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Übungsaufgaben — 30 Aufgaben von AFB I bis Mix
A1
Stimmt das über antiproportionale Zuordnungen?
AFB ISechs Aussagen. Entscheide bei jeder, ob sie stimmt.
A2
Welche Zuordnungen sind antiproportional?
AFB IWelche der folgenden Zuordnungen sind antiproportional? Es sind mehrere richtig.
Faustprobe: Wird die zweite Größe kleiner, wenn die erste größer wird, und bleibt dabei das Produkt gleich? Nur dann ist die Zuordnung antiproportional.
A3
Lückentext: die vier Kennzeichen
AFB ISetze die Fachbegriffe an die richtigen Stellen.
Eine Zuordnung heißt , wenn das x · y für alle Wertepaare denselben Wert hat. Ihr Graph ist eine . An der Stelle x = 0 hat sie eine . Fehlende Werte berechnet man mit dem . Die beiden Achsen heißen die der Kurve.
Sechs Begriffe, sechs Lücken — jeder Chip wird genau einmal gebraucht.
A4
Funktionswert berechnen
AFB IGegeben ist y = 36 : x. Berechne y für x = 9.
36 : 9 = 4. Die Probe bestätigt es: 9 · 4 = 36 — das ist die Produktkonstante.
A5
Produktkonstante aus der Tabelle
AFB IDie Tabelle gehört zu einer antiproportionalen Zuordnung. Bestimme die gesuchten Werte.
Ansatz: Multipliziere ein beliebiges Paar aus der Tabelle, zum Beispiel 2 · 24.Warum hilft das? Bei antiproportionalen Zuordnungen liefert jedes Paar dieselbe Produktkonstante c.
Rückwärts rechnen: Steht c fest, gilt y = c : x und genauso x = c : y.Beide Größen stehen gleichberechtigt im Produkt — deshalb funktioniert es in beide Richtungen.
Lösung: a) c = 48 · b) y = 4 · c) x = 24
Wertetabelle mit Produktzeile
A6
Begriffe und Erklärungen paaren
AFB IDecke immer zwei Karten auf, die zusammengehören.
Die ersten vier Karten bilden zwei Gegensatzpaare: Produkt gegen Quotient, Kurve gegen Gerade.
A7
Drei Körbe sortieren
AFB ISortiere die Situationen in den passenden Korb.
1proportional
2antiproportional
3weder noch
Prüfe im Kopf: bleibt der Quotient gleich (Korb 1), bleibt das Produkt gleich (Korb 2) — oder passt keins von beidem (Korb 3)?
A8
Im Schema anklicken
AFB IKlicke das gesuchte Feld im Schema an.
Die fünf Felder sind fünf Blickwinkel auf dieselbe Sache: Rechnung, Gleichung, Bild, Lücke und Grenze.
A9
Der umgekehrte Dreisatz in fünf Schritten
AFB IBringe die Schritte des umgekehrten Dreisatzes in die richtige Reihenfolge.
1
Prüfen, ob die Zuordnung wirklich antiproportional ist
2
Ein vollständiges Wertepaar aus der Aufgabe heraussuchen
3
Die Produktkonstante c = x · y berechnen
4
Den gesuchten Wert mit y = c : x bestimmen
5
Zur Probe das neue Produkt bilden und mit c vergleichen
Der entscheidende Unterschied zum gewöhnlichen Dreisatz steckt in Schritt 3: hier wird multipliziert statt dividiert.
A10
Gärtner und Tage — Schritt für Schritt
AFB II6 Gärtner brauchen für eine Hecke 12 Tage. Alle arbeiten gleich schnell.
- Wie groß ist die Produktkonstante c in Gärtnertagen? Gärtnertage
- Wie lange brauchen 8 Gärtner? Tage
- Wie viele Gärtner braucht man, damit die Hecke in 4 Tagen fertig ist? Gärtner
- Wie lange bräuchte ein einzelner Gärtner? Tage
Die Konstante 72 hat eine Bedeutung: die Arbeit ist 72 Gärtnertage groß. Wie man sie auf Personen und Tage aufteilt, ändert an dieser Zahl nichts.
A11
Welche Produktkonstante passt?
AFB IIJede Zeile nennt ein Wertepaar. Kreuze die Spalte mit der passenden Produktkonstante an.
| Wertepaar | c = 24 | c = 36 | c = 48 |
|---|---|---|---|
| x = 4, y = 6 | |||
| x = 6, y = 6 | |||
| x = 8, y = 6 | |||
| x = 3, y = 12 | |||
| x = 12, y = 2 |
Immer nur multiplizieren — mehr braucht dieser Test nicht.
A12
Werte aus der Hyperbel ablesen
AFB IIDer Graph gehört zur Funktion y = c : x. Lies die gesuchten Werte am Graphen ab.
Punkte suchen: Die markierten Punkte liegen genau auf Gitterkreuzungen — lies sie als Paare (x | y) ab.Warum hilft das? Aus einem einzigen sauber ablesbaren Punkt bekommst du schon c.
c bestimmen: Multipliziere die Koordinaten eines abgelesenen Punktes, zum Beispiel 3 · 4.Bei jeder Hyperbel dieser Bauart liefert jeder Punkt dieselbe Zahl.
Lösung: a) y = 6 · b) x = 4 · c) c = 12
Graph der antiproportionalen Funktion
A13
Sachaufgabe und Konstante verbinden
AFB IIVerbinde jede Situation mit ihrer Produktkonstante.
Die Einheit der Konstante verrät die Sache dahinter: Malertage, Kilometer, Kekse — immer das Produkt der beiden Einheiten.
A14
Was gilt wo?
AFB IIOrdne jede Aussage dem richtigen Bereich zu.
1 nur proportional
2 gilt für beide
3 nur antiproportional
Der mittlere Bereich zeigt, was beide Zuordnungsarten gemeinsam haben — deshalb reicht er als Erkennungsmerkmal nie aus.
A15
Fehlersuche in einer Rechnung
AFB II5 Maschinen brauchen 12 Stunden. Wie lange brauchen 4 Maschinen? Klicke die fehlerhaften Zeilen an.
Der Denkfehler in Zeile 3 zieht die Zeilen 5 und 6 mit sich. Die Probe hätte ihn sofort aufgedeckt — deshalb gehört sie immer dazu.
A16
Ablauf einer Pumpenaufgabe
AFB II8 Pumpen leeren ein Becken in 15 Minuten. Führe die Lösung Schritt für Schritt durch.
Vier Schritte, die bei jeder antiproportionalen Sachaufgabe gleich bleiben: erkennen, Konstante bilden, teilen, Probe machen.
A17
Rückwärts rechnen
AFB IIGegeben ist y = 84 : x. Für welches x gilt y = 7?
Aus x · y = 84 folgt x = 84 : 7 = 12. Beide Größen stehen gleichberechtigt im Produkt.
A18
Bauplan für die Lösung
AFB II6 Mäher schaffen eine Wiese in 10 Stunden. Wie lange brauchen 15 Mäher? Setze die fünf richtigen Bausteine in die Plätze.
Die beiden übrigen Bausteine sind typische Verwechslungen: einmal die falsche Rechenart, einmal ein Ergebnis, das größer statt kleiner wird.
A19
Zahnräder im Getriebe
AFB IIZwei Zahnräder greifen ineinander. Je mehr Zähne ein Rad hat, desto langsamer dreht es sich. Die Tabelle zeigt Zähnezahl und Umdrehungen pro Minute.
Konstante zuerst: Multipliziere ein Paar aus der Tabelle, etwa 10 · 60.Warum hilft das? Die Konstante zählt, wie viele Zähne pro Minute an der Kontaktstelle vorbeilaufen — und das ist bei beiden Rädern gleich.
Beide Richtungen: Mit c gilt Umdrehungen = c : Zähne und Zähne = c : Umdrehungen.Es ist derselbe Zusammenhang, nur nach der anderen Größe aufgelöst.
Lösung: a) c = 600 · b) 24 · c) 50 Zähne
Zähnezahl und Umdrehungen pro Minute
A20
Entscheidungsbaum: welche Zuordnung ist es?
AFB IIArbeite dich durch den Baum und schau, wo du herauskommst.
Der Baum trennt zuerst nach der Richtung (fällt oder steigt) und prüft dann die passende Konstante. Ohne den zweiten Test wäre jede fallende Zuordnung fälschlich antiproportional.
A21
Wie gut passt „antiproportional“?
AFB IISchätze für jede Situation ein, wie gut das Modell der antiproportionalen Zuordnung passt.
passt gar nichtpasst perfekt
12 Arbeiter bauen eine Mauer in 8 Tagen ↦ Zeit für 16 Arbeiter
Ein Taxi kostet 3 € Grundgebühr plus 2 € je Kilometer
Eine feste Strecke von 300 km bei verschiedenen Geschwindigkeiten
40 Liter Farbe werden auf Eimer verteilt, 5 Liter bleiben immer im Fass
Preis für x Kilogramm Äpfel bei 2,40 € je Kilogramm
Zeile 4 ist der interessante Fall: von den 40 Litern sind nur 35 im Spiel. Das Modell passt erst, wenn man den festen Rest vorher abzieht.
A22
Kacheln bis zum Ziel
AFB IIGegeben ist y = 120 : x. Wähle Funktionswerte aus, deren Summe genau das Ziel trifft.
0
Ziel: 100
Ein möglicher Weg: x = 2 und x = 3, also 60 + 40 = 100. Achte darauf, wie schnell die Werte am Anfang fallen und wie zäh sie sich später der Null nähern.
A23
Geschwindigkeit und Fahrzeit
AFB IIEine Strecke wird mit verschiedenen Durchschnittsgeschwindigkeiten zurückgelegt. Die Tabelle zeigt Tempo in km/h und Fahrzeit in Stunden.
Was ist hier c?: Multipliziere Tempo und Zeit, zum Beispiel 40 · 6.Warum hilft das? km/h mal h ergibt km — die Konstante ist genau die Streckenlänge.
Kommazahl erlaubt: 240 : 96 geht nicht glatt auf. Rechne schriftlich weiter und gib das Ergebnis mit einer Nachkommastelle an.Antiproportionale Zuordnungen liefern oft krumme Werte — das ist kein Fehler.
Lösung: a) 240 km · b) 2,5 h · c) 30 km/h
Tempo und Fahrzeit für dieselbe Strecke
A24
Schätzen und prüfen
AFB IIIA25
Genauer hingeschaut
AFB IIISechs anspruchsvollere Aussagen. Entscheide bei jeder, ob sie stimmt.
A26
Gegenbeispiele selbst bauen
AFB IIIEin Mitschüler behauptet: „Wenn y kleiner wird, während x größer wird, ist die Zuordnung antiproportional.“ Zeige mit eigenen Beispielen, dass diese Regel zu weit gegriffen ist, und formuliere sie anschließend richtig.
Baue eine Wertetabelle, bei der y fällt, die Zuordnung aber nicht antiproportional ist.
Zum Beispiel x = 1, 2, 3, 4 und y = 9, 8, 7, 6. Hier fällt y bei jedem Schritt um 1, die Produkte lauten aber 9, 16, 21, 24 — sie sind nicht gleich. Es handelt sich um eine lineare Funktion mit y = 10 − x, also um eine fallende Gerade. Ein zweites Gegenbeispiel: x = 1, 2, 3 mit y = 100, 50, 40. Die ersten beiden Paare geben 100, das dritte 120 — schon ein einziges abweichendes Produkt genügt.
Wie lautet die Regel richtig?
Fallendes y ist nur ein Hinweis, kein Beweis. Antiproportional ist eine Zuordnung genau dann, wenn das Produkt x · y bei allen Wertepaaren denselben Wert hat. Der Test muss also gerechnet und nicht nur angeschaut werden — und er muss für jedes Paar bestanden werden, nicht nur für zwei.
A27
Was gilt für jede antiproportionale Funktion?
AFB IIIWelche Aussagen gelten für jede antiproportionale Funktion y = c : x mit c > 0 und x > 0? Es sind mehrere richtig.
Zur dritten Aussage: je kleiner x wird, desto größer wird y — ohne Grenze. Zur fünften: für x > 0 ist nur ein Hyperbelast gezeichnet, der zweite fehlt.
A28
Zwei Kurven vergleichen
AFB IIIGezeichnet sind die Hyperbel y = 12 : x und die Gerade y = 7 − x. Untersuche, wo sie sich treffen und wie weit sie auseinanderliegen.
Tabelle statt Augenmaß: Rechne für x = 1 bis 6 beide y-Werte aus und vergleiche sie zeilenweise.Warum hilft das? Gemeinsame Punkte sind genau die Zeilen, in denen beide Werte übereinstimmen — das siehst du in Zahlen sicherer als im Bild.
Für c) getrennt rechnen: Bei x = 6 gilt 12 : 6 = 2 und 7 − 6 = 1. Bilde die Differenz.Der Abstand zweier Funktionswerte an derselben Stelle ist immer die Differenz der y-Werte.
Lösung: a) 2 Punkte · b) x = 3 · c) Abstand 1
Hyperbel und Gerade im Vergleich
A29
Gemischte Kette — Geraden und Hyperbeln
MixHier treffen die Geraden aus den vorigen Unterkapiteln auf die neue Hyperbel. Rechne Schritt für Schritt.
- Die Gerade g: y = 2x − 6. Bei welchem x schneidet sie die x-Achse?
- Für h gilt x · y = 18. Berechne h(3).
- Berechne g(6).
- Für welches x gilt h(x) = 2?
Auffällig: g(6) und h(3) liefern beide 6 — aber aus ganz verschiedenen Gründen. Bei g wächst der Wert gleichmäßig, bei h fällt er immer langsamer.
A30
Trickaufgabe: die Sinfonie
MixVier Musiker spielen eine Sinfonie in 40 Minuten. Ein Zuhörer rechnet: „Dann schaffen acht Musiker sie in 20 Minuten und achtzig Musiker in zwei Minuten.“ Erkläre, warum die Rechnung formal richtig, sachlich aber unsinnig ist.
Wo genau bricht das Modell zusammen?
Die Rechnung setzt voraus, dass sich die Arbeit beliebig aufteilen lässt — dass also zwei Musiker die doppelte Menge Musik pro Minute erzeugen. Musik ist aber keine teilbare Arbeitsmenge: die Spieldauer eines Stückes hängt vom Tempo ab, nicht von der Anzahl der Spieler. Die Produktkonstante „160 Musikerminuten“ beschreibt hier nichts Reales.
Bei welchen Aufgaben ist der umgekehrte Dreisatz dagegen erlaubt?
Immer dann, wenn eine feste Gesamtmenge an Arbeit wirklich aufgeteilt werden kann und alle gleich schnell arbeiten, ohne sich gegenseitig zu behindern: Kisten tragen, eine Wiese mähen, ein Becken leerpumpen. Und auch dort gilt das Modell nur in einem vernünftigen Bereich — irgendwann stehen sich die Helfer im Weg.
Wie formulierst du eine solche Aufgabe ehrlich?
Man schreibt die Annahme dazu: „Angenommen, alle arbeiten gleich schnell und behindern sich nicht.“ Damit ist klar, dass das Ergebnis eine Modellrechnung ist und keine Vorhersage über die Wirklichkeit.