II: 2x + y = 11?
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Antwort
Nein: 2·5 + 2 = 12 ≠ 11I stimmt zwar, II aber nicht. Richtig: II − I ergibt x = 4, dann y = 3. Probe: 4 + 3 = 7 ✓ und 8 + 3 = 11 ✓. L = {(4 | 3)}
30
Sonderfall
Wie viele Lösungen —
ohne zu rechnen?
ohne zu rechnen?
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Antwort
Steigungen vergleichenBeide nach y auflösen: verschiedene Steigungen → genau eine Lösung. Gleiche Steigung, anderer Achsenabschnitt → keine. Beides gleich → unendlich viele.
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Tipp zum Lernen
Geh die Karten in zwei Runden durch: erst alle Begriffe und Verfahren, dann alles zum Rechnen und zu den Sonderfällen. Markiere nur, was du ohne Hinsehen erklären kannst. Bei den Rechenkarten lohnt es sich, die Aufgabe vorher auf einem Schmierzettel zu lösen und erst dann umzudrehen. Dein Fortschritt wird in deinem Browser gespeichert — schau morgen noch einmal vorbei.