Der Gartenteich im Schulgarten
AFB IIIm Schulgarten liegt ein flacher Gartenteich. Die Garten-AG misst an fünf aufeinanderfolgenden Tagen jeden Morgen um 8 Uhr, wie hoch das Wasser im Teich steht. Material M1 zeigt die Messreihe zweimal: einmal als Wertetabelle und einmal als Graph. Waagerecht steht die Zeit in Tagen seit Messbeginn, senkrecht die Füllhöhe in Zentimetern.
Die AG schreibt ihre Zuordnung kurz als \(h(t)\): Dem Tag \(t\) wird die Füllhöhe \(h\) zugeordnet.
| Zeit \(t\) in Tagen | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Füllhöhe \(h\) in cm | 12 | 18 | 18 | 25 | 31 |
Dieselbe Zuordnung in zwei Darstellungen — die Höhe 18 cm steht in der Tabelle zweimal.
- Lies aus Material M1 ab, wie hoch das Wasser am Tag 3 steht, und gib außerdem \(h(1)\) mit Einheit an.
- Begründe mit dem Senkrechtentest am Graphen, dass die Zuordnung „Tag \(\rightarrow\) Füllhöhe“ eine Funktion ist.
- Gib die Definitionsmenge und die Wertemenge der Messreihe an und erkläre, warum die Höhe 18 cm zweimal vorkommen darf, ohne dass die Eindeutigkeit verletzt ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Wertetabelle: In der Spalte \(t=3\) steht der Wert \(h=25\).
Graph: Über der Zahl 3 liegt genau ein Punkt, und zwar auf der Höhe 25.
Für den Tag 1 liest du \(h(1)=18\) ab.
Am Tag 3 steht das Wasser 25 cm hoch, am Tag 1 waren es 18 cm.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die senkrechte Suchlinie wird nacheinander an die Stellen \(t=0\), \(t=1\), \(t=2\), \(t=3\) und \(t=4\) gelegt.
An jeder dieser Stellen trifft sie genau einen der eingezeichneten Punkte — bei \(t=2\) zum Beispiel nur den Punkt auf der Höhe 18. Nirgendwo liegen zwei Punkte übereinander.
Damit gehört zu jedem Tag genau ein Messwert. Genau das fordert die Eindeutigkeit.
Jedem Messtag ist also genau eine Füllhöhe in cm zugeordnet — die Messreihe der Garten-AG beschreibt eine Funktion.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Definitionsmenge (alle erlaubten Tage): \(D=\{0;\,1;\,2;\,3;\,4\}\), gemessen in Tagen.
Wertemenge (alle vorkommenden Füllhöhen): \(W=\{12;\,18;\,25;\,31\}\), gemessen in cm. Die 18 wird nur einmal aufgeschrieben, obwohl sie zweimal gemessen wurde.
Die Eindeutigkeit wird nur in einer Richtung gefordert: von \(x\) nach \(y\), also vom Tag zur Höhe. Verboten wäre nur, dass ein Tag zwei verschiedene Füllhöhen hätte.
Hier ist es umgekehrt: Zur Höhe 18 cm gehören zwei Tage (Tag 1 und Tag 2). Mehrere \(x\)-Werte dürfen denselben \(y\)-Wert liefern — an diesen beiden Tagen hat es einfach nicht geregnet, die Füllhöhe blieb bei 18 cm. Die Zuordnung bleibt eine Funktion.
Die Wetterstation auf dem Schuldach
AFB IIIAuf dem Schuldach steht eine kleine Wetterstation. Für ein Klimaprojekt notiert die Klasse 8b an einem Septembertag alle drei Stunden die Lufttemperatur. Das Messprotokoll steht in Material M2, einmal als Wertetabelle und einmal als Graph.
Beim Auswerten sagt Mattis: „Zu 12 °C gehören zwei Uhrzeiten, nämlich 8 Uhr und 20 Uhr. Ein Wert ist also doppelt zugeordnet. Damit ist die Zuordnung ‚Uhrzeit \(\rightarrow\) Temperatur‘ keine Funktion, und wir dürfen gar nicht \(T(t)\) schreiben.“
| Uhrzeit \(t\) in h | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| Temperatur \(T\) in °C | 12 | 17 | 19 | 16 | 12 |
Die rote waagerechte Linie gehört nicht zum Senkrechtentest — sie zeigt, welche Uhrzeiten dieselbe Temperatur haben.
- Lies aus Material M2 ab, welche Temperatur um 14 Uhr gemessen wurde, und nenne alle Uhrzeiten, zu denen 12 °C im Protokoll steht.
- Untersuche die umgekehrte Zuordnung „Temperatur \(\rightarrow\) Uhrzeit“ und entscheide begründet, ob sie eine Funktion ist.
- Beurteile Mattis’ Aussage. Erkläre dazu, worin sein Denkfehler besteht, und gib an, ob die Schreibweise \(T(t)\) erlaubt ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Wertetabelle: Unter der Uhrzeit 14 steht der Wert 19.
Im Graphen liegt über der Zahl 14 genau ein Punkt, und zwar auf der Höhe 19.
Der Wert 12 steht in der Temperaturzeile zweimal: in der Spalte 8 und in der Spalte 20. Die rote waagerechte Linie trifft genau diese beiden Punkte.
Um 14 Uhr wurden 19 °C gemessen; die Temperatur 12 °C wurde um 8 Uhr und um 20 Uhr abgelesen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bei der umgekehrten Zuordnung startet man bei der Temperatur: \(12 \rightarrow\;?\)
Zu 12 °C gehören zwei verschiedene Uhrzeiten, nämlich 8 h und 20 h.
Damit hat ein Ausgangswert zwei verschiedene zugeordnete Werte. Die Eindeutigkeit ist verletzt, ein Gegenbeispiel genügt.
Im Graphen sieht man dasselbe: Die waagerechte Linie auf Höhe 12 trifft zwei Punkte.
Die Zuordnung „Temperatur \(\rightarrow\) Uhrzeit“ ist keine Funktion, weil der Temperatur 12 °C die beiden Uhrzeiten 8 h und 20 h zugeordnet sind.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Prüfung der Zuordnung, um die es geht — Uhrzeit \(\rightarrow\) Temperatur:
8 h \(\rightarrow\) 12; 11 h \(\rightarrow\) 17; 14 h \(\rightarrow\) 19; 17 h \(\rightarrow\) 16; 20 h \(\rightarrow\) 12.
Zu jeder Uhrzeit gehört genau ein Temperaturwert. Der Senkrechtentest bestätigt das: An jeder Stelle der Zeitachse liegt höchstens ein Punkt.
Mattis’ Aussage ist falsch. Sein Denkfehler: Er hat die Richtung vertauscht. Geprüft werden muss, ob zu einem \(x\)-Wert (Uhrzeit) zwei \(y\)-Werte gehören — dafür ist die senkrechte Linie zuständig. Mattis hat stattdessen mit der waagerechten Linie geschaut, ob ein \(y\)-Wert (Temperatur) zu zwei \(x\)-Werten gehört. Das ist ausdrücklich erlaubt: Mehrere \(x\)-Werte dürfen denselben \(y\)-Wert liefern.
Sein Gegenbeispiel widerlegt also nur die umgekehrte Zuordnung aus Teilaufgabe b), nicht die gefragte.
Die Zuordnung „Uhrzeit \(\rightarrow\) Temperatur“ ist eine Funktion. Die Schreibweise ist daher erlaubt, zum Beispiel \(T(8)=12\), also 12 °C um 8 Uhr.