Wissen und Reproduzieren
25 PunkteSetze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und rechne aus. Gib nur das Ergebnis ein — Komma oder Punkt sind beide erlaubt.
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a) f(4) = 3 · 4 + 2 = 12 + 2 = 14
b) f(3) = −2 · 3 + 7 = −6 + 7 = 1
c) f(10) = 0,5 · 10 − 4 = 5 − 4 = 1
d) f(8) = −0,25 · 8 + 5 = −2 + 5 = 3
e) f(2,5) = 4 · 2,5 = 10
f) f(15) = −15 + 12 = −3 — das Minuszeichen gehört mit zum Ergebnis.
Wähle zu jedem Begriff den passenden Rechenweg aus. Achtung: Es stehen mehr Möglichkeiten zur Auswahl, als du brauchst.
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Steigung → m = Δy : Δx · y-Achsenabschnitt → b = f(0) · Nullstelle → 0 = m · x + b
Proportionale Funktion → y = m · x (also b = 0) · Punktprobe → y₀ = m · x₀ + b prüfen: Man setzt beide Koordinaten des Punktes ein und schaut, ob die Gleichung stimmt.
Nicht gebraucht: y = c (waagerechte Gerade) und y = a : x (antiproportionale Zuordnung).
Gegeben ist die lineare Funktion y = −1,5x + 4. Berechne die fehlenden y-Werte der Wertetabelle.
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a) y = −1,5 · (−2) + 4 = 3 + 4 = 7
b) y = −1,5 · 0 + 4 = 4 — das ist zugleich der y-Achsenabschnitt b.
c) y = −1,5 · 2 + 4 = −3 + 4 = 1
d) y = −1,5 · 6 + 4 = −9 + 4 = −5
Von Spalte zu Spalte sinkt y um 1,5 pro Schritt nach rechts — genau das sagt m = −1,5 aus.
Der Graph einer linearen Funktion steigt genau dann, wenn die Steigung m positiv ist. Bei m < 0 fällt er, bei m = 0 ist er waagerecht.
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Steigend sind y = 3x − 5 (m = 3), y = 0,5x (m = 0,5) und y = −6 + 1,2x (m = 1,2 — entscheidend ist der Faktor vor x, nicht die Reihenfolge der Summanden).
Nicht steigend: y = −2x + 1 und y = 4 − x haben m = −2 bzw. m = −1 und fallen. y = 7 hat m = 0 und ist eine waagerechte Gerade.
Rechts siehst du eine Gerade. Der markierte Punkt liegt auf der y-Achse, das gestrichelte Steigungsdreieck hat die Breite Δx = 4 und die Höhe Δy = 3.
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Der y-Achsenabschnitt ist b = 2 (dort schneidet die Gerade die y-Achse).
Die Steigung ist m = Δy : Δx = 3 : 4 = 0,75.
Also lautet die Gleichung y = 0,75x + 2.
Die beiden anderen Angebote entstehen durch typische Verwechslungen: bei y = 2x + 0,75 wurden m und b vertauscht, bei y = 1,33x + 2 wurde Δx : Δy statt Δy : Δx gerechnet.
Bei der Punktprobe setzt du beide Koordinaten eines Punktes in die Gleichung ein und prüfst, ob eine wahre Aussage entsteht.
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a) Probe mit P(3|5): 2 · 3 − 1 = 5 ✓ — P liegt auf der Geraden.
Q(2|5): 2 · 2 − 1 = 3 ≠ 5. R(0|1): 2 · 0 − 1 = −1 ≠ 1. S(−1|1): 2 · (−1) − 1 = −3 ≠ 1.
b) Eine Zuordnung ist genau dann eine Funktion, wenn jedem Ausgangswert genau ein Wert zugeordnet wird. Jeder Schüler hat genau ein Geburtsdatum ✓ — das ist eine Funktion.
Bei den drei anderen Zuordnungen gehören zu einem Ausgangswert meist mehrere Werte (mehrere Schüler pro Geburtsdatum, viele Schüler pro Klasse, mehrere Bewohner pro Hausnummer). Die Eindeutigkeit ist verletzt, es sind also keine Funktionen.
Anwenden und Übertragen
44 PunkteEine Gerade verläuft durch die Punkte A(2|1) und B(6|9). Bestimme zuerst die Steigung, dann den y-Achsenabschnitt und rechne anschließend weiter.
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a) m = Δy : Δx = (9 − 1) : (6 − 2) = 8 : 4 = 2
b) A einsetzen: 1 = 2 · 2 + b ⇒ 1 = 4 + b ⇒ b = −3. Die Gerade heißt also y = 2x − 3.
c) f(10) = 2 · 10 − 3 = 17
d) 25 = 2x − 3 | + 3 ⇒ 28 = 2x | : 2 ⇒ x = 14
e) 0 = 2x − 3 ⇒ 2x = 3 ⇒ x0 = 1,5
Gegeben ist die lineare Funktion f(x) = −0,4x + 6. An der Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse — dort ist der Funktionswert also 0.
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a) Nullstelle heißt y = 0. Also setzt man für y die Null ein: 0 = −0,4x + 6.
Der Ansatz y = −0,4 · 0 + 6 setzt dagegen x = 0 — das liefert den y-Achsenabschnitt, nicht die Nullstelle.
b) 0 = −0,4x + 6 | − 6 ⇒ −6 = −0,4x | : (−0,4) ⇒ x0 = 15
Probe: f(15) = −0,4 · 15 + 6 = −6 + 6 = 0 ✓
Ein Stromanbieter verlangt eine Grundgebühr von 9,50 € pro Monat und zusätzlich 0,30 € je Kilowattstunde (kWh). Die Monatskosten y in Euro hängen also linear vom Verbrauch x in kWh ab.
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Die Funktionsgleichung lautet y = 0,30x + 9,50: m = 0,30 € je kWh ist die Änderungsrate, b = 9,50 € die Grundgebühr.
a) y = 0,30 · 120 + 9,50 = 36 + 9,50 = 45,50 €
b) 50 = 0,30x + 9,50 | − 9,50 ⇒ 40,50 = 0,30x | : 0,30 ⇒ x = 135 kWh
c) y = 0,30 · 0 + 9,50 = 9,50 € — die Grundgebühr fällt auch ohne Verbrauch an. Genau deshalb ist dieser Tarif linear, aber nicht proportional.
Du sollst den Graphen von y = −1,5x + 6 zeichnen. Dafür brauchst du den Startpunkt auf der y-Achse und mindestens einen weiteren Punkt. Berechne die nötigen Werte.
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a) b ist der Summand ohne x: b = 6. Der Startpunkt ist also (0|6).
b) f(2) = −1,5 · 2 + 6 = −3 + 6 = 3. Zweiter Punkt: (2|3).
c) 0 = −1,5x + 6 ⇒ 1,5x = 6 ⇒ x0 = 4
Zum Zeichnen gehst du vom Punkt (0|6) aus 2 nach rechts und 3 nach unten — das entspricht m = −3 : 2 = −1,5.
Ein Regenfass wird über einen Hahn gleichmäßig geleert. Zu Beginn (x = 0 min) enthält es 240 Liter, nach 15 Minuten sind noch 165 Liter darin. Die Wassermenge y hängt linear von der Zeit x ab.
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a) m = Δy : Δx = (165 − 240) : (15 − 0) = −75 : 15 = −5 L/min. Das Minuszeichen gehört dazu: Die Wassermenge nimmt ab. Die Einheit der Änderungsrate ist immer y-Einheit pro x-Einheit, hier also Liter je Minute.
b) Die Funktionsgleichung lautet y = −5x + 240. y = −5 · 30 + 240 = −150 + 240 = 90 L
c) „Leer“ heißt y = 0, also die Nullstelle: 0 = −5x + 240 ⇒ 5x = 240 ⇒ x = 48 min
Entscheide bei jeder Situation, welche Art von Zuordnung vorliegt. Frag dich dabei: Gibt es einen Startwert? Und wird y größer oder kleiner, wenn x wächst?
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Proportional sind der Saftpreis (y = 1,8x) und der Kopierer (y = 30x): Bei x = 0 ist auch y = 0, der Graph geht durch den Ursprung. Verdoppelt man x, verdoppelt sich auch y.
Linear, aber nicht proportional sind das Taxi (y = 2x + 3,5) und der Kanister (y = −2x + 20): Beide haben einen Startwert b ≠ 0. Beim Kanister ist m negativ, die Gerade fällt.
Antiproportional ist das Rechteck: Länge · Breite = 36, also y = 36 : x. Hier ist das Produkt konstant, nicht der Quotient — der Graph ist keine Gerade. Die Auswahl „weder noch“ wird nicht gebraucht.
Gegeben sind die beiden Geraden g: y = 2x − 1 und h: y = −x + 8. Im Schnittpunkt stimmen beide y-Werte überein.
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a) Im Schnittpunkt haben beide Geraden denselben y-Wert. Also setzt man die rechten Seiten gleich: 2x − 1 = −x + 8.
Der Ansatz 2x − 1 = 0 liefert dagegen nur die Nullstelle von g.
b) 2x − 1 = −x + 8 | + x ⇒ 3x − 1 = 8 | + 1 ⇒ 3x = 9 | : 3 ⇒ x = 3
c) x = 3 in eine der beiden Gleichungen einsetzen: y = 2 · 3 − 1 = 5.
Probe mit der anderen Gleichung: y = −3 + 8 = 5 ✓ — der Schnittpunkt ist S(3|5).
Eine Bohnenpflanze wird zehn Tage lang jeden Tag gemessen. Die Messpunkte liegen fast, aber nicht genau auf einer Geraden. Die eingezeichnete Ausgleichsgerade verläuft durch (0|4) und (10|24).
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a) m = Δy : Δx = (24 − 4) : (10 − 0) = 20 : 10 = 2 cm pro Tag.
b) y = 2 · 14 + 4 = 28 + 4 = 32 cm. Das ist eine Prognose: Sie gilt nur, solange die Pflanze weiter gleichmäßig wächst.
c) b ist der Funktionswert an der Stelle x = 0, also die Höhe zu Beginn der Messung: 4 cm. Die Wachstumsgeschwindigkeit steckt dagegen in m.
Dass kein einziger Messpunkt exakt auf der Geraden liegt, ist normal: Messungen schwanken. Die Ausgleichsgerade beschreibt den Trend der Punktwolke.
Verknüpfen und Beurteilen
31 PunkteEine Gerade hat die Steigung m = −2 und verläuft durch den Punkt P(3|1). Die Gleichung y = m · x + b ist also bis auf b bekannt.
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a) Ansatz: y = −2x + b. Die Koordinaten von P einsetzen — x = 3 und y = 1:
1 = −2 · 3 + b ⇒ 1 = −6 + b | + 6 ⇒ b = 7. Die Gerade heißt y = −2x + 7.
b) 0 = −2x + 7 | + 2x ⇒ 2x = 7 | : 2 ⇒ x0 = 3,5
Beachte die Reihenfolge: Ohne b kann man die Nullstelle noch gar nicht berechnen — Teil a) ist die Voraussetzung für Teil b).
Zwei Behälter werden gleichzeitig befüllt. Behälter A enthält zu Beginn 30 Liter, Behälter B nur 12 Liter. In beide fließen 4 Liter pro Minute.
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a) yA = 4 · 10 + 30 = 40 + 30 = 70 L
b) yB = 4 · 10 + 12 = 40 + 12 = 52 L
c) Beide Funktionen haben dieselbe Steigung m = 4, aber verschiedene y-Achsenabschnitte (30 bzw. 12). Gleiche Steigung bedeutet parallele Geraden — parallele Geraden schneiden sich nie.
Der Unterschied beträgt zu jedem Zeitpunkt 30 − 12 = 18 L: nach 10 Minuten 70 − 52 = 18 L, genau wie am Anfang. B kann A also nie einholen, solange beide gleich schnell befüllt werden.
Gegeben ist die Gerade y = 2x + 1. Nun wird jeweils ein Parameter verändert. Überlege dir zuerst ein Zahlenbeispiel und entscheide dann.
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a) b ist der y-Achsenabschnitt. Aus y = 2x + 1 wird y = 2x + 4: An der Stelle x = 0 steht statt 1 nun 4, an der Stelle x = 3 statt 7 nun 10 — jeder Punkt liegt 3 Einheiten höher. Da m unverändert bleibt, ist die neue Gerade parallel zur alten.
b) m ist die Steigung. Aus y = 2x + 1 wird y = 4x + 1: Pro Schritt nach rechts geht es jetzt 4 statt 2 nach oben, die Gerade wird also steiler. An der Stelle x = 0 ergibt sich weiterhin y = 1 — der y-Achsenabschnitt bleibt, beide Geraden gehen durch (0|1).
Merke: b verschiebt, m kippt.
Zwei Anbieter vermieten dasselbe Lastenrad. Anbieter A: 8,00 € Grundgebühr und zusätzlich 1,50 € je Stunde. Anbieter B: keine Grundgebühr, dafür 3,50 € je Stunde.
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Die beiden Modelle lauten A(x) = 1,5x + 8 und B(x) = 3,5x. B ist eine proportionale Funktion (b = 0), A ist linear mit dem Startwert 8.
a) A(6) = 1,5 · 6 + 8 = 9 + 8 = 17,00 €
b) B(6) = 3,5 · 6 = 21,00 €
c) 1,5x + 8 = 3,5x | − 1,5x ⇒ 8 = 2x | : 2 ⇒ x = 4 h; beide kosten dort 14,00 €.
d) B startet bei 0 € und ist zunächst billiger, steigt aber steiler an (3,50 € statt 1,50 € je Stunde). Am Schnittpunkt bei 4 Stunden dreht sich das Verhältnis um: kurze Ausleihen bei B, lange bei A. Die Grundgebühr allein sagt also noch nichts darüber aus, welches Angebot günstiger ist.
Ein Mitschüler hat sich vor der Arbeit einen Spickzettel geschrieben. Leider haben sich Fehler eingeschlichen. Kreuze nur die falschen Zeilen an.
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Falsch:
• m = Δx : Δy — Zähler und Nenner sind vertauscht. Richtig ist m = Δy : Δx, also Höhenunterschied geteilt durch waagerechte Strecke.
• Nullstelle mit x = 0 — das liefert den y-Achsenabschnitt. Für die Nullstelle setzt man y = 0 und löst 0 = m · x + b.
• b gibt nicht die Steilheit an, sondern den y-Achsenabschnitt. Die Steilheit steckt in m.
Richtig sind b = f(0), „jede proportionale Funktion ist linear“ (sie ist der Sonderfall b = 0) und „bei m < 0 fällt der Graph“.
Zum Abschluss: Kreuze alle Aussagen an, die richtig sind. Falsch angekreuzte Aussagen ziehen Punkte ab — lies also genau.
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Richtig:
• y = m · x + b liefert immer eine Gerade — daher der Name „linear“.
• Setzt man b = 0, bleibt y = m · x übrig: die proportionale Funktion. Sie ist ein Sonderfall der linearen Funktion.
• Mit m = 0 wird y = b für jedes x — der y-Wert ändert sich nie, der Graph verläuft waagerecht.
• Die Eindeutigkeit ist genau das, was eine Zuordnung zur Funktion macht.
Falsch: Durch den Ursprung geht nur die proportionale Funktion (b = 0); y = 2x + 3 zum Beispiel nicht. Und der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist keine Gerade, sondern eine gebogene Kurve — siehe A12.
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Wenn du alle 20 Aufgaben bearbeitet hast, klicke auf „Auswerten“. Jede Teilaufgabe wird automatisch auf Richtigkeit geprüft — du erhältst Punktzahl, Note und alle Lösungswege.
Dein Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
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Notenschema
| Punkte | Note | Beurteilung |
|---|---|---|
| 100 – 92 P | 1 | sehr gut |
| 91 – 80 P | 2 | gut |
| 79 – 60 P | 3 | befriedigend |
| 59 – 44 P | 4 | ausreichend |
| 43 – 24 P | 5 | mangelhaft |
| 23 – 0 P | 6 | ungenügend |