Zurück zur ErklärungSteigung — Steigungsdreieck — ÄnderungsrateApplets, Beispiele und Merksätze noch einmal nachlesen.
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Übungsaufgaben — 30 Aufgaben von AFB I bis Mix
A1
Stimmt das über die Steigung?
AFB ISechs Aussagen zum Steigungsdreieck. Entscheide bei jeder, ob sie stimmt.
A2
Was gehört zum Steigungsdreieck?
AFB IWelche Aussagen beschreiben das Steigungsdreieck richtig? Es sind mehrere richtig.
Ort und Größe des Dreiecks sind frei wählbar — das Ergebnis Δy : Δx ändert sich dadurch nie.
A3
Die Fachbegriffe einsetzen
AFB IKlicke erst ein Wort in der Bank, dann die passende Lücke im Text. Mit Tab und Enter geht es genauso.
Die m misst, wie steil eine Gerade verläuft. Man bestimmt sie mit einem : Erst geht man ein Stück nach , das ist Δx, dann ein Stück nach , das ist Δy. In Sachaufgaben nennt man m die und schreibt eine Einheit dazu. Auf Verkehrsschildern steht dieselbe Zahl in .
Merksatz: erst nach rechts, dann nach oben — und dann Höhe durch Weite teilen.
A4
Die Steigung aus zwei Punkten
AFB IEine Gerade verläuft durch die Punkte (2 | 3) und (6 | 11). Wie groß ist ihre Steigung m?
Δx = 6 − 2 = 4 und Δy = 11 − 3 = 8, also m = 8 : 4 = 2.
A5
Das Dreieck ablesen
AFB IIm Bild ist ein Steigungsdreieck eingezeichnet. Lies die drei Größen ab.
Ansatz: Δx ist die Länge des waagerechten Schenkels, Δy die Länge des senkrechten.Warum hilft das? Beide Schenkel liegen genau auf Gitterlinien — du kannst die Kästchen abzählen.
Reihenfolge: Teile am Ende Δy durch Δx, nicht umgekehrt.Merksatz: Höhe durch Weite. Vertauscht käme hier 2 heraus statt 0,5.
Lösung: a) 6 − 2 = 4 · b) 4 − 2 = 2 · c) 2 : 4 = 0,5
Das Dreieck liegt zwischen (2 | 2) und (6 | 4)
A6
Begriffe und Erklärungen paaren
AFB IDecke immer zwei Karten auf, die zusammengehören.
Die Einheit einer Änderungsrate entsteht immer aus der Rechnung: y-Einheit geteilt durch x-Einheit.
A7
In die richtige Schublade
AFB ISortiere jede Gerade nach ihrer Steigung.
1positive Steigung
2negative Steigung
3Steigung null
Der vierte Fall fehlt hier absichtlich: die senkrechte Gerade. Sie passt in keinen der drei Körbe, weil sie überhaupt keine Steigung hat.
A8
Im Schema anklicken
AFB IKlicke den gesuchten Begriff im Schema an.
Δx und Δy sind nur Zwischenschritte — interessant ist immer ihr Quotient.
A9
Die Reihenfolge stimmt noch nicht
AFB ISo bestimmst du die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem. Bring die Schritte in die richtige Reihenfolge.
1
Zwei Punkte suchen, die die Gerade genau in einer Gitterecke trifft.
2
Vom linken Punkt aus waagerecht nach rechts gehen und Δx abzählen.
3
Von dort senkrecht bis zum rechten Punkt gehen und Δy abzählen.
4
Bei einem Weg nach unten das Minuszeichen vor Δy schreiben.
5
Den Quotienten m = Δy : Δx berechnen.
6
Zur Probe ein zweites, größeres Dreieck zeichnen und nachrechnen.
Schritt 6 ist die Kontrolle: Kommt beim zweiten Dreieck etwas anderes heraus, hast du dich verzählt.
A10
Rechenkette am Graphen
AFB IIEine Gerade verläuft durch die Punkte (2 | 1) und (6 | 7). Rechne Schritt für Schritt — jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
- Wie groß ist Δx?
- Wie groß ist Δy?
- Wie groß ist die Steigung m?
- Welchen y-Wert hat die Gerade bei x = 10?
Von x = 6 bis x = 10 sind es noch einmal 4 Schritte nach rechts, also 4 · 1,5 = 6 nach oben: 7 + 6 = 13.
A11
Kreuztabelle: welche Steigung passt?
AFB IIJede Zeile beschreibt den Weg von einem Punkt zu einem anderen. Setze in jeder Zeile ein Kreuz.
| Weg zwischen zwei Punkten | m = 0,5 | m = 2 | m = −1 |
|---|---|---|---|
| von (0 | 1) nach (4 | 3) | |||
| von (1 | 2) nach (3 | 6) | |||
| von (2 | 5) nach (6 | 1) | |||
| von (0 | 4) nach (2 | 8) | |||
| von (1 | 7) nach (5 | 3) | |||
| von (2 | 2) nach (8 | 5) |
Immer erst Δx und Δy bilden, dann teilen. Wer Δx und Δy vertauscht, landet in der ersten Zeile bei 2 statt bei 0,5.
A12
Eine fallende Gerade
AFB IIDie Gerade im Bild fällt. Bestimme das Steigungsdreieck von x = 0 bis x = 4 und daraus die Steigung.
Ansatz: Lies zuerst die beiden y-Werte ab: bei x = 0 und bei x = 4.Warum hilft das? Δy ist die Differenz „rechter y-Wert minus linker y-Wert“.
Vorzeichen: Es geht nach unten, also muss Δy negativ sein.Wer das Minuszeichen vergisst, erhält eine steigende statt einer fallenden Geraden.
Lösung: a) 4 − 0 = 4 · b) 2 − 8 = −6 · c) −6 : 4 = −1,5
Die Gerade fällt von (0 | 8) nach (4 | 2)
A13
Weg und Steigung verbinden
AFB IIVerbinde jeden Weg zwischen zwei Punkten mit der passenden Steigung.
Die dritte Zeile hat Δy = 0 — die Gerade verläuft waagerecht. Die vierte hat ein negatives Δy und damit eine negative Steigung.
A14
Steigend, fallend — oder beides?
AFB IIOrdne jede Aussage dem passenden Bereich zu.
1 nur bei steigenden Geraden
2 bei steigenden und fallenden
3 nur bei fallenden Geraden
Die Mitte ist groß: Das Verfahren ist immer dasselbe. Nur das Vorzeichen von Δy entscheidet, ob die Gerade steigt oder fällt.
A15
Fehlersuche im Merkheft
AFB IIAus dem Merkheft eines Mitschülers. Klicke genau die falschen Zeilen an.
Drei Fehler, drei richtige Zeilen. Zeile 2 und Zeile 4 sind die beiden häufigsten Stolperstellen in Klassenarbeiten.
A16
Ablauf durchspielen
AFB IIMia bestimmt die Steigung einer Geraden aus einem Diagramm. Entscheide bei jedem Schritt, wie es weitergeht.
Der ganze Weg: Gitterpunkte suchen → Δx und Δy abzählen → teilen → Einheit dazuschreiben.
A17
Steigung in Prozent
AFB IIEine Passstraße hat 12 % Steigung. Um wie viele Meter steigt sie auf 250 m waagerechter Entfernung? Gib nur die Zahl an.
12 % bedeutet m = 0,12. Also Δy = 0,12 · 250 m = 30 m.
A18
Den Bauplan zusammensetzen
AFB IISo sieht eine vollständige Lösung aus. Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen.
Die beiden Fallen: einmal das vergessene Minuszeichen, einmal der auf den Kopf gestellte Quotient.
A19
Die Kerze brennt ab
AFB IIEine Kerze wird angezündet. Alle Stunde wird ihre Höhe gemessen. Sie brennt gleichmäßig ab.
cm
cm/h
h
Ansatz: Vergleiche die Höhe bei 0 h mit der Höhe bei 3 h.Warum hilft das? Die Differenz ist genau das Δy für Δx = 3 Stunden.
Bei c): Die Kerze ist 20 cm hoch und verliert jede Stunde denselben Betrag.Teile die Gesamthöhe durch den Betrag der Änderungsrate.
Lösung: a) 14 − 20 = −6 · b) −6 : 3 = −2 · c) 20 : 2 = 10
Warum ist die Änderungsrate hier negativ, die Zeit bis zum Abbrennen aber positiv?
Die Änderungsrate beschreibt die Richtung: Die Höhe nimmt ab, deshalb −2 cm pro Stunde. Die Frage nach der Zeit fragt dagegen nach einer Anzahl von Stunden — und die kann nicht negativ sein. Man rechnet dort mit dem Betrag 2 cm pro Stunde.
Messwerte zur abbrennenden Kerze
A20
Entscheidungsbaum: welche Steigung?
AFB IIArbeite dich durch den Baum und schau, wo du herauskommst.
Der zweite Knoten kommt bewusst früh: Die senkrechte Gerade muss man aussortieren, bevor man überhaupt teilen darf.
A21
Wie steil ist das?
AFB IIOrdne jede Steigung auf der Skala von 1 (am flachsten) bis 5 (am steilsten) ein. Achte auf den Betrag, nicht auf das Vorzeichen.
1 = am flachsten5 = am steilsten
m = 0,2
m = −0,5
m = 1
m = −2
m = 4
Die Gerade mit m = −2 ist steiler als die mit m = 1 — sie fällt nur, statt zu steigen. Für die Steilheit zählt allein der Betrag.
A22
Kacheln bis zum Ziel
AFB IIEin Aufzug fährt in mehreren Etappen nach oben. Jede Kachel zeigt den Höhengewinn einer Etappe. Wähle Etappen so aus, dass sie zusammen genau 45 m ergeben.
0 m
Ziel: 45 m
Ein möglicher Weg: 21 m + 24 m = 45 m. Braucht der Aufzug dafür 9 Sekunden, so ist seine Änderungsrate 45 : 9 = 5 Meter pro Sekunde.
A23
Der Akku entlädt sich
AFB IIDer Ladestand eines Tablets wird stündlich abgelesen. Er sinkt gleichmäßig.
% pro h
%
h
Ansatz: Wie viel Prozent verschwinden von einer Messung zur nächsten? Das ist Δy für Δx = 1 Stunde.Warum hilft das? Bei Δx = 1 ist der Quotient gleich Δy — du kannst direkt ablesen.
Bei c): Von 100 % auf 20 % fehlen 80 Prozentpunkte.Teile diese 80 durch den Betrag der Änderungsrate.
Lösung: a) 92 − 100 = −8 · b) 100 − 5 · 8 = 60 · c) 80 : 8 = 10
Warum darf man dieses Modell nicht auf 20 Stunden verlängern?
Nach 12,5 Stunden wäre der Ladestand rechnerisch bei 0 %, danach negativ — und das gibt es nicht. Ein lineares Modell gilt immer nur in dem Bereich, in dem die Rate wirklich konstant bleibt. Echte Akkus entladen sich am Ende außerdem langsamer.
Messwerte zum Ladestand des Tablets
A24
Schätzen und begründen
AFB IIIA25
Aussagen prüfen — für Fortgeschrittene
AFB IIIDiese Aussagen sind kniffliger. Entscheide sorgfältig.
A26
Ein Gegenbeispiel bauen
AFB IIITimo behauptet: „Wenn ich das Steigungsdreieck größer zeichne, wird die Gerade steiler.“ Denk in Ruhe nach und beantworte beide Fragen selbst, bevor du die Lösungen aufklappst.
a) Hat Timo recht? Begründe deine Antwort mit Zahlen.
Nein. Nimm die Gerade durch (0 | 1) und (2 | 2). Das kleine Dreieck hat Δx = 2 und Δy = 1, also m = 0,5. Nimmt man stattdessen (0 | 1) und (8 | 5), so ist Δx = 8 und Δy = 4 — und 4 : 8 ist wieder 0,5. Das Dreieck ist viermal so groß, die Steigung genau dieselbe. Beim Vergrößern werden beide Schenkel mit derselben Zahl multipliziert, und beim Teilen kürzt sich das weg.
b) Woher kommt Timos Eindruck — und wann wäre er berechtigt?
Ein großes Dreieck sieht auf dem Papier eindrucksvoller aus, weil der senkrechte Schenkel länger ist. Timo schaut also nur auf Δy und vergisst Δx. Berechtigt wäre sein Eindruck nur, wenn man Δy vergrößert und Δx gleich lässt — dann gehört das Dreieck aber zu einer anderen Geraden. Genau das passiert auch, wenn jemand ein Diagramm mit gestauchter x-Achse zeichnet: Die Kurve wirkt dramatischer, obwohl sich die Zahlen nicht geändert haben.
A27
Welche Aussagen gelten immer?
AFB IIIEine Gerade hat die Steigung m = −0,5. Kreuze alle Aussagen an, die sicher gelten.
Die Steigung sagt nichts darüber, wo die Gerade liegt — nur, in welche Richtung sie verläuft. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist eine ganz andere Zahl; um die geht es im nächsten Unterkapitel.
A28
Zwei Geraden vergleichen
AFB IIIIm Koordinatensystem sind zwei Geraden gezeichnet: grün die steigende, rot die fallende. Beide treffen Gitterecken.
Ansatz: Bestimme für jede Gerade ein eigenes Steigungsdreieck — am besten von der y-Achse aus.Warum hilft das? Auf der y-Achse trifft jede der beiden Geraden eine Gitterecke.
Bei c): Der Schnittpunkt ist die Stelle, an der beide Geraden denselben y-Wert haben. Lies ihn im Bild ab.Kontrolle durch Rechnen: 2x + 1 = −x + 10 führt auf 3x = 9.
Lösung: a) von (0 | 1) nach (3 | 7): 6 : 3 = 2 · b) von (0 | 10) nach (3 | 7): −3 : 3 = −1 · c) x = 3
Welche der beiden Geraden ist steiler — und woran erkennt man das im Bild?
Die grüne. Ihr Betrag ist 2, der der roten nur 1. Im Bild erkennt man es daran, dass die grüne Gerade bei einem Schritt nach rechts zwei Kästchen überwindet, die rote nur eines. Das Vorzeichen spielt für die Steilheit keine Rolle — es sagt nur, ob es bergauf oder bergab geht.
Der Schnittpunkt ist violett markiert
A29
Gemischte Kette — Faktor und Steigung
MixHier trifft die Steigung auf die proportionalen Funktionen aus dem vorherigen Unterkapitel. Eine proportionale Funktion y = m · x geht durch den Ursprung und durch den Punkt (8 | 6).
- Wie groß ist Δx von (0 | 0) nach (8 | 6)?
- Wie groß ist Δy?
- Wie groß ist die Steigung m?
- Welchen y-Wert hat die Funktion bei x = 20?
Der Proportionalitätsfaktor und die Steigung sind bei einer Ursprungsgeraden dieselbe Zahl. Bei einer proportionalen Funktion kannst du m deshalb auch als 6 : 8 aus einem einzigen Wertepaar ablesen — das Steigungsdreieck beginnt dann im Ursprung.
A30
Trickaufgabe: das Straßenschild
MixAm Fuß eines Berges steht ein Schild mit „10 %“. Lena sagt: „Dann gewinne ich auf 2 km Fahrstrecke genau 200 m Höhe.“ Ihr Bruder Ben ergänzt: „Und weiter oben steht 20 % — das ist der doppelte Winkel, also 90 Grad insgesamt.“
a) Was stimmt an Lenas Rechnung nicht ganz?
Die 10 % beziehen sich auf die waagerechte Entfernung, nicht auf die Länge der Straße. Wenn Lena 2 km Fahrstrecke zurücklegt, ist die waagerechte Entfernung etwas kleiner — sie gewinnt also knapp weniger als 200 m. Genau wären es etwa 199 m. Der Fehler ist klein, aber das Prinzip ist wichtig: Im Steigungsdreieck ist Δx der waagerechte Schenkel, nicht die schräge Straße. Wären es 100 % Steigung, würde der Unterschied riesig: 2 km Fahrstrecke brächten dann nur rund 1,41 km Höhe.
b) Warum ist Bens Aussage über den Winkel falsch?
Die Steigung ist kein Winkelmaß. 100 % entsprechen 45 Grad, aber 200 % entsprechen nicht 90 Grad — ein Winkel von 90 Grad wäre eine senkrechte Gerade, und die hat überhaupt keine Steigung, weil Δx = 0 wäre. Prozentzahlen und Winkel wachsen nicht im gleichen Takt: 10 % sind rund 5,7 Grad, 20 % rund 11,3 Grad — also nicht ganz das Doppelte. Merke: m ist ein Verhältnis zweier Längen.
c) Wie viel Höhe gewinnt man bei 10 % auf 2 km waagerechter Entfernung?
2 km sind 2000 m. Mit m = 0,1 ergibt das 0,1 · 2000 m = 200 m. So gerechnet stimmt Lenas Zahl genau — nur ihre Begründung war ungenau.