Die Regentonne im Schrebergarten
AFB IIFamilie Kern sammelt Regenwasser in einer Tonne im Schrebergarten. Nach dem letzten Regen war die Tonne mit 96 Litern gefüllt. Seitdem hat es nicht mehr geregnet, und jeden Tag wird dieselbe Menge zum Gießen entnommen. Material M1 zeigt die gemessenen Wassermengen und den zugehörigen Graphen.
Die Wassermenge \(V\) in Litern nach \(t\) Tagen lässt sich durch eine lineare Funktion beschreiben. Herr Kern möchte wissen, wann die Tonne leer ist.
| Zeit \(t\) in Tagen | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Wassermenge \(V\) in Litern | 96 | 80 | 64 | 48 | 32 |
Alle Messpunkte liegen auf einer Geraden — pro Tag verschwindet immer dieselbe Menge. Dort, wo die Gerade die waagerechte Achse trifft, ist die Tonne leer.
- Lies aus Material M1 ab, wie viel Wasser zu Beginn in der Tonne war, und gib an, wie viele Liter pro Tag entnommen werden.
- Stelle eine Gleichung auf, mit der sich der Zeitpunkt bestimmen lässt, zu dem die Tonne leer ist, und löse sie durch Äquivalenzumformungen.
- Nach einem kräftigen Regenschauer ist die Tonne wieder bis zum Rand mit 120 Litern gefüllt; pro Tag wird weiterhin gleich viel entnommen. Berechne, nach wie vielen Tagen sie dann leer ist, und vergleiche das Ergebnis mit Teilaufgabe b).
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Bei \(t=0\) liegt der Punkt des Graphen auf der Höhe 96: Die Tonne enthielt zu Beginn \(96\ \text{L}\).
Von \(t=0\) bis \(t=2\) sinkt die Menge von \(96\ \text{L}\) auf \(80\ \text{L}\), also um \(16\ \text{L}\) in 2 Tagen:
\(16\ \text{L} : 2\ \text{Tage} = 8\ \frac{\text{L}}{\text{Tag}}\)
Zu Beginn waren 96 Liter in der Tonne, und es werden 8 Liter pro Tag entnommen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Wassermenge nach \(t\) Tagen: \(V(t) = 96 - 8\cdot t\) (\(V\) in L, \(t\) in Tagen).
Die Tonne ist leer, wenn \(V=0\) gilt. Das ergibt die lineare Gleichung:
\(96 - 8t = 0\)
\(96 = 8t\) \(| +8t\)
\(12 = t\) \(| :8\)
Probe: \(V(12) = 96 - 8\cdot 12 = 96 - 96 = 0\) ✓ Also \(L=\{12\}\).
Nach 12 Tagen ohne Regen ist die Regentonne leer.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Jetzt ist der Startwert \(120\ \text{L}\), die Entnahme bleibt \(8\ \frac{\text{L}}{\text{Tag}}\):
\(120 - 8t = 0\)
\(120 = 8t\) \(| +8t\)
\(15 = t\) \(| :8\)
Probe: \(120 - 8\cdot 15 = 120 - 120 = 0\) ✓
Vergleich mit b): \(15 - 12 = 3\). Das Wasser reicht 3 Tage länger. Die tägliche Entnahme und damit die Steigung der Geraden ist gleich geblieben, nur der Startwert ist um \(24\ \text{L}\) gestiegen. Die Gerade wird deshalb parallel nach oben verschoben, und die Nullstelle wandert um \(24\ \text{L} : 8\ \frac{\text{L}}{\text{Tag}} = 3\ \text{Tage}\) nach rechts.
Nach dem Regenschauer reicht das Wasser 15 Tage, also 3 Tage länger als vorher.
Ab wann lohnt sich der Beutelverkauf?
AFB IIIDie Klasse 8b bedruckt für das Schulfest Stoffbeutel und verkauft sie am eigenen Stand. Für Siebdruckrahmen und Farbe hat die Klasse einmalig 108 € ausgegeben. Von jedem verkauften Beutel bleiben ihr nach Abzug des Stoffbeutels 4,50 € übrig. Material M2 zeigt den Gewinn in Abhängigkeit von der Anzahl der verkauften Beutel.
Tim schaut auf die Zahlen und sagt: „Für die Nullstelle setzt man doch null ein. Ich habe für \(x\) die Zahl 0 eingesetzt und −108 herausbekommen. Die Nullstelle ist also −108 €, und ab 108 verkauften Beuteln machen wir Gewinn.“
| Verkaufte Beutel \(x\) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| Gewinn \(G\) in € | −108 | −63 | −18 | 27 | 72 |
Links von der Nulllinie macht die Klasse Verlust, rechts davon Gewinn. Die Nullstelle trennt beide Bereiche.
- Stelle eine Gleichung für den Gewinn \(G\) bei \(x\) verkauften Beuteln auf und berechne den Gewinn bei 30 verkauften Beuteln.
- Bestimme die Nullstelle der Gewinnfunktion durch Äquivalenzumformungen und deute sie im Sachzusammenhang.
- Beurteile Tims Aussage und erkläre, worin sein Denkfehler besteht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Feste Kosten: \(108\ \text{€}\); je verkauftem Beutel kommen \(4{,}50\ \text{€}\) hinzu.
\(G(x) = 4{,}5\cdot x - 108\) (\(G\) in €, \(x\) Anzahl der Beutel)
\(G(30) = 4{,}5\cdot 30 - 108 = 135 - 108 = 27\)
Bei 30 verkauften Beuteln beträgt der Gewinn 27,00 € — derselbe Wert steht in der Tabelle in M2.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Bedingung für die Nullstelle: \(G(x)=0\).
\(4{,}5x - 108 = 0\)
\(4{,}5x = 108\) \(| +108\)
\(x = 108 : 4{,}5 = 24\) \(| :4{,}5\)
Probe: \(4{,}5\cdot 24 - 108 = 108 - 108 = 0\) ✓ Also \(L=\{24\}\), der Punkt ist \(N(24 \mid 0)\).
Bei genau 24 verkauften Beuteln ist der Gewinn null: Die Klasse hat ihre Kosten gerade wieder hereingeholt. Ab dem 25. Beutel verdient sie zum ersten Mal etwas.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Tims Aussage ist falsch. Die Nullstelle liegt bei \(x=24\), also bei 24 verkauften Beuteln, nicht bei −108 und auch nicht bei 108 Beuteln.
Sein Denkfehler: Er hat \(x=0\) eingesetzt, statt den Funktionsterm gleich null zu setzen. Gefragt ist aber \(G(x)=0\). Der Wert \(G(0)=-108\) ist der Startwert der Geraden auf der senkrechten Achse — er sagt nur, dass die Klasse vor dem ersten Verkauf 108 € im Minus ist.
Schon die Einheit entlarvt den Fehler: Eine Nullstelle ist eine Stelle auf der waagerechten Achse, also eine Stückzahl. Ein Geldbetrag in Euro kann dort gar nicht stehen.
Auch seine 108 Beutel stimmen nicht. Sie wären nur richtig, wenn jeder Beutel genau 1 € einbrächte. Man muss die festen Kosten durch den Betrag je Beutel teilen: \(108\ \text{€} : 4{,}50\ \frac{\text{€}}{\text{Beutel}} = 24\ \text{Beutel}\).