Übung — AFB III

Modell: A(t) = 30 − 2,5·t und B(t) = 18 − 1·t, jeweils in cm, t in Stunden. Beide Steigungen sind negativ, weil die Kerzen kürzer werden.

Rechnung: 30 − 2,5t = 18 − t → 12 = 1,5t → t = 8 h, Höhe = 10 cm. Der Schnittpunkt ist S(8 | 10).

Deutung: Vor t = 8 ist die dickere Kerze A noch höher, obwohl sie schneller abbrennt — sie hatte ja den größeren Startwert. Nach t = 8 ist B höher: Die größere Abbrandrate von A holt den Startvorsprung auf und überholt ihn. Der Schnittpunkt ist der „Wechselpunkt“ der Rangfolge.

Modellgrenze: A ist nach 30 : 2,5 = 12 h vollständig abgebrannt, B erst nach 18 h. Ab t = 12 beschreibt die Gerade A negative Höhen — das ist sachlich unmöglich. Sinnvoll ist das Modell also nur für 0 ≤ t ≤ 12.

a) Punktprobe als Gleichung: −5 = m·4 + 3. Beide Seiten −3: −8 = 4m, also m = −2. Die Gerade lautet y = −2x + 3. Probe: −2·4 + 3 = −8 + 3 = −5 ✓

b) −5 = 1,5·4 + b = 6 + b, also b = −11 und y = 1,5x − 11. Probe: 1,5·4 − 11 = 6 − 11 = −5 ✓

c) Begründung: Es gibt unendlich viele solche Geraden. Gibt man nämlich irgendeine Steigung m vor, so ist b durch die Gleichung −5 = m·4 + b eindeutig festgelegt: b = −5 − 4m. Zu jeder Steigung gehört also genau eine passende Gerade durch P — ein ganzes „Geradenbüschel“. Erst eine zweite Bedingung (ein zweiter Punkt oder eine vorgegebene Steigung) macht die Gerade eindeutig. Genau deshalb braucht man zum Aufstellen einer Geradengleichung immer zwei Informationen.

Gerade durch A und B: m = Δy : Δx = (1 − (−5)) : (1 − (−2)) = 6 : 3 = 2. Mit B(1|1): 1 = 2·1 + b → b = −1, also g: y = 2x − 1. Kontrolle mit A: 2·(−2) − 1 = −5 ✓

Punktprobe für C: g(4) = 2·4 − 1 = 7, C hat aber den y-Wert 8. Wegen 7 ≠ 8 liegt C nicht auf g.

Begründung: Durch die zwei Punkte A und B geht genau eine Gerade. Lägen alle drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden, so müsste diese mit g übereinstimmen — C müsste also die Gleichung von g erfüllen. Das tut C nicht, folglich liegen die drei Punkte nicht auf einer Geraden.

Zweiter Weg (schneller): Man vergleicht die Steigungen zweier Punktpaare. m_AB = 6 : 3 = 2, aber m_BC = (8 − 1) : (4 − 1) = 7 : 3 ≈ 2,33. Verschiedene Steigungen bei einem gemeinsamen Punkt B bedeuten: an B „knickt“ der Weg ab.

Richtige Rechnung: m = (−4 − 4) : (3 − (−1)) = −8 : 4 = −2. Einsetzen von P(−1|4): 4 = −2·(−1) + b = 2 + b → b = 2. Gerade: y = −2x + 2. Probe mit Q: −2·3 + 2 = −4 ✓

Jonas’ Fehler: Er hat im Zähler von P nach Q gerechnet (4 − (−4) — und dabei zusätzlich die y-Werte vertauscht), im Nenner aber die umgekehrte Reihenfolge benutzt. Dadurch verliert der Bruch sein Minuszeichen: Er erhält +2 statt −2. Der zweite Rechenschritt ist dann in sich richtig, aber er baut auf einem falschen m auf — ein Folgefehler.

Kontrolle, die den Fehler sofort zeigt: Den zweiten Punkt einsetzen. Mit Jonas’ Gleichung wäre y(3) = 2·3 + 6 = 12, tatsächlich hat Q aber den y-Wert −4. Auch eine grobe Skizze hätte gereicht: Von P nach Q geht es nach rechts und deutlich nach unten — die Gerade muss also fallen, m muss negativ sein.

Merksatz: Reihenfolge der Punkte im Zähler und im Nenner muss übereinstimmen; das Ergebnis immer am zweiten Punkt prüfen.

a) und b) m = (28 − 12) : 40 = 0,4, b = 12, also L(x) = 0,4x + 12. Deutung: b = 12 mm ist die Länge der unbelasteten Feder, m = 0,4 mm pro Gramm sagt: Jedes zusätzliche Gramm dehnt die Feder um 0,4 mm.

c) Prognose: L(50) = 0,4·50 + 12 = 32 mm. Weil 50 g außerhalb des Messbereichs (5 g bis 40 g) liegt, ist das eine Extrapolation — sie ist plausibel, aber unsicherer als ein Wert innerhalb der Messreihe.

d) Begründung: Die Messpunkte streuen nur wenig und ohne erkennbare Krümmung um eine gemeinsame Gerade: Zu gleichen Massezuwächsen gehören annähernd gleiche Längenzuwächse. Die Abweichungen erklären sich durch Messungenauigkeit (Ablesen auf halbe Millimeter, wackelnde Aufhängung), nicht durch einen anderen Zusammenhang. Eine Ausgleichsgerade mittelt diese Fehler aus: Sie verläuft so, dass die Punkte möglichst gleichmäßig ober- und unterhalb liegen. Deshalb ist das lineare Modell hier gerechtfertigt.

Grenze: Bei sehr großen Massen wird die Feder überdehnt; dann gilt der lineare Zusammenhang nicht mehr, und die Prognose wäre falsch.

Modelle: T(x) = 12x und M(x) = 4x + 90. Die Tageskarte hat den y-Achsenabschnitt 0 (wer nie klettert, zahlt nichts), die Mitgliedschaft startet bei 90 €, ist dafür pro Besuch billiger.

a) 12x = 4x + 90 → 8x = 90 → x = 11,25. Kosten dort: 12·11,25 = 135 €.

b) 11,25 Besuche gibt es nicht. Man prüft die Nachbarwerte: T(11) = 132 € < M(11) = 134 €, aber T(12) = 144 € > M(12) = 138 €. Also ist die Mitgliedschaft ab dem 12. Besuch günstiger. Wichtig: Hier wird aufgerundet — nicht kaufmännisch gerundet. Bei 11 Besuchen läge man mit der Mitgliedschaft noch 2 € im Minus.

c) Beurteilung: Wer höchstens etwa einmal im Monat klettert (bis 11 Besuche), fährt mit Tageskarten besser. Wer öfter kommt, spart mit der Mitgliedschaft — und zwar 8 € je zusätzlichem Besuch, weil die Differenz der Steigungen 12 − 4 = 8 beträgt. Bei 25 Besuchen sind das bereits 300 − 190 = 110 € Ersparnis. Nicht rein rechnerisch: Wer unsicher ist, ob er durchhält, trägt bei der Mitgliedschaft das Risiko, die 90 € umsonst gezahlt zu haben — auch das gehört zu einer ehrlichen Beurteilung.

Gegenbeispiel: y(2) = 10, y(4) = 16. Doppeltes x, aber y wächst nur auf das 1,6-fache — die Behauptung ist damit widerlegt.

Allgemeine Begründung: Verdoppelt man x, so wird aus y = m·x + b der Wert m·(2x) + b = 2·m·x + b. Das Doppelte des alten Wertes wäre dagegen 2·(m·x + b) = 2·m·x + 2b. Beide Terme unterscheiden sich genau um b: Der Summand b wird beim Einsetzen eben nicht mitverdoppelt, er kommt immer nur einmal dazu.

Wann stimmt die Aussage doch? Genau dann, wenn b = 0 ist — also bei proportionalen Funktionen y = m·x. Nur deren Graphen gehen durch den Ursprung, und nur dort gilt: doppeltes x → doppeltes y, dreifaches x → dreifaches y.

Was stattdessen immer gilt: Nicht das Verhältnis, sondern die Zunahme ist konstant. Geht man von x um 2 nach rechts, wächst y stets um 2·m — unabhängig davon, wo man startet. Mia verwechselt die Eigenschaft „proportional“ mit der allgemeineren Eigenschaft „linear“.

a) Startwert: Zwei Drittel von 4500 L sind 4500 : 3 · 2 = 3000 L. Das ist der Wert bei t = 0, also b.

b) Steigung: 90 L in einer Viertelstunde → 90 L in 15 min → 90 : 15 = 6 L pro Minute. Da der Wasserstand sinkt, ist m = −6 (Einheit: Liter pro Minute). Das Modell lautet W(t) = −6·t + 3000.

c) Nullstelle: „Leer“ heißt W(t) = 0: 0 = −6t + 3000 → 6t = 3000 → t = 500 min, das sind 8 Stunden und 20 Minuten.

Worauf es hier ankommt: Beide Parameter mussten erst erzeugt werden — b über einen Bruchteil, m über eine Einheitenumrechnung. Zwei typische Fallen: 4500 statt 3000 als Startwert nehmen (die Zisterne ist nicht voll) und 90 statt 6 als Steigung (dann wäre die Zeit in Viertelstunden gemessen, und die Antwort müsste 3000 : 90 ≈ 33,3 Viertelstunden lauten — dasselbe Ergebnis in anderer Einheit).

Modellgrenze: Ab t = 500 liefert die Gerade negative Wassermengen; sinnvoll ist das Modell nur für 0 ≤ t ≤ 500 und solange kein Regen nachfüllt.

Normalform herstellen: g: 2y = 6x − 8 | :2 → y = 3x − 4. k: −6x + 2y = −8 | +6x → 2y = 6x − 8 | :2 → y = 3x − 4. h ist bereits normiert: y = 3x + 5.

Vergleich: Alle drei haben die Steigung m = 3. g und k haben zusätzlich denselben y-Achsenabschnitt −4 → sie sind identisch: k ist nur eine umgeformte Schreibweise von g, beide beschreiben dieselbe Punktmenge. h hat dagegen b = 5 ≠ −4 → h ist zu beiden echt parallel.

Begründung: Gleiche Steigung bedeutet gleiche Richtung; die Geraden können sich dann nirgends schneiden, es sei denn, sie fallen ganz zusammen. Rechnerisch sieht man das am Gleichsetzen: 3x − 4 = 3x + 5 führt auf −4 = 5 — eine falsche Aussage, also kein einziger Schnittpunkt (parallel). Dagegen führt 3x − 4 = 3x − 4 auf 0 = 0 — eine immer wahre Aussage, also unendlich viele gemeinsame Punkte (identisch).

Merke: Der senkrechte Abstand von h zu g ist überall gleich; die Differenz der y-Achsenabschnitte beträgt 5 − (−4) = 9 Einheiten in y-Richtung. Und: Eine Gleichung kann in völlig anderer Gestalt dieselbe Gerade meinen — darum immer erst umformen, dann urteilen.

a) Hinweg (einsetzen): L(20) = 1,25·20 + 8 = 25 + 8 = 33 %.

b) Rückweg (Gleichung lösen): 70 = 1,25t + 8 → 62 = 1,25t → t = 49,6 min, also etwa 50 Minuten. Plausibilität: In 20 Minuten wurden 25 Prozentpunkte geladen, für 62 Prozentpunkte braucht es also gut das Zweieinhalbfache dieser Zeit ✓

c) Beurteilung: Rechnerisch liefert das Modell 100 = 1,25t + 8 → t = 92 : 1,25 = 73,6 min. Diese Zahl ist aber unzuverlässig. Erstens ist bekannt, dass Akkus im oberen Bereich (etwa ab 80 %) deutlich langsamer laden — die Ladekurve flacht ab und ist dort nicht mehr geradlinig. In Wirklichkeit dauert es also länger als 73,6 min. Zweitens gilt das Modell überhaupt nur bis 100 %: Für t = 100 lieferte die Gerade 133 % — ein Wert, den es nicht geben kann.

Fazit: Innerhalb des beobachteten Bereichs (Interpolation) ist die Vorhersage gut, außerhalb (Extrapolation) nur eine grobe Abschätzung. Ein sinnvoller Antwortsatz lautet: „Nach dem linearen Modell wären 100 % nach rund 74 Minuten erreicht; real dauert es länger, weil das Laden zum Schluss langsamer wird.“