Zurück zur ErklärungNullstellen — Lösen linearer GleichungenApplets, Beispiele und Merksätze noch einmal nachlesen.
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Übungsaufgaben — 30 Aufgaben von AFB I bis Mix
A1
Stimmt das über Nullstellen?
AFB ISechs Aussagen rund um Nullstellen. Entscheide bei jeder, ob sie stimmt.
A2
Was gilt für f(x) = 3x − 12?
AFB IWelche Aussagen über die Funktion f(x) = 3x − 12 stimmen? Es sind mehrere richtig.
Nullstelle: erst 12 addieren, dann durch 3 teilen. Der y-Achsenabschnitt hat damit nichts zu tun.
A3
Die Fachbegriffe einsetzen
AFB IKlicke erst ein Wort in der Bank, dann die passende Lücke im Text. Mit Tab und Enter geht es genauso.
Eine ist eine Zahl x, für die der Funktionswert wird. Der Graph schneidet dort die . Zum Ausrechnen setzt man den Term gleich null und formt um. Jeder Schritt, den man auf beiden Seiten ausführt, heißt . Welcher Schritt nötig ist, verrät die : Gegen + 3 hilft − 3. Zum Schluss macht man die und setzt das Ergebnis wieder ein.
Sechs Begriffe, sechs Lücken — jedes Wort wird genau einmal gebraucht.
A4
Nullstelle berechnen
AFB IBerechne die Nullstelle von f(x) = 5x − 20. Gib nur die Zahl ein.
Erst 20 addieren, dann durch 5 teilen: x = 20 : 5.
A5
Wie viele Nullstellen?
AFB ISortiere die sechs Funktionen danach, wie viele Nullstellen sie haben. Erst eine Karte anklicken, dann den Korb — mit den Zifferntasten geht es auch.
1keine Nullstelle
2genau eine Nullstelle
3unendlich viele
Entscheidend ist m: Nur bei m ≠ 0 gibt es genau eine Nullstelle.
A6
Funktion und Nullstelle als Paar
AFB IFinde die Paare: Jede Funktion gehört zu genau einer Nullstelle. Zwei Karten anklicken — passen sie, bleiben sie offen.
Rechne im Kopf: Zahl ohne x auf die andere Seite, dann durch die Zahl vor dem x teilen.
A7
Den Rechenweg anklicken
AFB IDer Rechenweg zu 2x − 6 = 0 steht als Kette da. Beantworte jede Frage, indem du den passenden Kasten anklickst.
Von links nach rechts: Gleichung, Umformung, Gleichung, Umformung, Ergebnis.
A8
Die Reihenfolge des Rechenwegs
AFB IBringe die fünf Schritte zur Nullstelle von f(x) = 4x − 12 in die richtige Reihenfolge.
1
Funktionsterm gleich null setzen: 4x − 12 = 0
2
Auf beiden Seiten 12 addieren: 4x = 12
3
Auf beiden Seiten durch 4 teilen: x = 3
4
Probe: 4 · 3 − 12 = 0 ✓
5
Antwort: Die Nullstelle ist x = 3, der Punkt ist N(3 | 0).
Beim Auflösen gilt die umgekehrte Reihenfolge: erst Strich-, dann Punktrechnung rückgängig machen.
A9
Nullstelle am Graphen ablesen
AFB IIm Bild ist der Graph einer linearen Funktion gezeichnet. Lies die gefragten Werte direkt ab — gerechnet wird hier noch nicht.
Wo suchen?: Die Nullstelle liegt dort, wo die Gerade die waagerechte Achse kreuzt. Der y-Achsenabschnitt liegt auf der senkrechten Achse.Warum hilft das? So verwechselst du die beiden Zahlen nicht.
Achsen zählen: Gehe bei c) auf der x-Achse bis zur 6, dann senkrecht nach oben bis zur Geraden und von dort waagerecht zur y-Achse.Ein Kästchen entspricht hier genau einer Einheit.
Lösung: a) x = 4 · b) b = −2 · c) y = 1. Die Funktionsgleichung lautet y = 0,5x − 2.
Drei Punkte der Geraden sind farbig markiert
A10
Wie viele Nullstellen hat die Funktion?
AFB IISetze in jeder Zeile genau ein Kreuz. Achte besonders auf die Fälle mit m = 0.
| Funktion | keine | genau eine | unendlich viele |
|---|---|---|---|
| y = 2x − 6 | |||
| y = 7 | |||
| y = 0 | |||
| y = −3x | |||
| y = −4 | |||
| y = 0 · x + 0 |
Steht kein x mehr in der Gleichung, entscheidet allein b: Ist b ≠ 0, gibt es keine Lösung; ist b = 0, passt jede Zahl.
A11
Funktion und Nullstelle verbinden
AFB IIVerbinde jede Funktion mit ihrer Nullstelle. Links anklicken, dann rechts — eine falsche Linie löst du durch erneutes Anklicken.
Sechs Verbindungen. Vorsicht bei den Vorzeichen: x = −b : m.
A12
Wann ist das Konto leer?
AFB IILenas Konto hat 120 €. Sie gibt jeden Tag 15 € aus. Arbeite dich Zeile für Zeile durch — jede Antwort schaltet die nächste frei.
- Wie lautet der Startwert b in y = m · x + b? €
- Wie lautet die Steigung m (Änderung pro Tag)? €
- Löse −15 · x + 120 = 0: x = 120 : 15 = ? Tage
- Wie hoch ist der Kontostand nach 5 Tagen? €
Achte auf das Vorzeichen von m: Das Konto wird kleiner, also ist m negativ.
A13
Die fehlende Steigung
AFB IIDie Gerade y = m · x + 9 hat die Nullstelle x = 3. Wie groß ist m?
Setze x = 3 und y = 0 ein: m · 3 + 9 = 0. Dann nach m auflösen.
A14
Den Rechenweg zusammenbauen
AFB IIBaue den vollständigen Lösungsweg für 2x + 6 = 0 auf. Klicke die Bausteine in der richtigen Reihenfolge an — drei Teile bleiben übrig.
Die übrigen Bausteine gehören zur Gleichung 2x − 6 = 0.
A15
Wertetabelle und Nullstelle
AFB IIZur Funktion y = −2x + 5 gehört die abgebildete Tabelle. Ergänze die fehlenden Werte und bestimme die Nullstelle rechnerisch.
Einsetzen: Setze den x-Wert ein und rechne zuerst −2 · x, dann + 5.Warum hilft das? Punktrechnung geht vor Strichrechnung — das Minus gehört zur 2.
Zwischen zwei Zeilen: In der Tabelle wechselt y zwischen x = 2 und x = 3 das Vorzeichen. Die Nullstelle muss also dazwischen liegen.Genauer wird es nur durch Rechnen: −2x + 5 = 0.
Lösung: a) −1 · b) −3 · c) −2x = −5, also x = 2,5.
Die letzten beiden Spalten fehlen
A16
Vier Rechnungen — zwei Fehler
AFB IIIn zwei der fünf Zeilen steckt ein Fehler. Klicke genau diese Zeilen an.
Die Probe verrät jeden Fehler: Setz das Ergebnis ein und prüfe, ob wirklich 0 herauskommt.
A17
Schritt für Schritt zur Nullstelle
AFB IIDu löst die Gleichung 4x − 10 = 2. Wähle in jeder Szene den nächsten sinnvollen Schritt.
Drei Szenen. Der Ablauf ist bei jeder linearen Gleichung derselbe.
A18
Nullstelle oder y-Achsenabschnitt?
AFB IIOrdne jede Aussage dem passenden Bereich zu. Erst die Aussage anklicken, dann den Bereich — mit den Tasten 1 bis 3 geht es auch.
1 Nullstelle
2 y-Achsenabschnitt
3 gilt für beide
Faustregel: Bei der Nullstelle setzt du y null, beim y-Achsenabschnitt setzt du x null.
A19
Nullstelle einschätzen
AFB IIJede Funktion hat eine Nullstelle zwischen 1 und 5. Stelle für jede Zeile die richtige Zahl ein.
Nullstelle 1Nullstelle 5
f(x) = 2x − 4
f(x) = x − 5
f(x) = 3x − 3
f(x) = −x + 4
f(x) = 0,5x − 1,5
Rechne jeweils x = −b : m — alle Ergebnisse sind ganze Zahlen.
A20
Das Konto genau leerräumen
AFB IIAuf dem Konto liegen 120 €. Wähle Ausgaben aus, die zusammen genau 120 € ergeben — dann ist der Kontostand null.
0 €
Ziel: 120 €
Es gibt mehrere Lösungen. Genau bei 120 € ist die Nullstelle erreicht.
A21
Entscheidungsbaum: y = 4
AFB IIUntersuche die Funktion y = 4. Beantworte die Fragen mit Ja oder Nein und finde heraus, wie viele Nullstellen sie hat.
Bei y = 4 steht kein x in der Gleichung, und b ist nicht null.
A22
Wann ist der Tank leer?
AFB IIA23
Die Kerze brennt ab
AFB IIEine Kerze ist zu Beginn 24 cm hoch und wird pro Stunde 3 cm kürzer. Ihre Höhe nach x Stunden ist y = −3 · x + 24.
Einsetzen oder auflösen: Bei a) ist x gegeben — einsetzen. Bei b) und c) ist y gegeben — nach x auflösen.Warum hilft das? So merkst du sofort, in welche Richtung gerechnet wird.
Abgebrannt heißt null: „Abgebrannt“ bedeutet Höhe y = 0. Das ist genau die Nullstelle.Löse −3x + 24 = 0 nach x auf.
Lösung: a) −3 · 5 + 24 = 9 cm · b) x = 24 : 3 = 8 h · c) −3x = −18, also x = 6 h.
Die Höhe nimmt gleichmäßig ab
A24
Den Startwert bestimmen
AFB IIIFür welchen Wert von b hat die Funktion y = 2,5 · x + b die Nullstelle x = −4?
Setze x = −4 und y = 0 ein: 2,5 · (−4) + b = 0.
A25
Break-even am Graphen
AFB IIIDer Schulkiosk backt Waffeln. Die Kosten betragen 60 € Grundkosten plus 0,50 € je Waffel, der Verkaufspreis liegt bei 2,00 € je Waffel. Im Bild sind Kosten und Einnahmen eingezeichnet.
Gewinnfunktion aufstellen: Gewinn = Einnahmen − Kosten, also G(x) = 2x − (0,5x + 60).Warum hilft das? Der Break-even-Punkt ist genau die Nullstelle von G.
Zusammenfassen: 2x − 0,5x = 1,5x, also G(x) = 1,5x − 60.Der Faktor 1,5 ist der Gewinn je Waffel.
Lösung: a) 1,5x = 60, also x = 40 · b) 1,50 € · c) G(100) = 150 − 60 = 90 €.
Links vom Schnittpunkt liegen die Kosten über den Einnahmen
A26
Was folgt daraus?
AFB IIIEine lineare Funktion hat die Nullstelle x = −2 und den y-Achsenabschnitt b = 6. Welche Aussagen stimmen?
Aus 0 = m · (−2) + 6 folgt 2m = 6, also m = 3.
A27
Ab wann lohnt sich der Kiosk?
AFB IIIDer Kiosk hat 45 € feste Kosten. Jede Waffel kostet 0,75 € in der Herstellung und wird für 2,25 € verkauft. Rechne dich Zeile für Zeile zum Break-even-Punkt durch.
- Gewinn je Waffel: 2.25 − 0.75 = ? €
- Die Gewinnfunktion lautet G(x) = 1.5 · x − ? €
- Nullstelle von G: x = 45 : 1.5 = ? Waffeln
- Wie hoch ist der Gewinn bei 50 Waffeln? €
Bitte den Punkt als Dezimaltrennzeichen verwenden: 1.5 statt 1,5.
A28
Begründen und widerlegen
AFB IIIDrei Behauptungen über Nullstellen. Begründe jeweils selbst, bevor du aufklappst.
a) Kann eine lineare Funktion genau zwei Nullstellen haben?
Nein. Ist m ≠ 0, liefert x = −b : m genau eine Zahl — eine Division hat nie zwei Ergebnisse. Ist m = 0, gibt es entweder gar keine Nullstelle (b ≠ 0) oder unendlich viele (b = 0). Genau zwei ist also unmöglich. Anschaulich: Eine Gerade kann eine andere Gerade höchstens einmal kreuzen — oder sie fällt mit ihr zusammen.
b) Wann sind Nullstelle und y-Achsenabschnitt dieselbe Zahl?
Nur wenn beide null sind. Ist b = 0, verläuft die Gerade durch den Ursprung, und die Nullstelle ist x = 0 : m = 0. Wäre b ≠ 0, so müsste −b : m = b gelten, also −b = b · m — das ist zwar für m = −1 erfüllbar, dann sind aber Nullstelle und y-Achsenabschnitt trotzdem verschiedene Punkte: N(b | 0) und S(0 | b). Nur im Ursprung fallen sie zusammen.
c) Zwei Geraden haben dieselbe Nullstelle. Was weißt du über sie?
Sie schneiden sich in diesem Punkt auf der x-Achse. Gleiche Nullstelle bedeutet aber nicht gleiche Gerade: y = 2x − 4 und y = −x + 2 haben beide die Nullstelle x = 2, verlaufen aber ganz verschieden. Parallel können sie nicht sein — parallele Geraden mit einem gemeinsamen Punkt sind identisch.
A29
Alles zusammen: von zwei Punkten zur Nullstelle
MixEine Gerade schneidet die y-Achse bei −6 und geht durch den Punkt P(4 | 2). Bestimme Schritt für Schritt ihre Nullstelle.
- Δy von S(0 | −6) nach P(4 | 2): 2 − (−6) = ?
- Steigung m = 8 : 4 = ?
- Nullstelle: 2 · x − 6 = 0, also x = 6 : 2 = ?
- Probe: 2 · 3 − 6 = ?
Hier stecken drei Kapitel drin: das Steigungsdreieck, der y-Achsenabschnitt und die Nullstelle.
A30
Trickaufgabe: drei Behauptungen von Mira
MixMira hat sich drei Dinge gemerkt — und alle drei sind schief. Finde jeweils heraus, was genau nicht stimmt.
a) „Bei y = −2x + 8 ist die Nullstelle x = −4, weil −8 : 2 = −4.“
Mira hat das Vorzeichen von m unterschlagen. Richtig ist x = −b : m = −8 : (−2) = 4. Die Probe entlarvt den Fehler sofort: −2 · (−4) + 8 = 16, nicht 0 — während −2 · 4 + 8 = 0 stimmt.
b) „3x = 12 löse ich, indem ich links durch 3 teile: x = 12.“
Sie hat nur eine Seite umgeformt — die Waage kippt. Erlaubt ist nur, beide Seiten durch 3 zu teilen: 3x : 3 = 12 : 3, also x = 4. Wer die Umformung hinter einen senkrechten Strich schreibt ( | : 3 ), sieht selbst, dass sie für die ganze Zeile gilt.
c) „y = 5 hat die Nullstelle x = 5.“
Nein. Bei y = 5 ist m = 0: Der Graph ist eine waagerechte Gerade in der Höhe 5 und trifft die x-Achse nie. Die Gleichung 0 · x + 5 = 0 wird zu 5 = 0 — das ist falsch, also gibt es keine Lösung. Mira verwechselt die Funktion y = 5 mit der senkrechten Geraden x = 5, und die ist gar kein Funktionsgraph.