Zurück zur ErklärungVermischte Übungen + VertiefungTarifvergleich, Gleichsetzen und die Zusammenschau noch einmal nachlesen.
Weiter im KapitelZurück zur KapitelübersichtAlle Unterkapitel, Selbsttest, Lernkarten und die Probeklausur.
Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
4
Übungsaufgaben — 30 Aufgaben von AFB I bis Mix
A1
Was der Schnittpunkt aussagt
AFB IZwei Tarifgeraden schneiden sich im Punkt S(20 | 35). Welche Aussagen sind richtig? Mehrfachauswahl.
Der Schnittpunkt beantwortet nur die Frage „Wo gleich teuer?“. Wer danach fragt „Wer ist günstiger?“, muss zusätzlich die beiden Bereiche betrachten.
A2
Stimmt das über das Gleichsetzen?
AFB IFünf Aussagen zum Gleichsetzen. Entscheide bei jeder, ob sie stimmt.
A3
x berechnen
AFB ILöse die Gleichung 2 · x + 3 = x + 7. Wie groß ist x?
Erst alle x nach links: 2x − x = x. Dann die Zahlen nach rechts: 7 − 3 = 4.
A4
Der Weg zum Schnittpunkt in Worten
AFB IZiehe die passenden Wörter in die Lücken.
Beim Vergleich zweier Tarife setzt man die beiden Funktionsterme . Man löst die Gleichung nach auf und setzt das Ergebnis wieder ein, um zu berechnen. Beide Zahlen zusammen bilden den . Mit der zweiten Gleichung macht man die . Im Sachzusammenhang heißt diese Stelle .
Zwei Karten bleiben übrig — sie gehören zwar zum Thema, aber in keine der Lücken.
A5
Sachtext und Gleichung finden sich
AFB IFinde die Paare: jede Beschreibung gehört zu genau einer Funktionsgleichung.
Achte auf das Vorzeichen: Nur bei der Kerze wird der Wert kleiner, deshalb steht dort ein Minus.
A6
Die Reihenfolge der Schritte
AFB IBringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.
1
Für beide Tarife eine Funktionsgleichung aufstellen
2
Die beiden Funktionsterme gleichsetzen
3
Alle x auf die eine, alle Zahlen auf die andere Seite bringen
4
Durch den Vorfaktor teilen und so x berechnen
5
x in eine Gleichung einsetzen und y berechnen
6
Probe machen und einen Antwortsatz mit Einheit schreiben
Der Antwortsatz ist kein Schmuck, sondern der letzte Schritt des Modellierens.
A7
Schnittpunkt ablesen
AFB I
Die Zeichnung zeigt die Kosten zweier Fahrradverleihe in Abhängigkeit von der Stundenzahl. Lies den Schnittpunkt ab.
h
€
€
Der Schnittpunkt: ist die einzige Stelle, an der sich beide Linien berühren. Fahre mit dem Finger an beiden Linien entlang, bis sie sich treffen.
Von diesem Punkt: gehst du senkrecht nach unten zur x-Achse und waagerecht nach links zur y-Achse. Die beiden abgelesenen Zahlen sind x und y.Immer beide Richtungen ablesen — ein Punkt hat zwei Koordinaten.
Für B: suchst du auf der x-Achse die 2, gehst senkrecht nach oben bis zur orangen Geraden und dann waagerecht nach links.
Kosten zweier Verleihe in Euro
A8
Welcher Typ ist das?
AFB IKreuze für jede Zeile die genaueste Beschreibung an.
| Zuordnung | proportional | linear | antiproportional | keines davon |
|---|---|---|---|---|
| y = 3 · x | ||||
| y = 2 · x + 5 | ||||
| y = 24 : x | ||||
| y = x · x | ||||
| y = 0,5 · x − 4 | ||||
| x · y = 36 |
„Genau“ heißt: y = 3x ist zwar auch linear, aber proportional ist die schärfere Aussage — sie sagt zusätzlich, dass b = 0 ist.
A9
Grundgebühr bestimmen
AFB IA10
Fitnessstudio Schritt für Schritt
AFB IIStudio A verlangt 25 € Grundgebühr und 3 € je Besuch, Studio B 10 € Grundgebühr und 6 € je Besuch. Rechne dich Schritt für Schritt zum Schnittpunkt.
- Was kostet Studio A bei 0 Besuchen? €
- Wie groß ist die Differenz der Grundgebühren, also 25 − 10? €
- Wie groß ist die Differenz der Preise je Besuch, also 6 − 3? €
- Bei wie vielen Besuchen kosten beide gleich viel? Rechne 15 : 3. Besuche
- Wie viel zahlt man bei dieser Besuchszahl? €
Die letzten beiden Zeilen sind genau das, was das Gleichsetzen liefert: 3x + 25 = 6x + 10 führt auf 15 = 3x.
A11
Ein Schnittpunkt, keiner oder unendlich viele?
AFB IISortiere die Geradenpaare in die drei Körbe. Schau zuerst auf die Steigungen.
1genau ein Schnittpunkt
2parallel, kein Schnittpunkt
3identisch, unendlich viele
Gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt bedeutet: dieselbe Gerade, nur anders aufgeschrieben.
A12
Vom Text zur Gleichung
AFB IIVerbinde jede Beschreibung mit der passenden Funktionsgleichung.
Die Zahl ohne x ist immer der Startwert, der Faktor vor dem x immer die Veränderung je Schritt.
A13
Finde die Denkfehler
AFB IIEin Schüler vergleicht zwei Tarife mit 4x + 6 und x + 18. Klicke die Zeilen an, in denen etwas nicht stimmt.
Die Rechnung stimmt — falsch ist erst, was danach daraus gemacht wird.
A14
Den Antwortsatz bauen
AFB IISetze aus den Bausteinen einen vollständigen Antwortsatz zusammen (Studio A: 3 € je Besuch plus 25 €, Studio B: 6 € je Besuch plus 10 €).
Ein guter Antwortsatz nennt die Stelle, den Betrag mit Einheit und beide Bereiche.
A15
Die zweite Koordinate
AFB IIDie Geraden y = 1,25 · x + 6 und y = 2 · x schneiden sich. Wie groß ist die y-Koordinate des Schnittpunkts?
Gleichsetzen liefert 6 = 0,75x, also x = 8. Setze diesen Wert in y = 2x ein.
A16
Proportional, linear oder beides?
AFB IIOrdne jede Aussage dem Bereich zu, in dem sie gilt.
1 nur proportional
2 nur linear mit b ≠ 0
3 für beide
Jede proportionale Zuordnung ist auch linear — umgekehrt gilt das nicht.
A17
Entscheidungsbaum
AFB IIEine Tabelle zeigt x = 1, 2, 3, 4 und y = 24, 12, 8, 6. Beantworte die Fragen des Baums, bis du beim richtigen Ergebnis landest.
Prüfe die Punkte im Kopf: von 24 auf 12 und dann auf 8 sind das keine gleichen Schritte.
A18
Modellieren im Fahrradverleih
AFB IIBegleite eine Modellierung von der ersten Idee bis zum Antwortsatz.
Genau dieser Weg — benennen, aufstellen, rechnen, zurückübersetzen — ist der rote Faden des ganzen Kapitels.
A19
Begriffe im Schema anklicken
AFB IIKlicke jeweils das Feld an, das zur Frage passt.
Drei Felder gehören zur Gleichung, drei zur Auswertung des Vergleichs.
A20
Kosten zusammenstellen
AFB IITarif A kostet 15 € Grundgebühr und 3 € je Einheit. Wähle die Kacheln so aus, dass ihre Summe die Kosten für 8 Einheiten ergibt.
0 €
Ziel: 39 €
Kosten = Grundgebühr + Menge · Preis je Einheit. Es gibt mehrere Kachelkombinationen mit derselben Summe — sachlich richtig ist nur eine.
A21
Wie sicher ist das?
AFB IISchätze für jede Aussage ein, wie oft sie zutrifft.
stimmt niestimmt immer
Zwei Geraden mit verschiedenen Steigungen schneiden sich genau einmal.
Der Schnittpunkt zweier Tarifgeraden zeigt, welcher Tarif der bessere ist.
Nach dem Gleichsetzen ist man fertig, sobald x berechnet ist.
Bei gleicher Steigung sind zwei verschiedene Tarife nie gleich teuer.
Eine Rechnung kann stimmen und das Ergebnis trotzdem sachlich unsinnig sein.
Stufe 1 heißt „nie“, Stufe 5 heißt „immer“. Die mittleren Stufen brauchst du hier nicht.
A22
Zwei Kerzen
AFB II
Kerze A ist 20 cm lang und brennt 2 cm je Stunde ab, Kerze B ist 14 cm lang und brennt 1 cm je Stunde ab. Beide werden gleichzeitig angezündet.
h
cm
h
Stelle zuerst auf:: Kerze A hat die Gleichung y = 20 − 2x, Kerze B die Gleichung y = 14 − x. Der Startwert ist die Länge, die Steigung ist negativ, weil die Kerzen kürzer werden.
20 − 2x = 14 − x: | + 2x liefert 20 = 14 + x, also x = 6.Auf beiden Seiten dasselbe tun — sonst stimmt die Gleichung nicht mehr.
Abgebrannt heißt y = 0.: Löse 20 − 2x = 0. Das ist die Nullstelle aus Unterkapitel 7.
Warum liefert die Gleichung von Kerze A für x = 12 einen negativen Wert, und was bedeutet das?
Rechnerisch ist 20 − 2 · 12 = −4. Eine Kerze kann aber nicht −4 cm lang sein. Das Modell gilt nur bis zur Nullstelle bei x = 10; danach ist die Kerze schlicht weg. Genau das ist die Modellgrenze.
Länge der Kerzen in cm
A23
Streamingdienste vergleichen
AFB IIDienst A kostet 4 € Grundgebühr und 2 € je Film, Dienst B 10 € Grundgebühr und 0,50 € je Film. Ab wie vielen Filmen ist A teurer als B? Gib die Filmzahl an, ab der beide gleich viel kosten.
2x + 4 = 0,5x + 10 führt auf 1,5x = 6.
A24
Handytarif mit Freiminuten
AFB IIITarif Frei: 20 € Grundgebühr, die ersten 200 Minuten sind inklusive, jede weitere Minute kostet 0,20 €. Tarif Klar: 8 € Grundgebühr und 0,10 € je Minute von der ersten Minute an. Gib Dezimalzahlen mit Punkt ein.
- Was kostet Frei bei 150 Minuten? €
- Was kostet Klar bei 150 Minuten? €
- Bei welcher Minutenzahl kostet Klar erstmals so viel wie Frei? Löse 0.1 · x + 8 = 20. min
- Wie groß ist die Steigung von Frei für mehr als 200 Minuten? € je min
- Für x > 200 gilt bei Frei y = 0.2 · x − 20. Löse 0.2 · x − 20 = 0.1 · x + 8. min
- Wie viel zahlt man bei dieser Minutenzahl? €
Zwei Schnittstellen, ein Knick: Bis 120 Minuten ist Klar günstiger, zwischen 120 und 280 Minuten Frei, ab 280 Minuten wieder Klar. Solche abschnittsweise definierten Tarife rechnet man immer stückweise.
A25
Parallel — und was heißt das?
AFB IIITarif P kostet 18 € Grundgebühr und 1,50 € je Einheit, Tarif Q kostet 9 € Grundgebühr und ebenfalls 1,50 € je Einheit. Zeige rechnerisch, dass es keinen Schnittpunkt gibt.
€
€
Setze gleich:: 1,5x + 18 = 1,5x + 9. Ziehe auf beiden Seiten 1,5x ab und schau, was übrig bleibt.
18 = 9: ist eine falsche Aussage. Kein x der Welt macht sie wahr — also gibt es keine Stelle, an der beide gleich viel kosten.Ein x, das verschwindet, ist kein Fehler, sondern das Ergebnis.
Der Abstand: der beiden Geraden ist überall gleich groß: genau die Differenz der Grundgebühren, unabhängig von der Menge.
Woran erkennst du zwei parallele Tarifgeraden, ohne überhaupt zu rechnen?
An der Steigung. Wenn beide Tarife denselben Preis je Einheit haben, wachsen die Kosten in gleichen Schritten. Der Unterschied, den die Grundgebühren am Anfang gemacht haben, bleibt für immer bestehen — die Geraden nähern sich nie an. Sachlich heißt das: Der günstigere Tarif bleibt bei jeder Menge günstiger.
A26
Staffelpreise beim Kopieren
AFB IIIIn einem Kopierladen kosten die ersten 50 Kopien je 0,10 €, jede weitere Kopie nur noch 0,05 €. Welche Aussagen stimmen? Mehrfachauswahl.
Bei 50 Kopien zahlt man 5 €. Von dort aus geht es flacher weiter — deshalb ist die zweite Steigung kleiner als die erste.
A27
Wo kippt die Begründung?
AFB IIIJemand untersucht y = 1,5 · x + 8 und y = 1,5 · x + 2. Klicke die Zeilen an, in denen etwas nicht stimmt.
Bis Zeile 3 ist alles sauber. Der Fehler entsteht erst beim Übersetzen des Ergebnisses zurück in die Sprache der Geraden.
A28
Zwei Tarife selbst erfinden
AFB IIITarif R kostet 30 € Grundgebühr und 0,50 € je Einheit. Du sollst einen Tarif S mit 6 € Grundgebühr so entwerfen, dass beide Tarife bei genau 12 Einheiten gleich viel kosten.
€
€
€
Rechne zuerst aus,: wie viel Tarif R bei 12 Einheiten kostet: 0,5 · 12 + 30.
Der Schnittpunkt: muss auch auf der Geraden von S liegen. Also gilt 6 + m · 12 = 36. Löse diese Gleichung nach m auf.Ein bekannter Punkt und ein bekannter y-Achsenabschnitt legen die Steigung eindeutig fest.
Setze 20 ein: in y = 0,5x + 30. Vergleiche danach zur Kontrolle mit Tarif S.
Wie kannst du zu einem vorgegebenen Schnittpunkt beliebig viele Tarifpaare bauen?
Wähle den Schnittpunkt S(x0 | y0) fest. Suche dir dann für jeden Tarif eine Grundgebühr b aus und berechne die passende Steigung mit m = (y0 − b) : x0. So geht jede Gerade durch S. Nur b = y0 ist verboten — dann käme m = 0 heraus und der Tarif wäre eine Pauschale.
A29
Woher kommt welche Zahl?
MixAus dem ganzen Kapitel: Sortiere die Beschreibungen danach, welche Größe der Funktionsgleichung y = m · x + b sie meinen.
1Steigung m
2y-Achsenabschnitt b
3weder m noch b
Nullstelle und Schnittpunkt sind keine Bausteine der Gleichung, sondern Ergebnisse, die man aus ihr berechnet.
A30
Leihen oder kaufen?
Mix
Ein Leihrad kostet 3 € je Tag, ohne Grundgebühr. Ein eigenes Rad kostet einmalig 240 € und zusätzlich 0,50 € Wartung je Tag.
€ je Tag
Tage
€
€
Leihen:: y = 3x (proportional, denn es gibt keine Grundgebühr). Kaufen: y = 0,5x + 240.
3x = 0,5x + 240: | − 0,5x liefert 2,5x = 240. Teile jetzt durch 2,5.Auch hier gilt: erst alle x auf eine Seite, dann durch den Vorfaktor teilen.
Einsetzen genügt.: Rechne 0,5 · 200 + 240. Vergleiche zur Kontrolle mit dem Leihpreis für 200 Tage.
Ab wann lohnt sich das eigene Rad wirklich — und welche Annahmen des Modells würdest du kritisch prüfen?
Ab dem 97. Tag ist das eigene Rad günstiger, denn rechts vom Schnittpunkt gewinnt die flachere Gerade. Kritisch sind mehrere Annahmen: Die Wartung ist kaum jeden Tag exakt gleich teuer, das Rad verliert an Wert, es kann gestohlen werden, und beim Leihen zahlt man nur an Tagen, an denen man wirklich fährt. Das Modell ist eine gute erste Näherung, keine Garantie.
Gesamtkosten in Euro