Probe-Klassenarbeit

a) y = 2 · 3 − 5 = 6 − 5 = 1

b) x + 4 = 10 − x  | +x → 2x + 4 = 10  | −4 → 2x = 6  | :2 → x = 3

c) y = 3 + 4 = 7

d) 7x − 12 = 2x + 18  | −2x → 5x − 12 = 18  | +12 → 5x = 30  | :5 → x = 6

e) 2 · 4 + y = 11 → 8 + y = 11 → y = 3

f) 3 · 2 + 2 · 5 = 6 + 10 = 16 — das Paar erfüllt also die Gleichung 3x + 2y = 16.

Beide nach y aufgelöst → Gleichsetzungsverfahren  ·  nur eine aufgelöst → Einsetzungsverfahren  ·  entgegengesetzte Koeffizienten → Additionsverfahren

Lösung als Schnittpunkt → grafisches Lösen  ·  Kontrolle in beiden Gleichungen → Probe

Nicht gebraucht: Ausklammern und Überschlagsrechnung — beides sind Rechentechniken, aber keine Lösungsverfahren für ein LGS.

a) 2x + y = 7 → y = −2x + 7 → m = −2, b = 7

b) 3x − y = 6 → −y = −3x + 6 → y = 3x − 6 → m = 3, b = −6

c) 4x + 2y = 10  | :2 nach dem Umstellen → 2y = −4x + 10 → y = −2x + 5 → b = 5

d) 6x − 3y = 9 → −3y = −6x + 9  | :(−3) → y = 2x − 3 → m = 2

Genau eine Lösung haben die Systeme mit verschiedenen Steigungen: 2 und −1  ·  −3 und 4  ·  sowie x + y = 5 und x − y = 1 (das sind y = −x + 5 und y = x − 1).

Keine Lösung: y = 5x − 2 und y = 5x + 3 — gleiche Steigung, verschiedener y-Achsenabschnitt, also parallel.

Unendlich viele Lösungen: y = x + 1 und 2y = 2x + 2 sind dieselbe Gerade; ebenso 2x + y = 6 und 4x + 2y = 12 (II ist genau das Doppelte von I).

Gleichsetzen: 4x − 7 = x + 2  | −x → 3x − 7 = 2  | +7 → 3x = 9  | :3 → x = 3

Einsetzen in II: y = 3 + 2 = 5

Probe in I: 4 · 3 − 7 = 12 − 7 = 5 ✓  →  Lösung: (3 | 5)

a) 3 · (2y + 1) + 4y = 6y + 3 + 4y = 10y + 3

b) 10y + 3 = 33  | −3 → 10y = 30  | :10 → y = 3

c) Einsetzen in I: x = 2 · 3 + 1 = 7

d) 3 · 7 + 4 · 3 = 21 + 12 = 33 ✓  →  Lösung: (7 | 3)

a) Die y-Koeffizienten sind +2 und −2 — also einfach addieren: I + II: 8x = 40  | :8 → x = 5

b) Einsetzen in I: 3 · 5 + 2y = 16 → 15 + 2y = 16 → 2y = 1 → y = 0,5

c) 3 · 5 + 2 · 0,5 = 15 + 1 = 16 ✓

Nicht jede Lösung ist ganzzahlig — 0,5 ist ein völlig normales Ergebnis.

a) I · 2: 4x + 6y = 42  ·  II · 3: 15x − 6y = 15. Addiert: (4 + 15)x = 19x, denn +6y und −6y heben sich auf.

b) 19x = 42 + 15 = 57  | :19 → x = 3

c) Einsetzen in I: 2 · 3 + 3y = 21 → 6 + 3y = 21 → 3y = 15 → y = 5

d) 2 · 3 + 3 · 5 = 6 + 15 = 21 ✓  →  Lösung: (3 | 5). Kontrolle in II: 5 · 3 − 2 · 5 = 15 − 10 = 5 ✓

Variablen: p = Preis einer Portion Pommes, b = Preis einer Bratwurst.

I: 4p + 3b = 26  ·  II: 2p + 5b = 27

II · 2: 4p + 10b = 54. Davon I abziehen: 7b = 28 → b = 4,00 €

In I: 4p + 12 = 26 → 4p = 14 → p = 3,50 €

c) 5 · 3,50 € + 2 · 4,00 € = 17,50 € + 8,00 € = 25,50 €

Ja — ohne Multiplizieren:

• 3x und 3x: subtrahieren, x fällt weg.

• −y und +y: addieren, y fällt weg.

• 6x und −6x: addieren, x fällt weg.

• −4y und −4y: subtrahieren, y fällt weg.

Nein: Bei 2x + 7y = 9 / 5x + 3y = 8 und bei x + 2y = 5 / 3x + 4y = 11 stimmt kein Koeffizientenpaar überein — hier musst du erst mindestens eine Gleichung mit einer passenden Zahl multiplizieren.

Variablen: g = größere Zahl, k = kleinere Zahl.

I: g + k = 84  ·  II: g − k = 18

I + II: 2g = 102 → g = 51. In I: 51 + k = 84 → k = 33.

Probe: 51 + 33 = 84 ✓ und 51 − 33 = 18 ✓

c) Jetzt gilt g + k = 84 und g − k = 20. Subtrahiert man beide Gleichungen, folgt 2k = 64, also k = 32 (und g = 52).

Variablen: x = Anzahl der 25-kg-Säcke, y = Anzahl der 40-kg-Säcke.

I: x + y = 28  ·  II: 25x + 40y = 895

I · 25: 25x + 25y = 700. Von II abziehen: 15y = 195 → y = 13.

In I: x = 28 − 13 = 15.

Probe: 25 · 15 + 40 · 13 = 375 + 520 = 895 ✓

c) 13 · 40 kg = 520 kg

a) Gleichsetzen: −x + 9 = 2x − 3  | +x → 9 = 3x − 3  | +3 → 12 = 3x → x = 4

b) y = −4 + 9 = 5. Kontrolle in II: 2 · 4 − 3 = 5 ✓

c) Die x-Achse liegt bei y = 0: 2x − 3 = 0 → 2x = 3 → x = 1,5

d) Bei y = −x + 9 ist der y-Achsenabschnitt b = 9 — die Gerade trifft die y-Achse bei (0 | 9).

Keine Lösung heißt: Die Geraden sind parallel und verschieden — also gleiche Steigung, aber unterschiedlicher y-Achsenabschnitt.

Die Steigung von II ist 6, also muss a = 6 sein. Die y-Achsenabschnitte sind dann 2 und −5 — sie sind verschieden, die Geraden fallen also nicht zusammen. Ergebnis: keine Lösung.

Für jedes andere a sind die Steigungen verschieden, und es gibt genau einen Schnittpunkt. Unendlich viele Lösungen sind hier gar nicht möglich, weil der y-Achsenabschnitt von I fest 2 ist und nie −5 werden kann.

Falsch sind:

• „nur die linke Seite multiplizieren" — eine Gleichung bleibt nur dann gültig, wenn beide Seiten mit derselben Zahl multipliziert werden.

• „0 = 0 bedeutet genau eine Lösung" — 0 = 0 ist immer wahr, also erfüllt jeder Punkt der Geraden beide Gleichungen: unendlich viele Lösungen.

• „Probe nur in eine Gleichung" — ein Wertepaar kann eine Gleichung erfüllen und die andere nicht. Die Probe gehört in beide Gleichungen.

Richtig sind die Aussagen zum Gleichsetzungsverfahren, zu parallelen Geraden und zum Subtrahieren — Subtrahieren ist nichts anderes als Addieren der mit −1 multiplizierten Gleichung.

0 = 0 ist eine wahre Aussage, die keine Bedingung mehr an x oder y stellt — die beiden Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade: unendlich viele Lösungen.

0 = −5 ist eine falsche Aussage. Kein Wertepaar kann beide Gleichungen erfüllen: keine Lösung.

4x = 12 legt x eindeutig fest (x = 3), daraus folgt genau ein y: genau eine Lösung.

Gleiche Steigung, verschiedener y-Achsenabschnitt bedeutet parallel und verschieden — die Geraden treffen sich nie: keine Lösung.

Die vierte Antwortmöglichkeit gibt es bei einem linearen Gleichungssystem mit zwei Gleichungen nicht.

Variablen: n = Anzahl der Plakate, y = Gesamtkosten in €.

I: y = 45 + 2n  ·  II: y = 15 + 5n

a) Gleichsetzen: 45 + 2n = 15 + 5n  | −2n → 45 = 15 + 3n  | −15 → 30 = 3n → n = 10

b) y = 45 + 2 · 10 = 65 €. Kontrolle: 15 + 5 · 10 = 65 ✓

c) 45 + 2 · 25 = 45 + 50 = 95 €  ·  d) 15 + 5 · 25 = 15 + 125 = 140 €

e) Bei 10 Plakaten sind beide gleich teuer. Weil B pro Plakat 3 € schneller wächst, ist A ab dem nächsten Plakat günstiger: ab 11 Plakaten (A: 67 €, B: 70 €).

a) I · 6: 6 · x⁄2 + 6 · y⁄3 = 6 · 4, also 3x + 2y = 24 → Koeffizient von x ist 3.

b) und c) Aus II folgt x = y + 3. Einsetzen: 3 · (y + 3) + 2y = 24 → 3y + 9 + 2y = 24 → 5y = 15 → y = 3, damit x = 6.

Probe in I: 6⁄2 + 3⁄3 = 3 + 1 = 4 ✓  ·  Probe in II: 6 − 3 = 3 ✓

Richtig:

• Das Additionsverfahren funktioniert immer — notfalls musst du vorher beide Gleichungen passend multiplizieren.

• Eine Lösung des Systems erfüllt beide Gleichungen gleichzeitig — genau das ist die Definition.

• Die Multiplikation mit −1 ist eine Äquivalenzumformung: Sie dreht alle Vorzeichen um, die Lösungsmenge bleibt gleich.

• Verschiedene Steigungen → die Geraden sind nicht parallel → genau ein Schnittpunkt.

Falsch: Ein LGS kann auch keine oder unendlich viele Lösungen haben (siehe A5 und A17). Und die Reihenfolge der Gleichungen ist völlig egal — ein System ist eine Menge von Bedingungen, keine Reihenfolge.