Die Hütte im Schullandheim
AFB IIDie Klasse 8b fährt für drei Tage ins Schullandheim. Sie mietet dort eine Selbstversorgerhütte zum Festpreis von 360 €. Dieser Betrag wird gleichmäßig auf alle aufgeteilt, die mitfahren — die Hütte kostet ja dasselbe, ob sie halb oder ganz belegt ist.
Für die Elternabend-Info hat Frau Berger einige Gruppengrößen durchgerechnet und in eine Tabelle geschrieben. Der zugehörige Graph steht daneben (Material M1).
| Anzahl der Mitfahrenden \(x\) | 6 | 8 | 12 | 18 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| Betrag je Person \(y\) in € | 60 | 45 | 30 | 20 | 15 |
Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, sondern auf einer gebogenen Kurve — einer Hyperbel.
- Zeige mithilfe der Tabelle, dass die Zuordnung Anzahl der Mitfahrenden → Betrag je Person antiproportional ist, und gib die Produktkonstante \(c\) mit ihrer Bedeutung an.
- Stelle die Funktionsgleichung für den Betrag \(y\) je Person auf und berechne, wie viel jede Person zahlt, wenn 30 Personen mitfahren.
- Bestimme, wie viele Personen mitfahren müssen, damit auf jede genau 24 € entfallen, und begründe mit der Produktgleichheit, warum sich der Betrag je Person halbiert, wenn doppelt so viele mitfahren.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Produkte aus jeder Tabellenspalte:
\(6\cdot 60 = 360\), \(\;8\cdot 45 = 360\), \(\;12\cdot 30 = 360\), \(\;18\cdot 20 = 360\), \(\;24\cdot 15 = 360\)
Alle fünf Produkte sind gleich, es gilt also Produktgleichheit: \(x\cdot y = 360\). Damit ist die Zuordnung antiproportional.
Die Produktkonstante ist \(c = 360\). Ihre Einheit ergibt sich aus \(\text{Personen}\cdot\frac{\text{Euro}}{\text{Person}} = \text{Euro}\): \(c\) sind die gesamte Hüttenmiete von 360 €.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Aus \(x\cdot y = 360\) folgt durch Division durch \(x\):
\(y = \frac{360}{x}\) (\(x\) = Anzahl der Mitfahrenden, \(y\) in €)
Einsetzen von \(x = 30\):
\(y = \frac{360}{30} = 12\)
Fahren 30 Personen mit, zahlt jede Person 12 € für die Hütte.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Gesucht ist \(x\) bei \(y = 24\):
\(x\cdot 24 = 360 \;\Rightarrow\; x = \frac{360}{24} = 15\)
Bei 15 Mitfahrenden entfallen auf jede Person genau 24 €.
Begründung zur Verdopplung: Das Produkt muss immer 360 bleiben. Ersetzt man \(x\) durch \(2x\), so muss der zweite Faktor halbiert werden, denn \(2x\cdot\frac{y}{2} = x\cdot y = 360\).
Fahren doppelt so viele Personen mit, zahlt also jede Person nur noch halb so viel — von 15 auf 30 Personen sinkt der Betrag zum Beispiel von 24 € auf 12 €.
Die Programmhefte für die Schulaufführung
AFB IIIVor jeder Schulaufführung müssen die Programmhefte gefaltet und geheftet werden. Die Theater-AG hat über mehrere Jahre notiert, wie lange verschieden große Gruppen dafür gebraucht haben (Material M2). Es ist jedes Mal dieselbe Anzahl Hefte, und alle arbeiten gleich schnell.
Malte schaut auf die Tabelle und sagt: „Fünf Leute schaffen es in 48 Minuten. Morgen kommen nur drei, also drei Fünftel davon: \(48 : 5 \cdot 3 = 28{,}8\). Wir sind schon nach knapp einer halben Stunde fertig.“
| Anzahl der Helferinnen und Helfer \(x\) | 2 | 4 | 5 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| benötigte Zeit \(y\) in min | 120 | 60 | 48 | 40 | 24 |
Der rot markierte Punkt ist Maltes Ergebnis — er liegt weit unter der Kurve der gemessenen Werte.
- Prüfe anhand der Tabelle, ob die Zuordnung Anzahl der Helfer → benötigte Zeit antiproportional ist, und gib die Produktkonstante \(c\) mit Einheit an.
- Stelle die Funktionsgleichung auf und berechne damit, wie lange 8 Helferinnen und Helfer für die Hefte brauchen.
- Beurteile Maltes Aussage. Berechne dazu die richtige Zeit für 3 Helferinnen und Helfer und erkläre, worin sein Denkfehler besteht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Produkte aus jeder Tabellenspalte:
\(2\cdot 120 = 240\), \(\;4\cdot 60 = 240\), \(\;5\cdot 48 = 240\), \(\;6\cdot 40 = 240\), \(\;10\cdot 24 = 240\)
Alle Produkte sind gleich, also ist die Zuordnung antiproportional mit \(x\cdot y = 240\).
Die Produktkonstante ist \(c = 240\ \text{Personenminuten}\). Sie gibt die gesamte Arbeit an: Eine einzelne Person bräuchte für alle Hefte 240 Minuten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Aus \(x\cdot y = 240\) folgt \(y = \frac{240}{x}\) (\(x\) = Anzahl der Helferinnen und Helfer, \(y\) in min).
Einsetzen von \(x = 8\):
\(y = \frac{240}{8} = 30\)
Probe: \(8\cdot 30 = 240\) ✓
Acht Helferinnen und Helfer brauchen 30 Minuten für die Programmhefte.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Richtige Rechnung für 3 Personen:
\(y = \frac{240}{3} = 80\)
Probe: \(3\cdot 80 = 240\) ✓ — dieselbe Produktkonstante wie in der Tabelle.
Maltes Aussage ist falsch. Drei Personen brauchen nicht 28,8 Minuten, sondern 80 Minuten, also gut eineinhalb Stunden.
Sein Denkfehler: Er hat mit dem gewöhnlichen Dreisatz für proportionale Zuordnungen gerechnet, also „weniger Leute → entsprechend weniger Zeit“. Bei einer antiproportionalen Zuordnung gilt aber das Gegenteil: Weniger Helfer bedeuten mehr Zeit, denn dieselbe Arbeit verteilt sich auf weniger Schultern. Richtig ist der umgekehrte Dreisatz: eine Person braucht \(5\cdot 48 = 240\) Minuten, drei Personen also \(240 : 3 = 80\) Minuten.
Die Probe hätte ihn gewarnt: \(3\cdot 28{,}8 = 86{,}4\) und damit nicht 240. Auch in M2 sieht man es sofort — sein Punkt liegt weit unterhalb der Kurve der gemessenen Werte.