Der Bus für die Klassenfahrt
AFB IIDie Klasse 8b plant ihre Abschlussfahrt und holt zwei Angebote für den Reisebus ein.
Das Unternehmen Rheinbus verlangt 250 € Grundpreis und zusätzlich 0,90 € für jeden gefahrenen Kilometer. Das Unternehmen Talfahrt verlangt nur 100 € Grundpreis, dafür 1,40 € je Kilometer. Beide Angebote sind in Material M1 als Geraden eingezeichnet.
Geplant ist eine Fahrt über insgesamt 380 km (Hinfahrt und Rückfahrt zusammen).
Waagerecht die gefahrene Strecke in Kilometern, senkrecht die Kosten in Euro. Die Geraden starten verschieden hoch und steigen verschieden steil.
- Dabei soll \(x\) für die Fahrtstrecke in Kilometern und \(y\) für die Kosten in Euro stehen. Stelle für jedes Unternehmen eine Funktionsgleichung auf und beschreibe, was \(m\) und \(b\) hier jeweils bedeuten.
- Lies aus M1 ab, bei welcher Strecke beide Unternehmen ungefähr gleich viel kosten, und berechne den Schnittpunkt anschließend durch Gleichsetzen exakt.
- Begründe, welches Unternehmen ab welcher Strecke günstiger ist, und berechne, wie viel die Klasse beim günstigeren Angebot für die geplanten 380 km spart.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(x\): Fahrtstrecke in km, \(y\): Kosten in €.
Rheinbus: \(y = 0{,}9\cdot x + 250\)
Talfahrt: \(y = 1{,}4\cdot x + 100\)
Der \(y\)-Achsenabschnitt \(b\) ist der Grundpreis, der auch ohne einen einzigen gefahrenen Kilometer bezahlt werden muss: 250 € bei Rheinbus, 100 € bei Talfahrt.
Die Steigung \(m\) ist der Preis je Kilometer: Bei Rheinbus kostet jeder weitere Kilometer 0,90 €, bei Talfahrt 1,40 €.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ablesen aus M1: Die Geraden kreuzen sich bei ungefähr 300 km und ungefähr 520 €.
Gleichsetzen: \(0{,}9x + 250 = 1{,}4x + 100\)
Auf beiden Seiten \(-\,0{,}9x\): \(250 = 0{,}5x + 100\)
Auf beiden Seiten \(-\,100\): \(150 = 0{,}5x\)
Auf beiden Seiten \(:\,0{,}5\): \(x = 300\)
Einsetzen in die Gleichung von Rheinbus: \(y = 0{,}9\cdot 300 + 250 = 520\)
Probe mit Talfahrt: \(y = 1{,}4\cdot 300 + 100 = 520\) — dasselbe \(y\).
Der Schnittpunkt ist \(S(300 \mid 520)\): Bei einer Fahrtstrecke von 300 km kosten beide Unternehmen gleich viel, nämlich 520 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Beispiel links vom Schnittpunkt, 100 km: Rheinbus \(0{,}9\cdot 100 + 250 = 340\), Talfahrt \(1{,}4\cdot 100 + 100 = 240\). Talfahrt liegt unten.
Beispiel rechts davon, 400 km: Rheinbus \(0{,}9\cdot 400 + 250 = 610\), Talfahrt \(1{,}4\cdot 400 + 100 = 660\). Jetzt liegt Rheinbus unten.
Das bestätigt das Bild in M1: Bis 300 km ist Talfahrt günstiger, ab 300 km ist Rheinbus günstiger; bei genau 300 km kosten beide gleich viel. Der Grund: Talfahrt startet zwar 150 € billiger, verlangt aber je Kilometer 0,50 € mehr — nach \(150 : 0{,}5 = 300\) Kilometern ist dieser Vorsprung aufgebraucht.
Für 380 km: Rheinbus \(0{,}9\cdot 380 + 250 = 592\), Talfahrt \(1{,}4\cdot 380 + 100 = 632\).
Die Klasse sollte bei Rheinbus buchen und spart dann \(632\ \text{€} - 592\ \text{€} = 40\ \text{€}\).
Fotos für die Abschlusszeitung
AFB IIIFür die Abschlusszeitung lässt die Klasse Fotos drucken. Der Anbieter Fotobox verlangt 3,00 € Versandpauschale und zusätzlich 0,15 € je Foto. Beim Anbieter Klickdruck gibt es keine Versandkosten, dafür kostet jedes Foto 0,25 €.
Mia hat für kleine Bestellmengen die Tabelle in Material M2 angelegt und sagt: „Klickdruck ist bei jeder Menge günstiger — und je mehr Fotos wir bestellen, desto größer wird der Vorsprung.“
Tatsächlich geplant sind 80 Fotos.
| Anzahl der Fotos | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| Fotobox: Kosten in € | 3,75 | 4,50 | 5,25 | 6,00 |
| Klickdruck: Kosten in € | 1,25 | 2,50 | 3,75 | 5,00 |
Mia hat nur diese vier Bestellmengen verglichen — die Klasse braucht aber deutlich mehr Fotos.
- Stelle für beide Anbieter eine Funktionsgleichung auf (\(x\): Anzahl der Fotos, \(y\): Kosten in Euro) und zeige mit den Werten aus M2, dass nur bei Klickdruck ein proportionaler Zusammenhang vorliegt.
- Bestimme durch Gleichsetzen, bei welcher Fotoanzahl beide Anbieter gleich viel kosten, und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
- Beurteile Mias Aussage, erkläre ihren Denkfehler und entscheide begründet, bei welchem Anbieter die Klasse die 80 Fotos bestellen soll.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Fotobox: \(y = 0{,}15\cdot x + 3\) (Versandpauschale als \(y\)-Achsenabschnitt)
Klickdruck: \(y = 0{,}25\cdot x\)
Klickdruck: \(\frac{2{,}50}{10} = 0{,}25\) und \(\frac{5{,}00}{20} = 0{,}25\). Der Quotient \(y:x\) ist immer 0,25 — der Zusammenhang ist proportional, der Graph eine Ursprungsgerade (\(b = 0\)).
Fotobox: \(\frac{4{,}50}{10} = 0{,}45\), aber \(\frac{6{,}00}{20} = 0{,}30\). Die Quotienten sind verschieden, also nicht proportional.
Der Zusammenhang bei Fotobox ist trotzdem linear: Je 5 Fotos kommen immer 0,75 € dazu. Er ist nur deshalb nicht proportional, weil die 3,00 € Versand schon bei null Fotos anfallen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(0{,}15x + 3 = 0{,}25x\)
Auf beiden Seiten \(-\,0{,}15x\): \(3 = 0{,}1x\)
Auf beiden Seiten \(:\,0{,}1\): \(x = 30\)
Einsetzen bei Klickdruck: \(y = 0{,}25\cdot 30 = 7{,}50\)
Probe bei Fotobox: \(y = 0{,}15\cdot 30 + 3 = 4{,}5 + 3 = 7{,}50\) — dasselbe \(y\).
Der Schnittpunkt ist \(S(30 \mid 7{,}50)\). Bei einer Bestellung von genau 30 Fotos zahlt die Klasse bei beiden Anbietern dasselbe, nämlich 7,50 €.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mias Aussage ist in beiden Teilen falsch.
Schon in M2 schrumpft der Vorsprung von Klickdruck: bei 5 Fotos 2,50 €, bei 10 Fotos 2,00 €, bei 15 Fotos 1,50 €, bei 20 Fotos 1,00 € — je 5 Fotos werden es 0,50 € weniger, der Vorsprung wird also kleiner statt größer.
Bei 30 Fotos ist er ganz aufgebraucht (Teilaufgabe b). Ab 31 Fotos ist Fotobox günstiger, zum Beispiel bei 50 Fotos: \(0{,}15\cdot 50 + 3 = 10{,}50\) gegenüber \(0{,}25\cdot 50 = 12{,}50\).
Denkfehler: Mia schließt von einem kleinen Ausschnitt der Tabelle auf alle Bestellmengen. Sie vergleicht nur die Startwerte und übersieht die Steigungen. Klickdruck wird je Foto um 0,25 € teurer, Fotobox nur um 0,15 € — die steilere Gerade holt die flachere zwangsläufig ein. Deshalb muss es einen Umschlagpunkt geben, und ein Preisvergleich gilt immer nur für einen Bereich, nie „bei jeder Menge“.
Für 80 Fotos: Fotobox \(0{,}15\cdot 80 + 3 = 15{,}00\), Klickdruck \(0{,}25\cdot 80 = 20{,}00\).
Die Klasse sollte die 80 Fotos bei Fotobox bestellen; sie zahlt dort 15,00 € statt 20,00 € und spart 5,00 €.