Grafisch lösen: Übungen – Mathe Klasse 8

A1

Was gehört zum grafischen Lösen?

AFB I

Welche Aussagen über das grafische Lösen eines linearen Gleichungssystems stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Der y-Achsenabschnitt sagt nur, wo eine einzelne Gerade die y-Achse trifft — die Lösung des Systems ist der Punkt, den beide Geraden gemeinsam haben. Und weil zwei Geraden sich auch gar nicht oder überall treffen können, ist „genau eine Lösung“ nur einer von drei Fällen.

A2

Stimmt’s? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen rund um Geraden, Schnittpunkte und Lösungsmengen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie neu.

Aussage 1 von 5

Zwei Merksätze: Die Steigung entscheidet, ob es einen Schnittpunkt gibt — die Zeichnung sagt nur, wo er ungefähr liegt. Sicher wird die Lösung erst durch die Probe.

A3

Der Ablauf in fünf Wörtern

AFB I

Setze die fünf passenden Begriffe in den Lückentext ein. Zwei Wörter bleiben übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim grafischen Lösen formt man beide Gleichungen zuerst nach um. Erst dann lassen sich Steigung und y-Achsenabschnitt ablesen und man kann beide Geraden . Die Stelle, an der sich die beiden Geraden treffen, heißt . Ob die abgelesenen Werte wirklich stimmen, zeigt die . Zum Schluss notiert man das Ergebnis als .

Zwei Wörter bleiben übrig — und beide sind typische Verwechslungen: Nach x aufzulösen bringt nichts, weil man die Gerade dann nicht mehr in der Form y = mx + b vor sich hat. Und die Nullstelle ist der Schnittpunkt einer Geraden mit der x-Achse, nicht mit der anderen Geraden.

A4

Wie viele Lösungen?

AFB II

Sortiere die sechs Gleichungssysteme danach, wie viele Lösungen sie haben. Formen hilft.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).

1Genau eine Lösung

2Keine Lösung

3Unendlich viele Lösungen

Zwei Karten sind verkleidet: 2x + 2y = 6 wird zu y = −x + 3, und x − 2y = 8 wird zu y = 0,5x − 4. In beiden Fällen steht dieselbe Gerade zweimal da. Faustregel: Erst beide Gleichungen in die Form y = mx + b bringen, dann Steigungen und y-Achsenabschnitte vergleichen.

A5

Der Bauplan in der richtigen Reihenfolge

AFB I

Bringe die fünf Arbeitsschritte des grafischen Verfahrens in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1 Beide Gleichungen nach y auflösen.

2 Von jeder Geraden zwei Punkte bestimmen — über den y-Achsenabschnitt und die Steigung.

3 Beide Geraden in dasselbe Koordinatensystem zeichnen.

4 Die Koordinaten des Schnittpunkts ablesen.

5 Die Probe in beiden Ausgangsgleichungen machen und die Lösungsmenge aufschreiben.

Der zweite Schritt ist der, den die meisten überspringen: Ohne zwei sichere Punkte wird die Gerade schief — und eine schiefe Gerade liefert einen falschen Schnittpunkt. Der letzte Schritt ist der, den die meisten vergessen: ohne Probe keine Lösung.

A6

Schritt für Schritt zum Schnittpunkt

AFB II

Gegeben ist das System I: 3x + y = 5 und II: y = x + 1.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Löse Gleichung I nach y auf. Welche Steigung m₁ hat Gerade I dann?
Welchen y-Achsenabschnitt b₁ hat Gerade I?
Bei welchem x-Wert schneiden sich die beiden Geraden?
Welchen y-Wert hat der Schnittpunkt?

Der komplette Weg: I wird zu y = −3x + 5, II ist schon fertig. Gleichsetzen ergibt −3x + 5 = x + 1, also 4 = 4x und damit x = 1. Eingesetzt in II: y = 1 + 1 = 2. Probe in I: 3 · 1 + 2 = 5 ✓. Die Lösung lautet L = {(1|2)}.

A7

Nach y auflösen — mit Vorzeichenfalle

AFB I

Löse die Gleichung 3x − y = 12 nach y auf. Wie groß ist der y-Achsenabschnitt b?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

Umformen: 3x − y = 12 → −y = 12 − 3x → mal (−1) → y = 3x − 12. Der y-Achsenabschnitt ist also −12, nicht +12. Beim Multiplizieren mit (−1) drehen sich alle Vorzeichen um — das ist die häufigste Fehlerquelle beim Auflösen nach y.

A8

Normalform und y-Form verbinden

AFB I

Jede Gleichung links lässt sich nach y auflösen. Finde für jede die passende Form rechts.

Klicke links eine Gleichung in Normalform an und dann rechts ihre nach y aufgelöste Form — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Zwei Paare sehen sich zum Verwechseln ähnlich: 2x + y = 5 wird zu y = −2x + 5, 4x + 2y = 6 aber zu y = −2x + 3 — gleiche Steigung, anderer y-Achsenabschnitt. Bei 4x + 2y = 6 muss am Ende jeder Summand durch 2 geteilt werden, auch die 6.

A9

Lösungsanzahl im Raster

AFB II

Bestimme für jedes System, wie viele Lösungen es hat — ohne zu zeichnen.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.

Gleichungssystem	genau eine Lösung	keine Lösung	unendlich viele Lösungen
y = 2x − 1 und y = −x + 5
y = −3x + 2 und y = −3x − 4
y = 0,5x + 3 und x − 2y = −6
y = 5 und y = x + 1
2x + y = 8 und 4x + 2y = 10

Nur zwei Zahlen entscheiden: Verschiedene Steigungen bedeuten immer genau einen Schnittpunkt. Bei gleicher Steigung entscheidet der y-Achsenabschnitt — gleich heißt dieselbe Gerade, verschieden heißt echt parallel. Zeile 3 ist die Falle: x − 2y = −6 wird zu y = 0,5x + 3, also dieselbe Gerade wie in I.

A10

Memory: Sprechweise und Schreibweise

AFB I

Fünf Paare aus Beschreibung und passender mathematischer Schreibweise.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Versuche: 0 von 10

Die fünf Paare decken den Wortschatz des Kapitels ab: die drei Fälle der Lösungsanzahl, das Ablesen von m und b sowie das Umformen in die y-Form. Achte auf die Schreibweise — L = {(2|5)} enthält ein Zahlenpaar in runden Klammern.

A11

Was gilt immer, was nur manchmal?

AFB II

Drei Bereiche, neun Aussagen. Welche Eigenschaft gehört zu welchem Fall?

Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.

1 nur bei genau einer Lösung

2 gilt in allen drei Fällen

3 nur wenn es keine Lösung gibt

Die Mitte gehört allen drei Fällen: Egal wie viele Lösungen es gibt, es sind immer zwei Geraden, immer lässt sich nach y auflösen, immer sieht man das Ergebnis in der Zeichnung. Unterschieden werden die Fälle allein durch das Zahlenpaar (m; b).

A12

Fehlersuche in Lenas Rechnung

AFB III

Lena löst das System I: 2x + y = 10 und II: y = x + 1 grafisch. Drei ihrer sechs Zeilen sind falsch.

In dieser Rechnung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Am Ende stimmt Lenas Schnittpunkt sogar: 2 · 3 + 4 = 10 ✓ und 4 = 3 + 1 ✓, also S(3|4). Trotzdem gäbe es Abzug — zwei Begriffsfehler und eine falsche Mengenschreibweise. Genau darum lohnt es sich, jede Zeile einzeln zu prüfen statt nur das Endergebnis.

A13

Jonas löst ein System — Schritt für Schritt

AFB II

Begleite Jonas durch die vier Entscheidungen einer vollständigen grafischen Lösung.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Die Probe bestätigt Jonas’ Ablesung: 4 + 2 · 2 = 8 ✓ und 2 = 4 − 2 ✓. Vier Schritte, vier typische Stolperstellen — Umformen, Steigungsdreieck, Probe, Schreibweise.

A14

Entscheidungsbaum: Wie viele Lösungen?

AFB II

Untersuche das System I: y = 2x + 3 und II: 6x − 3y = 3. Forme II zuerst nach y um und laufe dann durch den Baum.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Erst umformen: 6x − 3y = 3 wird zu −3y = 3 − 6x und nach Division durch (−3) zu y = 2x − 1. Beide Geraden haben die Steigung 2, aber verschiedene y-Achsenabschnitte (3 und −1). Also: erste Frage Ja, zweite Frage Nein — echt parallel, L = { }.

A15

Schnittstelle im Kopf

AFB III

Bestimme für jedes System den x-Wert des Schnittpunkts — ohne Zeichnung, nur durch Gleichsetzen.

Wähle für jede Zeile die Stufe, die dem x-Wert des Schnittpunkts entspricht: Stufe 1 heißt x = 1, Stufe 5 heißt x = 5. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = Schnittpunkt bei x = 15 = Schnittpunkt bei x = 5

I: y = x + 2 und II: y = −x + 6

I: y = 2x − 3 und II: y = x + 2

I: y = 0,5x + 1 und II: y = −0,5x + 4

I: y = 3x − 1 und II: y = x + 1

I: y = −x + 7 und II: y = x − 1

Immer dasselbe Vorgehen: Terme gleichsetzen, nach x auflösen. Der Reihe nach: x + 2 = −x + 6 → x = 2; 2x − 3 = x + 2 → x = 5; 0,5x + 1 = −0,5x + 4 → x = 3; 3x − 1 = x + 1 → x = 1; −x + 7 = x − 1 → x = 4. Gezeichnet werden musste dafür kein einziges Mal.

A16

Erst schätzen, dann rechnen

AFB II

Gegeben ist I: y = 0,4x + 1 und II: y = −0,6x + 6. Schätze, bei welchem x-Wert sich die beiden Geraden treffen.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

x = 0x = 12

Die eine Gerade startet bei 1 und steigt langsam, die andere startet bei 6 und fällt langsam — sie müssen sich irgendwo in der Mitte treffen. Nachgerechnet: 0,4x + 1 = −0,6x + 6 → x = 5, also y = 3. Solche Vorab-Schätzungen sind Gold wert: Wer bei einer Rechnung x = 40 herausbekommt, merkt sofort, dass etwas nicht stimmt.

A17

Lösungsweg zusammenbauen

AFB II

Baue den vollständigen Lösungsweg für I: y = −2x + 6 und II: y = x − 3. Zwei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.

Setze den Lösungsweg von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Die beiden Fallen sind Klassiker: vertauschte Koordinaten (S(0|3) statt S(3|0)) und die halbe Probe. Der Schnittpunkt liegt hier genau auf der x-Achse — sein y-Wert ist 0, sein x-Wert 3. Und die Probe gehört immer in beide Ausgangsgleichungen, sonst bleibt ein Ablesefehler unentdeckt.

A18

Fünf Geraden — fünf Steckbriefe

AFB II

Fünf Geraden stehen im Schema. Beantworte die Fragen, indem du die passende Gerade anklickst.

Klicke die gesuchte Gerade im Schema an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Die Steigungen: g₁ und g₃ haben m = 2, g₂ und g₅ haben m = −0,5, g₄ hat m = 0. Parallel heißt gleiche Steigung und verschiedener y-Achsenabschnitt — g₁ und g₃ erfüllen genau das, hätten als System also keine Lösung. Der Punkttest bei P(1|3): nur g₁ liefert 2 · 1 + 1 = 3.

A19

Erst rechnen, dann umdenken

AFB III

Gegeben ist zunächst I: 2x + y = 12 und II: y = 4x. Im letzten Schritt ändert sich etwas.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

Löse I nach y auf. Wie groß ist der y-Achsenabschnitt b₁?
Bei welchem x-Wert schneiden sich die Geraden I und II?
Welchen y-Wert hat dieser Schnittpunkt?
Nun wird Gleichung II zu y = −2x + 5 abgeändert. Wie viele Lösungen hat das System jetzt? Lösungen

Der Clou steckt im letzten Schritt: Gleichung I ist y = −2x + 12, die neue Gleichung II ist y = −2x + 5. Beide Geraden haben die Steigung −2, aber verschiedene y-Achsenabschnitte — sie sind echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. Die Antwort ist also 0, und die Lösungsmenge lautet L = { }. Ein einziger geänderter Term kippt den ganzen Fall.

A20

Welche Systeme sind eindeutig lösbar?

AFB II

Bei welchen der sechs Systeme schneiden sich die beiden Geraden in genau einem Punkt?

Genau drei der sechs Systeme haben eine eindeutige Lösung. Markiere sie alle und klicke dann auf „Prüfen“.

Die drei Fallen: 8x + 2y = 2 wird zu y = −4x + 1 — dieselbe Gerade, also unendlich viele Lösungen. y = 6x + 5 und y = 6x − 5 sind echt parallel. Und 6x − 2y = 9 wird zu y = 3x − 4,5 — gleiche Steigung wie y = 3x − 2, ebenfalls parallel. Bei y = 0,25x und y = 3 ist die zweite Gerade waagerecht (m = 0), also gibt es genau einen Schnittpunkt, nämlich bei x = 12.

A21

Nach y auflösen — drei Gleichungen

AFB I

Löse jede Gleichung nach y auf und gib die Steigung m der zugehörigen Geraden an.

a) 2x + y = 9 → m =

b) x − y = 5 → m =

c) 3x + 2y = 8 → m =

Ansatz: Bringe den x-Term auf die rechte Seite und sorge dafür, dass vor dem y eine glatte 1 steht.Nur in der Form y = mx + b lässt sich die Steigung direkt ablesen — sie ist die Zahl vor dem x.

Vorzeichen: Bei b) steht −y da. Multipliziere die ganze Gleichung mit (−1), dann dreht sich jedes Vorzeichen um: aus −y = 5 − x wird y = x − 5.Bei c) musst du am Ende durch 2 teilen — und zwar jeden Summanden, nicht nur den ersten.

Lösung: a) y = −2x + 9 → m = −2 · b) y = x − 5 → m = 1 · c) y = −1,5x + 4 → m = −1,5

A22

Schnittpunkt ablesen

AFB I

Die beiden Geraden I: y = 0,5x + 1 und II: y = −x + 7 sind gezeichnet. Lies die Koordinaten ihres Schnittpunkts ab.

x =

y =

Ansatz: Suche die Stelle, an der sich die blaue und die grüne Linie kreuzen, und gehe von dort aus senkrecht nach unten zur x-Achse und waagerecht nach links zur y-Achse.Der x-Wert steht immer zuerst, der y-Wert danach — genau wie bei jedem Punkt P(x|y).

Kontrolle: Setze deine beiden Werte in beide Gleichungen ein. Nur wenn beide Male dieselbe Zahl herauskommt, hast du richtig abgelesen.

Lösung: S(4|3). Probe: 0,5 · 4 + 1 = 3 ✓ und −4 + 7 = 3 ✓ → L = {(4|3)}

Zwei Geraden im Koordinatensystem

A23

Vollständig grafisch lösen

AFB II

Löse das System I: x + y = 9 und II: y = 3x + 1 grafisch. Die Zeichnung hilft dir dabei.

Steigung m₁ von Gerade I:

x-Wert des Schnittpunkts:

y-Wert des Schnittpunkts:

Erster Schritt: Gleichung I ist noch nicht nach y aufgelöst. Bringe x auf die rechte Seite: y = 9 − x. Jetzt kannst du m₁ ablesen.y = 9 − x ist dasselbe wie y = −1 · x + 9 — die Steigung ist also −1, nicht 9.

Rechenweg: Setze beide rechten Seiten gleich: 9 − x = 3x + 1. Sortiere: 8 = 4x.Den y-Wert bekommst du, indem du dein x in eine der beiden Gleichungen einsetzt — nimm die einfachere.

Lösung: m₁ = −1, x = 2, y = 7. Probe: 2 + 7 = 9 ✓ und 3 · 2 + 1 = 7 ✓ → L = {(2|7)}

I: y = −x + 9 und II: y = 3x + 1

A24

Den Parameter bestimmen

AFB II

In beiden Aufgaben fehlt eine Zahl. Bestimme sie so, dass der beschriebene Sonderfall eintritt.

a) Für welchen Wert von k sind die Geraden I: y = kx + 2 und II: 3x − y = 4 echt parallel?
b) Für welchen Wert von c beschreiben I: y = 2x + c und II: 4x − 2y = 6 dieselbe Gerade?

a) k =

b) c =

Ansatz: Forme in beiden Aufgaben zuerst die zweite Gleichung nach y um. Erst dann kannst du Steigung und y-Achsenabschnitt vergleichen.Echt parallel heißt: gleiche Steigung, verschiedener y-Achsenabschnitt. Dieselbe Gerade heißt: beides gleich.

Umformen: a) 3x − y = 4 → −y = 4 − 3x → y = 3x − 4. b) 4x − 2y = 6 → −2y = 6 − 4x → y = 2x − 3.Achte auf das Teilen durch eine negative Zahl — dabei dreht sich jedes Vorzeichen um.

Lösung: a) k = 3 (dann haben beide die Steigung 3, aber die y-Achsenabschnitte 2 und −4 — also echt parallel). b) c = −3 (dann steht zweimal y = 2x − 3 da, also unendlich viele Lösungen).

A25

Zwei Fahrradverleihe

AFB II

Bei Rad-Rita zahlst du 4 € Grundgebühr und zusätzlich 1 € pro Stunde. Bei Bike-Ben gibt es keine Grundgebühr, dafür kostet jede Stunde 3 €.

Stelle für beide Anbieter eine Gleichung der Form y = mx + b auf (x = Stunden, y = Preis in Euro) und bestimme, nach wie vielen Stunden beide gleich viel kosten.

Stunden x = h

Preis y = €

Gleichungen aufstellen: Die Grundgebühr ist der y-Achsenabschnitt b, der Preis pro Stunde ist die Steigung m. Rita: y = x + 4. Ben: y = 3x.Ben hat keine Grundgebühr — seine Gerade startet im Ursprung, also b = 0.

Rechenweg: Setze beide gleich: x + 4 = 3x. Bringe x nach rechts: 4 = 2x.Den Preis erhältst du, indem du deine Stundenzahl in eine der beiden Gleichungen einsetzt.

Lösung: x = 2 Stunden, y = 6 €. Probe: 2 + 4 = 6 ✓ und 3 · 2 = 6 ✓. Bis 2 Stunden ist Ben günstiger, danach Rita.

Preis in Euro über der Mietdauer

A26

Aus der Zeichnung zurück zur Gleichung

AFB II

Zwei Geraden sind gezeichnet, aber keine Gleichung ist angegeben. Lies alles Nötige direkt aus dem Bild ab.

y-Achsenabschnitt b₁ von I:

Steigung m₂ von II:

x-Wert des Schnittpunkts:

y-Wert des Schnittpunkts:

y-Achsenabschnitt: Schau nach, wo die blaue Gerade I die senkrechte y-Achse trifft. Genau dieser Wert ist b₁.Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert an der Stelle x = 0.

Steigungsdreieck: Gehe bei der grünen Geraden II von einem Gitterpunkt aus 2 Kästchen nach rechts. Wie viele Kästchen musst du nach oben, um wieder auf der Geraden zu landen?m = (Schritt nach oben) : (Schritt nach rechts). Bei 1 nach oben und 2 nach rechts ist m = 0,5.

Lösung: I: y = −2x + 9, II: y = 0,5x + 4. Gleichsetzen: −2x + 9 = 0,5x + 4 → 5 = 2,5x → x = 2, y = 5. Probe: −2 · 2 + 9 = 5 ✓ und 0,5 · 2 + 4 = 5 ✓ → L = {(2|5)}

Zwei Geraden ohne Gleichung

A27

Gemischt: Gerade, Fläche, Schnittpunkt

Mix

Vier kurze Aufgaben aus verschiedenen Kapiteln — genau so gemischt, wie es in einer Klassenarbeit vorkommt.

a) Die Gerade g geht durch P(0|−2) und hat die Steigung 3. Welchen y-Wert hat sie an der Stelle x = 4?
b) Ein Dreieck hat die Grundseite g = 8 cm und die Höhe h = 5 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt?
c) und d) Die Geraden y = 3x − 2 und y = −x + 6 schneiden sich. Gib die Koordinaten des Schnittpunkts an.

a) y =

b) A = cm²

c) x =

d) y =

Zerlegen: a) P(0|−2) verrät den y-Achsenabschnitt: b = −2, also y = 3x − 2. b) Es gilt A = ½ · g · h. c) und d) Setze beide Terme gleich.Wer die Aufgaben einzeln betrachtet, merkt schnell: Jede ist für sich genommen leicht — schwierig ist nur das Umschalten.

Rechenwege: a) 3 · 4 − 2. b) ½ · 8 · 5. c) 3x − 2 = −x + 6 → 4x = 8. d) Setze dein x in eine der beiden Gleichungen ein.Fällt dir etwas auf? Die Gerade aus a) ist genau die Gerade I aus c) — dieselbe Gleichung in anderer Verpackung.

Lösung: a) y = 10 · b) A = 20 cm² · c) x = 2 · d) y = 4. Probe zu c)/d): 3 · 2 − 2 = 4 ✓ und −2 + 6 = 4 ✓

A28

Drei Geraden, ein gemeinsamer Punkt

AFB III

Gegeben sind g₁: y = x + 1 und g₂: y = −2x + 7.

Bestimme zuerst den Schnittpunkt von g₁ und g₂. Eine dritte Gerade g₃: y = 0,5x + b soll durch genau diesen Punkt verlaufen. Welchen Wert muss b haben?

x-Wert des Schnittpunkts:

y-Wert des Schnittpunkts:

b von g₃:

Erster Teil: Setze die beiden Terme von g₁ und g₂ gleich: x + 1 = −2x + 7.Aus 3x = 6 folgt x = 2. Den y-Wert bekommst du durch Einsetzen in g₁.

Zweiter Teil: Der Punkt muss die Gleichung von g₃ erfüllen. Setze deinen x-Wert und deinen y-Wert in y = 0,5x + b ein und löse nach b auf.Aus 3 = 0,5 · 2 + b wird 3 = 1 + b — jetzt ist nur noch b gesucht.

Lösung: S(2|3), also b = 2 und damit g₃: y = 0,5x + 2. Probe: 0,5 · 2 + 2 = 3 ✓. Alle drei Geraden gehen durch S(2|3) — grafisch treffen sich dort drei Linien in einem einzigen Punkt.

A29

Gemischt: Von der Gleichung zum Schnittpunkt

Mix

Vier Teilaufgaben, die auf den ersten Blick nichts miteinander zu tun haben. Auf den zweiten Blick schon.

a) Löse die Gleichung 5x − 3 = 2x + 9.
b) Vereinfache den Term 3 · (x + 2) − 2x und berechne seinen Wert für x = 5.
c) und d) Bestimme den Schnittpunkt der Geraden I: y = 5x − 3 und II: y = 2x + 9.

a) x =

b) Wert =

c) x =

d) y =

Ansatz: a) Bringe alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere. b) Klammer ausmultiplizieren, dann zusammenfassen. c) Setze beide rechten Seiten gleich.Vergleiche die Gleichung aus a) mit dem, was du in c) aufschreiben musst.

Der Zusammenhang: In c) setzt du 5x − 3 = 2x + 9 — das ist Wort für Wort dieselbe Gleichung wie in a). Zwei Geraden gleichzusetzen heißt nichts anderes, als eine ganz gewöhnliche Gleichung zu lösen.Deshalb ist der x-Wert in c) genau die Lösung aus a). Für d) setzt du diesen Wert in eine der beiden Geradengleichungen ein.

Lösung: a) 3x = 12 → x = 4 · b) 3x + 6 − 2x = x + 6, für x = 5 also 11 · c) x = 4 · d) y = 5 · 4 − 3 = 17. Probe: 2 · 4 + 9 = 17 ✓ → L = {(4|17)}

A30

Wenn das Ablesen nicht mehr reicht

AFB III

Tarek zeichnet I: y = x + 1 und II: y = −3x + 6 und liest den Schnittpunkt bei S(1,5|2,5) ab. Sein Sitznachbar liest S(1|2) ab.

Rechne nach, wo der Schnittpunkt wirklich liegt. Gib beide Koordinaten als Dezimalzahl an.

x =

y =

Ansatz: Verlass dich nicht auf die Zeichnung. Setze die beiden Terme gleich: x + 1 = −3x + 6.Genau dafür gibt es die Probe: Tareks Werte in Gleichung I ergeben 1,5 + 1 = 2,5 ✓, in Gleichung II aber −3 · 1,5 + 6 = 1,5 ≠ 2,5 ✗.

Rechenweg: Aus x + 1 = −3x + 6 wird 4x = 5. Teile durch 4 — das Ergebnis ist keine ganze Zahl.Den y-Wert erhältst du durch Einsetzen in die einfachere Gleichung, also in y = x + 1.

Lösung: x = 5 : 4 = 1,25 und y = 1,25 + 1 = 2,25. Probe: −3 · 1,25 + 6 = 2,25 ✓ → L = {(1,25|2,25)}. Beide Ablesungen waren falsch — das ist die Grenze des grafischen Verfahrens.

Der Schnittpunkt liegt nicht auf einem Gitterpunkt

Übungen: Gleichungssysteme grafisch lösen

Übungsaufgaben