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Was ist Wahrscheinlichkeit?

Eine Wettervorhersage und ein Würfelspiel — zwei Aufgaben, in denen du Vorhersage und Beobachtung auseinanderhältst.

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Regenwahrscheinlichkeit

AFB I–II

Eine Wetter-App meldete im Juni an 30 Tagen jeweils eine Regenwahrscheinlichkeit. An allen 10 Tagen mit der Angabe „70 %“ wurde notiert, ob es geregnet hat: An 6 dieser Tage regnete es.

  1. Nenne die Wahrscheinlichkeit und die relative Häufigkeit, die in dem Text vorkommen.
  2. Interpretiere die Angabe „70 % Regen“ in eigenen Worten.
  3. Erkläre, warum die App trotz 6 statt 7 Regentagen nicht „falsch“ lag.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Zahl ist eine Vorhersage, welche eine Auszählung?
Hinweis zu Aufgabe b)
Es geht um viele vergleichbare Tage, nicht um einen einzelnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie groß ist die Versuchsreihe?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Wahrscheinlichkeit (Vorhersage): 70 % = 0,7. Relative Häufigkeit (Beobachtung): 6/10 = 0,6.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

An vielen Tagen mit dieser Vorhersage regnet es auf lange Sicht an etwa 7 von 10 Tagen. Für einen einzelnen Tag heißt das: Regen ist wahrscheinlich, aber nicht sicher.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei nur 10 Tagen sind Abweichungen vom erwarteten Wert 7 ganz normal. Eine relative Häufigkeit aus so wenigen Tagen schwankt stark — erst viele Tage würden zeigen, ob die App zuverlässig ist.

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Das Würfelduell

AFB II–III

Jonas und Emma würfeln je 30-mal. Jonas hat 9 Sechsen, Emma nur 2. Jonas behauptet: „Mein Würfel hat eine höhere Wahrscheinlichkeit für die Sechs. Ich spiele nur noch mit ihm.“

  1. Ermittle für beide die relative Häufigkeit der Sechs und die zu erwartende Anzahl von Sechsen.
  2. Nimm Stellung zu Jonas’ Behauptung.
  3. Entwickle ein Vorgehen, mit dem man prüfen kann, ob Jonas’ Würfel tatsächlich öfter die Sechs zeigt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartete Anzahl: n · P.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie viele Würfe sind 30? Hat ein normaler Würfel „gute Tage“?
Hinweis zu Aufgabe c)
Was hilft gegen den Zufall kleiner Versuchsreihen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jonas: 9/30 = 0,3; Emma: 2/30 ≈ 0,067. Erwartet werden bei 30 Würfen 30 · 1/6 = 5 Sechsen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Jonas verwechselt relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Beide Werte weichen deutlich von 1/6 ab, aber 30 Würfe sind wenig — so große Schwankungen kommen vor. Solange die Würfel normal gebaut sind, haben beide P(6) = 1/6; Jonas hatte Glück, Emma Pech.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit beiden Würfeln unter gleichen Bedingungen sehr oft würfeln (z. B. je 600-mal), Sechsen zählen und die relativen Häufigkeiten vergleichen. Liegt Jonas’ Wert auch dann deutlich über 0,167 (etwa bei 0,25), ist der Würfel vermutlich nicht fair.