Zwei Kerzen brennen ab
AFB IIAuf einem Tisch stehen zwei Kerzen: eine dicke und eine dünne. Die dicke Kerze ist höher, brennt dafür aber schneller ab (Material M1). Beide werden gleichzeitig angezündet.
Es bezeichne \(t\) die Brenndauer in Stunden und \(h\) die Höhe der Kerze in Zentimetern.
| Kerze | Höhe beim Anzünden | Abbrand pro Stunde |
|---|---|---|
| Kerze A (dick) | 20 cm | 2 cm |
| Kerze B (dünn) | 8 cm | 0,5 cm |
Beide Kerzen werden gleichzeitig angezündet und brennen gleichmäßig ab.
Eine Achseneinheit waagerecht entspricht 1 Stunde, eine Achseneinheit senkrecht 2 cm.
- Stelle für jede Kerze eine Gleichung der Form \(h=m\cdot t+b\) auf und erkläre, was die Zahl vor \(t\) im Sachzusammenhang bedeutet.
- Zeichne beide Geraden in Material M2 ein und lies ab, nach wie vielen Stunden beide Kerzen gleich hoch sind.
- Berechne den Schnittpunkt anschließend mit dem Gleichsetzungsverfahren und vergleiche das Ergebnis mit deiner Ablesung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Kerze A: \(h_A=20-2t\). Kerze B: \(h_B=8-0{,}5t\).
Die Zahl vor \(t\) ist die Steigung. Sie gibt an, um wie viele Zentimeter die Kerze pro Stunde kürzer wird. Bei Kerze A sind das 2 cm pro Stunde, bei Kerze B nur 0,5 cm pro Stunde. Das Minuszeichen bedeutet, dass die Höhe abnimmt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Kerze A startet bei 20 cm, Kerze B bei 8 cm. Nach 8 Stunden sind beide bei 4 cm — dort schneiden sich die Geraden.
Der Schnittpunkt liegt bei \(t=8\) und \(h=4\).
Aus der Zeichnung liest man ab: Nach etwa 8 Stunden sind beide Kerzen gleich hoch, nämlich rund 4 cm.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gleichsetzen der beiden rechten Seiten:
\(20-2t=8-0{,}5t \quad\big|\ +2t\)
\(20=8+1{,}5t \quad\big|\ -8\)
\(12=1{,}5t \quad\big|\ :1{,}5\)
\(t=8\)
Einsetzen in die erste Gleichung: \(h=20-2\cdot 8=4\); zur Probe \(h=8-0{,}5\cdot 8=4\) — beide liefern 4 cm.
\(L=\{(8\,|\,4)\}\). Nach genau 8 Stunden sind beide Kerzen 4 cm hoch.
Vergleich: Die Ablesung aus M2 trifft den Wert genau, weil der Schnittpunkt hier auf einem Gitterpunkt liegt. Das ist ein Glücksfall — schon bei \(t=7{,}3\) wäre die Zeichnung nur noch eine Schätzung, die Rechnung dagegen weiterhin exakt.
Streit am Schwimmbadkiosk
AFB IIIEin Schwimmbad bietet für die Sommersaison drei Tarife an (Material M4). Mia und Timo wollen wissen, ab wie vielen Besuchen sich Tarif A gegenüber Tarif B lohnt, und zeichnen dazu die Grafik in Material M3.
Mia liest den Schnittpunkt bei 15 Besuchen ab, Timo bei 17 Besuchen. Timo sagt daraufhin: „Grafisches Lösen ist sowieso ungenau — man kann es sich also gleich sparen.“
Es bezeichne \(x\) die Anzahl der Besuche und \(K\) die Kosten in Euro.
| Tarif | Grundgebühr für die Saison | Preis je Besuch |
|---|---|---|
| Tarif A | 24,00 € | 1,50 € |
| Tarif B | 0,00 € | 3,00 € |
| Tarif C | 12,00 € | 3,00 € |
Die Grundgebühr fällt einmalig an, der Besuchspreis bei jedem Besuch erneut.
Die Grafik ist bewusst klein gedruckt: Der Schnittpunkt lässt sich nur ungefähr ablesen.
- Stelle für Tarif A und Tarif B je eine Kostengleichung auf und lies aus Material M3 ab, in welchem Bereich der Schnittpunkt ungefähr liegt.
- Berechne den Schnittpunkt genau und entscheide begründet, wer von beiden näher an der Wahrheit lag.
- Untersuche die Tarife B und C sowohl grafisch als auch rechnerisch und interpretiere dein Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Nimm zu Timos Behauptung Stellung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Tarif A: \(K_A=24+1{,}5x\). Tarif B: \(K_B=3x\).
In Material M3 schneiden sich die beiden Geraden zwischen 14 und 18 Besuchen bei Kosten zwischen etwa 42 € und 54 €. Genauer lässt sich die Stelle in dieser Zeichnung nicht bestimmen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichsetzen:
\(24+1{,}5x=3x \quad\big|\ -1{,}5x\)
\(24=1{,}5x \quad\big|\ :1{,}5\)
\(x=16\)
Kosten: \(K_A=24+1{,}5\cdot 16=48\) und \(K_B=3\cdot 16=48\). Also \(L=\{(16\,|\,48)\}\): Bei genau 16 Besuchen kosten beide Tarife 48,00 €.
Mia liegt mit 15 einen Besuch daneben, Timo mit 17 ebenfalls einen Besuch. Beide sind also gleich weit vom richtigen Wert entfernt — keiner von beiden lag näher. Richtig ist keiner von beiden; die Zeichnung gibt den Wert 16 einfach nicht genau genug her.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Tarif C: \(K_C=12+3x\), Tarif B: \(K_B=3x\).
Grafisch: Beide Geraden haben dieselbe Steigung 3, verlaufen also parallel. Sie schneiden sich nirgends.
Rechnerisch: \(3x=12+3x \quad\big|\ -3x\) liefert \(0=12\). Diese Aussage ist falsch, das System hat also keine Lösung: \(L=\{\}\).
Im Sachzusammenhang heißt das: Tarif C kostet bei jeder Besuchszahl genau 12,00 € mehr als Tarif B, weil beide denselben Preis je Besuch verlangen, C aber zusätzlich eine Grundgebühr. Es gibt daher keine Besuchszahl, bei der beide gleich teuer sind — Tarif C ist immer der schlechtere.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Timos Behauptung ist zu pauschal und in dieser Form falsch.
Richtig an ihr ist: Wer nur zeichnet, erhält eine Näherung. In Teilaufgabe b) hat die Grafik weder Mia noch Timo den exakten Wert 16 geliefert; für eine verbindliche Auskunft — etwa auf einem Preisaushang — reicht sie nicht aus. Genau dafür gibt es die rechnerischen Verfahren.
Falsch ist der Schluss, das Zeichnen sei überflüssig. Die Grafik zeigt auf einen Blick, welcher Tarif vor und nach dem Schnittpunkt günstiger ist — bis 15 Besuche Tarif B, ab 17 Besuche Tarif A. In Teilaufgabe c) sieht man außerdem schon an den parallelen Geraden, dass es keine Lösung geben kann, noch bevor man \(0=12\) ausgerechnet hat. Die Zeichnung liefert also den Überblick und eine Kontrolle für das Rechenergebnis, die Rechnung den genauen Wert. Sinnvoll ist beides zusammen.