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TextaufgabenSteigung — Steigungsdreieck — Änderungsrate

Zwei Sachaufgaben mit Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont — vom Steigungsdreieck am Wanderweg bis zur brennenden Kerze.

1

Der Wanderweg zur Berghütte

AFB I

Ein Wanderweg führt vom Parkplatz auf 60 m Höhe geradlinig zur Berghütte. Im Höhenprofil (Material M1) ist der Weg als Gerade eingetragen: waagerecht die zurückgelegte Entfernung in Kilometern, senkrecht die Höhe über dem Meeresspiegel in Metern. Zwischen den Punkten A und B ist ein Steigungsdreieck eingezeichnet.

Auf einer Wandertafel steht, der Weg steige „durchschnittlich 40 Höhenmeter pro Kilometer“ an.

M1Höhenprofil des Wanderwegs zur Berghütte
0123456050100150200250300waagerechte Entfernung in kmHöhe über NN in mΔx = 3 kmΔy = 120 mABWanderweg

Waagerecht die Entfernung in Kilometern, senkrecht die Höhe in Metern — die beiden Achsen tragen verschiedene Einheiten.

  1. Lies \(\Delta x\) und \(\Delta y\) des eingezeichneten Steigungsdreiecks ab und gib beide Werte mit Einheit an.
  2. Berechne aus dem Steigungsdreieck die Steigung des Weges in Höhenmetern je Kilometer.
  3. Prüfe mit einem zweiten Steigungsdreieck deiner Wahl, ob die Angabe auf der Wandertafel stimmt.
Hinweis zu Aufgabe a)
\(\Delta x\) ist die waagerechte Kathete des Dreiecks, \(\Delta y\) die senkrechte. Lies jede Länge an der Achse ab, zu der sie gehört, und schreibe die passende Einheit dazu.„Gib an“ verlangt nur das Ergebnis — hier zwei Zahlen mit Einheit, keine Rechnung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Das Dreieck reicht waagerecht von \(x=1\) bis \(x=4\) und senkrecht von \(y=100\) bis \(y=220\).

\(\Delta x = 3\ \text{km}\) und \(\Delta y = 120\ \text{m}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Die Steigung ist der Quotient \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Achte darauf, dass die Einheit des Ergebnisses aus beiden Einheiten zusammengesetzt ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{120\ \text{m}}{3\ \text{km}}=40\ \frac{\text{m}}{\text{km}}\)

Der Weg steigt also je Kilometer waagerechter Entfernung um 40 m an.

Hinweis zu Aufgabe c)
Nimm zwei bequem ablesbare Punkte der Geraden, zum Beispiel den Start und die Hütte. Vergleiche das Ergebnis mit dem aus Teilaufgabe b).„Prüfen“ heißt: die Behauptung an deinen eigenen Zahlen messen und klar sagen, ob sie stimmt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zweites Dreieck vom Parkplatz bis zur Hütte: \(\Delta x = 6\ \text{km}\), \(\Delta y = 300\ \text{m} - 60\ \text{m} = 240\ \text{m}\).

\(m=\frac{240\ \text{m}}{6\ \text{km}}=40\ \frac{\text{m}}{\text{km}}\)

Beide Dreiecke liefern denselben Wert. Die Angabe auf der Wandertafel stimmt. Das war zu erwarten: Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich groß, deshalb darf man das Steigungsdreieck frei wählen.

2

Wie lange brennt die Kerze?

AFB III

Für ein Physikprotokoll misst Leyla stündlich die Höhe einer brennenden Kerze. Ihre Messwerte und der zugehörige Graph stehen in Material M2.

Ihr Mitschüler Jonas schaut auf die Tabelle und sagt: „Die Kerze war am Anfang 24 cm hoch und verliert 3 cm pro Stunde. Nach 24 Stunden ist sie also gerade aufgebraucht.“

M2Messwerte und Graph der abbrennenden Kerze
Brenndauer \(t\) in h01234
Höhe \(h\) der Kerze in cm2421181512
01234567804812162024Brenndauer in hHöhe der Kerze in cmΔt = 1 hΔh = −3 cmh(t)

Die Messpunkte liegen alle auf einer Geraden — die Höhe nimmt gleichmäßig ab.

  1. Bestimme aus zwei Messwerten die Änderungsrate der Kerzenhöhe und deute ihr Vorzeichen im Sachzusammenhang.
  2. Begründe mithilfe der Tabelle, dass die Höhe gleichmäßig abnimmt, und stelle eine Gleichung für die Höhe \(h\) nach \(t\) Stunden auf.
  3. Beurteile Jonas’ Aussage. Berechne dazu, wann die Kerze vollständig abgebrannt ist, und erkläre, worin sein Denkfehler besteht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Wähle zwei Zeilen der Tabelle, zum Beispiel \(t=1\) und \(t=3\). Die Änderungsrate ist \(\frac{\Delta h}{\Delta t}\); überlege beim Vorzeichen, ob die Höhe größer oder kleiner wird.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Von \(t=1\) bis \(t=3\): \(\Delta t = 2\ \text{h}\), \(\Delta h = 15\ \text{cm} - 21\ \text{cm} = -6\ \text{cm}\).

\(m=\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{-6\ \text{cm}}{2\ \text{h}}=-3\ \frac{\text{cm}}{\text{h}}\)

Das negative Vorzeichen bedeutet: Die Kerze wird kürzer. Pro Stunde nimmt ihre Höhe um 3 cm ab.

Hinweis zu Aufgabe b)
Prüfe, ob bei jedem Schritt von einer Stunde immer derselbe Betrag verschwindet. Für die Gleichung brauchst du den Startwert bei \(t=0\) und die Änderungsrate aus Teilaufgabe a).Eine Begründung nennt die Rechnung und den Schluss, den man daraus zieht.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Von Zeile zu Zeile: \(24 \to 21 \to 18 \to 15 \to 12\). Bei jedem Zeitschritt von einer Stunde verschwinden genau 3 cm. Weil die Änderung immer gleich groß ist, liegen alle Punkte auf einer Geraden — die Abnahme ist gleichmäßig.

Startwert bei \(t=0\) ist \(h=24\ \text{cm}\), die Änderungsrate ist \(-3\ \frac{\text{cm}}{\text{h}}\):

\(h(t) = 24 - 3\cdot t\)  (\(h\) in cm, \(t\) in h)

Hinweis zu Aufgabe c)
Die Kerze ist abgebrannt, wenn \(h=0\) gilt. Setze das in deine Gleichung ein. Vergleiche dein Ergebnis mit Jonas’ Zahl und überlege, welche Rechnung er stattdessen ausgeführt hat.„Beurteile“ verlangt ein klares Urteil mit fachlicher Begründung, nicht nur ein „stimmt nicht“.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bedingung \(h=0\):

\(0 = 24 - 3t \;\Rightarrow\; 3t = 24 \;\Rightarrow\; t = 8\)

Die Kerze ist nach 8 Stunden abgebrannt, nicht nach 24. Auch der Graph in M2 zeigt die Nullstelle bei \(t=8\).

Jonas’ Denkfehler: Er hat die Anfangshöhe 24 cm einfach als Stundenzahl gelesen, statt sie durch die Änderungsrate zu teilen. Richtig ist \(24\ \text{cm} : 3\ \frac{\text{cm}}{\text{h}} = 8\ \text{h}\). Die Zahl 24 steht für eine Länge, nicht für eine Zeit — die Einheiten hätten den Fehler sofort gezeigt.