Zurück zur ErklärungZuordnungen und FunktionenApplets, Beispiele und Merksätze noch einmal nachlesen.
Weiter im KapitelZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel, Selbsttest, Lernkarten und die Probeklausur.
Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
4
Übungsaufgaben — 30 Aufgaben von AFB I bis Mix
A1
Stimmt das über Funktionen?
AFB ISechs Aussagen zum Funktionsbegriff. Entscheide bei jeder, ob sie stimmt.
A2
Funktion oder nicht?
AFB IWelche der folgenden Zuordnungen sind Funktionen? Es sind mehrere richtig.
Die zwei falschen Fälle sind Umkehrungen: Ein Geburtsdatum kann mehrere Schüler treffen, und zu 36 gehören sowohl 6 als auch −6.
A3
Die Fachbegriffe einsetzen
AFB IKlicke erst ein Wort in der Bank, dann die passende Lücke im Text. Mit Tab und Enter geht es genauso.
Eine Zuordnung heißt , wenn sie ist. Alle erlaubten x-Werte bilden zusammen die , alle vorkommenden y-Werte die . Setzt man ein ein, so erhält man den zugehörigen .
Merksatz für die Reihenfolge: Argument hinein → Funktionswert heraus.
A4
Funktionswerte berechnen
AFB IGegeben ist f(x) = 2x + 1. Berechne f(5).
Erst 2 · 5 = 10, dann + 1. Punkt vor Strich!
A5
Aus der Wertetabelle ablesen
AFB IDie Tabelle beschreibt eine Funktion f. Lies die gesuchten Werte ab.
Ansatz: Suche den x-Wert in der oberen Zeile und lies direkt darunter ab.Warum hilft das? Die Tabelle ist nichts anderes als eine Liste von Punkten (x | y).
Bei c) andersherum: Suche zuerst die 2 in der unteren Zeile und schau, welcher x-Wert darüber steht.Das ist die Rückwärtsrichtung — sie ist erlaubt, nur eben nicht automatisch eindeutig.
Lösung: a) 7 · b) 4 · c) x = 9
Wertetabelle der Funktion f
A6
Begriffe und Erklärungen paaren
AFB IDecke immer zwei Karten auf, die zusammengehören.
Die beiden Mengen verwechselt man leicht: Definitionsmenge ist die Eingangsseite, Wertemenge die Ausgangsseite.
A7
In die richtige Schublade
AFB ISortiere jede Zuordnung in den passenden Korb.
1sicher eine Funktion
2sicher keine Funktion
3kommt auf die Situation an
Bei „Vorname ↦ Nachname“ entscheidet die Gruppe: In deiner Klasse mit nur einer Lena ist es eindeutig, in der ganzen Schule wahrscheinlich nicht mehr.
A8
Im Schema anklicken
AFB IKlicke die gesuchte Größe im Schema an.
Argument und Funktionswert sind einzelne Zahlen, Definitions- und Wertemenge sind ganze Sammlungen davon.
A9
Die Reihenfolge stimmt noch nicht
AFB ISo bestimmst du einen Funktionswert. Bring die Schritte in die richtige Reihenfolge.
1
Funktionsgleichung aufschreiben, zum Beispiel f(x) = 4x − 1.
2
Prüfen, ob der gewünschte x-Wert zur Definitionsmenge gehört.
3
Den x-Wert überall dort einsetzen, wo x steht.
4
Punkt vor Strich beachten und ausrechnen.
5
Das Ergebnis als f(x) = … hinschreiben.
Schritt 2 wird oft übersprungen — bei Sachaufgaben ist er aber entscheidend, weil dort negative oder gebrochene x-Werte häufig verboten sind.
A10
Rechenkette: schrittweise zum Ziel
AFB IIGegeben ist f(x) = 4x − 3. Rechne Schritt für Schritt — jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
- Berechne zuerst f(2).
- Berechne f(0).
- Für welches x gilt f(x) = 17?
- Wie groß ist f(5) − f(2)?
Auffällig: f(2) = 5 und gleichzeitig f(5) = 17. Argument und Funktionswert werden gern verwechselt — achte immer darauf, was in der Klammer steht.
A11
Kreuztabelle: welcher Funktionswert?
AFB IISetze in jeder Zeile genau ein Kreuz.
| Funktionsgleichung | f(2) = 5 | f(2) = 8 | f(2) = 11 |
|---|---|---|---|
| f(x) = 2x + 1 | |||
| f(x) = 4x | |||
| f(x) = 5x + 1 | |||
| f(x) = 3x + 2 | |||
| f(x) = 6x − 1 |
Zwei Gleichungen liefern denselben Wert 8 und zwei den Wert 11 — verschiedene Funktionen können an einer einzelnen Stelle übereinstimmen. Erst mehrere Stellen entscheiden.
A12
Senkrechtentest am Graphen
AFB IIDer Graph zeigt eine Zuordnung. Prüfe sie mit dem Senkrechtentest und beantworte dann die Fragen.
Ansatz: Lege gedanklich ein Lineal senkrecht bei x = 4 an und zähle die Treffer.Warum hilft das? Der Senkrechtentest prüft genau die Eindeutigkeit.
Ablesen: Gehe von der x-Achse senkrecht nach oben bis zum Punkt und dann waagerecht zur y-Achse.Diese zwei Bewegungen sind die Standardtechnik beim Ablesen.
Lösung: a) 1 · b) 5 · c) 2
Woran erkennst du hier ohne zu rechnen, dass eine Funktion vorliegt?
Über jedem x-Wert liegt höchstens ein Punkt. Es gibt keine zwei Punkte, die genau übereinanderstehen — also besteht der Graph den Senkrechtentest.
Fünf Punkte einer Zuordnung
A13
Gleichung und Funktionswert verbinden
AFB IIVerbinde jede Funktionsgleichung mit dem passenden Wert von f(3).
Bei der letzten Gleichung steht das x hinten und mit Minus davor — hier fallen die Werte, wenn x größer wird.
A14
Zuordnung, Funktion oder beides?
AFB IIOrdne jede Aussage dem passenden Bereich zu.
1 nur Zuordnung
2 beides
3 nur Funktion
Die Mitte ist groß: Fast alles, was du über Zuordnungen weißt, gilt auch für Funktionen. Der Unterschied ist allein die Eindeutigkeit.
A15
Fehlersuche im Merkheft
AFB IIAus dem Merkheft einer Mitschülerin. Klicke genau die falschen Zeilen an.
Drei Fehler, drei richtige Zeilen. Die Verwechslung von Definitions- und Wertemenge ist in Klassenarbeiten besonders häufig.
A16
Ablauf durchspielen
AFB IILena prüft eine Tabelle. Entscheide bei jedem Schritt, wie es weitergeht.
Der ganze Weg: doppelte x-Werte suchen → zugehörige y-Werte vergleichen → entscheiden. Nur unterschiedliche y-Werte kippen die Eindeutigkeit.
A17
Rückwärts rechnen
AFB IIGegeben ist f(x) = 5x − 2. Für welches x gilt f(x) = 18?
Erst + 2 auf beiden Seiten (20), dann : 5. Die Gegenrechnungen kommen in umgekehrter Reihenfolge.
A18
Den Bauplan zusammensetzen
AFB IISo sieht eine vollständige Lösung aus. Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen.
Die beiden Fallen sind Klassiker: eine erfundene Klammer und die vergessene Reihenfolge Punkt vor Strich.
A19
Pfeildiagramm auswerten
AFB IIDas Pfeildiagramm zeigt eine Zuordnung von der Menge der x-Werte in die Menge der y-Werte.
Ansatz: Zähle die Kreise im linken Kasten und die im rechten Kasten getrennt.Warum hilft das? Links stehen die Eingaben, rechts die Ergebnisse.
Achtung: Ein Kreis rechts kann von mehreren Pfeilen getroffen werden — trotzdem zählt er nur einmal.Genau deshalb sind Definitions- und Wertemenge oft unterschiedlich groß.
Lösung: a) 4 · b) 3 · c) 5
Warum ist diese Zuordnung trotz des doppelt getroffenen y-Werts eine Funktion?
Weil von jedem linken Kreis genau ein Pfeil ausgeht. Wie viele Pfeile rechts ankommen, spielt für die Eindeutigkeit keine Rolle.
Vier Pfeile, drei verschiedene Ziele
A20
Entscheidungsbaum: Funktion oder nicht?
AFB IIArbeite dich durch den Baum und schau, wo du herauskommst.
Alle Wege prüfen dasselbe — nur mit dem Werkzeug, das zur jeweiligen Darstellung passt: Tabelle durchsuchen, Lineal anlegen oder Vorschrift lesen.
A21
Wie viele y-Werte gehören dazu?
AFB IIWie viele verschiedene y-Werte gehören jeweils zum x-Wert 4? Wähle die passende Stufe.
1 = genau einer5 = fünf oder mehr
Die Funktion f(x) = 2x + 3.
Die Zuordnung „Zahl ↦ alle Zahlen, die kleiner sind“.
Die Tabelle mit den Paaren (4|1), (4|1), (4|1).
Die Tabelle mit den Paaren (4|1), (4|6).
Die Zuordnung „Zahl ↦ ihre beiden Vorzeichenvarianten“, also 4 ↦ +4 und −4.
Stufe 1 heißt: Funktion. Alles darüber heißt: keine Funktion. Zeile 3 ist die Falle — dreimal derselbe Wert ist immer noch nur ein Wert.
A22
Kacheln bis zum Ziel
AFB IIGegeben ist f(x) = 3x. Wähle Funktionswerte aus, deren Summe genau das Ziel trifft.
0
Ziel: 45
Ein möglicher Weg: f(2) + f(5) + f(8) = 6 + 15 + 24 = 45. Es gibt mehrere Lösungen — weil alle Werte Vielfache von 3 sind, muss auch das Ziel eines sein.
A23
Definitionsmenge und Wertemenge
AFB IIDie Tabelle beschreibt die Funktion g. Bestimme die gesuchten Anzahlen und Werte.
Ansatz: Schreibe die y-Werte einmal untereinander und streiche Wiederholungen durch.Warum hilft das? In einer Menge zählt jedes Element nur einmal.
Bei c): Lies erst g(5) ab, dann g(1) — und subtrahiere in genau dieser Reihenfolge.Die Reihenfolge entscheidet über das Vorzeichen.
Lösung: a) 6 · b) 4 (nämlich 2, 4, 6 und 7) · c) 6 − 3 = 3
Wertetabelle der Funktion g
A24
Schätzen und begründen
AFB IIIA25
Aussagen prüfen — für Fortgeschrittene
AFB IIIDiese Aussagen sind kniffliger. Entscheide sorgfältig.
A26
Ein Gegenbeispiel bauen
AFB IIIMarek behauptet: „Wenn ich in einer Wertetabelle jeden x-Wert nur einmal aufschreibe, ist es automatisch eine Funktion.“ Denk darüber nach und beantworte beide Fragen selbst, bevor du die Lösungen aufklappst.
a) Hat Marek recht? Begründe.
Ja, in diesem Fall hat er recht — aber nur, weil er die Zuordnung selbst aufschreibt. Wenn jeder x-Wert genau einmal vorkommt, kann er gar nicht zwei verschiedene y-Werte bekommen. Der Denkfehler wäre erst, daraus zu schließen, dass jede Funktion so aussehen muss: In einer Tabelle darf x auch mehrfach stehen, solange jedes Mal derselbe y-Wert dabeisteht.
b) Konstruiere eine Zuordnung mit fünf Wertepaaren, die keine Funktion ist, bei der aber alle y-Werte verschieden sind.
Zum Beispiel (2|1), (2|3), (5|7), (8|4), (9|6). Der x-Wert 2 zeigt auf 1 und auf 3 — damit ist die Eindeutigkeit verletzt, obwohl alle fünf y-Werte unterschiedlich sind. Das zeigt: Die y-Seite sagt über den Funktionsbegriff gar nichts aus.
A27
Welche Aussagen gelten immer?
AFB IIIKreuze alle Aussagen an, die für jede Funktion gelten.
Die drei falschen Aussagen beschreiben Sonderfälle, die man leicht für allgemeingültig hält: Geraden sind nur ein Funktionstyp, konstante Funktionen haben eine einelementige Wertemenge, und Umkehrungen sind oft mehrdeutig.
A28
Zwei Darstellungen vergleichen
AFB IIILinks siehst du den Graphen einer Zuordnung. Prüfe zuerst, ob es eine Funktion ist, und bestimme dann die gesuchten Werte.
Ansatz: Schiebe die senkrechte Gerade in Gedanken über alle x-Werte und notiere die Trefferzahlen.Warum hilft das? Nur Stellen mit mehr als einem Treffer stören.
Bei b): Zähle, an wie vielen Stellen es überhaupt Doppeltreffer gibt — an jeder davon muss ein Punkt weg.Es genügt, jeweils einen der beiden Punkte zu streichen.
Lösung: a) 2 · b) 1 — nur bei x = 2 liegen zwei Punkte übereinander.
Warum ändert das Entfernen eines Punktes nichts an den übrigen Funktionswerten?
Weil jeder Punkt für sich ein Wertepaar ist. Die Zuordnung wird an allen anderen Stellen gar nicht berührt — nur die Definitionsmenge verliert nichts, die Doppeldeutigkeit an dieser einen Stelle verschwindet.
Sechs Punkte — einer zu viel
A29
Gemischte Kette — auch mit Flächen
MixHier mischen sich Funktionen mit dem Flächeninhalt aus dem letzten Kapitel. Rechne Schritt für Schritt.
- Ein Dreieck hat g = 8 cm und h = 5 cm. Wie groß ist A? cm²
- Die Funktion f ordnet der Höhe h den Flächeninhalt zu: f(h) = 4h. Berechne f(5). cm²
- Für welche Höhe gilt f(h) = 36? cm
- Um wie viel wächst A, wenn h um 1 cm größer wird? cm²
Die Funktion f(h) = 4h ist nichts anderes als A = ½ · 8 · h. Der Faktor 4 ist genau die halbe Grundseite — und er gibt an, um wie viel A pro Zentimeter Höhe wächst.
A30
Trickaufgabe: der Automat mit Gedächtnis
MixEin Getränkeautomat gibt auf Taste 1 immer Wasser aus — außer beim allerersten Druck am Morgen, da kommt Tee heraus. Ein Techniker sagt: „Trotzdem ist das eine Funktion.“ Er hat recht, wenn man die Sache richtig beschreibt.
Wie muss man die Zuordnung formulieren, damit sie eindeutig wird?
Der Trick liegt in der Definitionsmenge. Nimmt man nur die Taste als x-Wert, zeigt Taste 1 auf Wasser und auf Tee — nicht eindeutig. Nimmt man dagegen das Paar aus Taste und Druckzeitpunkt, also zum Beispiel „Taste 1 um 7:02 Uhr“, dann gehört zu jeder Eingabe genau ein Getränk. Dieselbe Situation ist also je nach gewählter Definitionsmenge eine Funktion oder keine.
Was lernst du daraus für den Umgang mit Sachaufgaben?
Ob eine Zuordnung eine Funktion ist, hängt nicht nur an der Sache, sondern auch daran, wie genau man die Eingangsgröße festlegt. Deshalb steht in guten Aufgaben immer dabei, was genau dem was zugeordnet wird.