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Münze, Würfel, Glücksrad

Ein Klassenexperiment mit einem Achtflächner und ein verdächtiges Glücksrad — zwei Aufgaben zu symmetrischen Zufallsgeräten.

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Der Achtflächner im Klassenexperiment

AFB I–II

Vier Gruppen werfen einen Achtflächner (Zahlen 1 bis 8) jeweils 80-mal. Die Tabelle zeigt, wie oft die 8 gefallen ist.

GruppeABCD
Anzahl der Achten147109
  1. Begründe, warum beim Achtflächner P(8) = 1/8 gilt.
  2. Berechne die relative Häufigkeit der 8 für Gruppe A und für alle vier Gruppen zusammen.
  3. Deute die Ergebnisse im Hinblick auf die Wahrscheinlichkeit 1/8.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Denke an die Form des Körpers.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zusammen: absolute Häufigkeiten addieren und durch 320 teilen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die Abweichungen der einzelnen Gruppen und der Gesamtreihe.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Achtflächner ist symmetrisch: Alle acht Flächen sind gleich groß und gleich geformt, keine ist bevorzugt. Die acht Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich, also P(8) = 1/8 = 0,125.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gruppe A: 14/80 = 0,175. Zusammen: (14 + 7 + 10 + 9) : 320 = 40 : 320 = 0,125.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Gruppen streuen stark (0,0875 bis 0,175), weil 80 Würfe eine kurze Versuchsreihe sind. Die zusammengelegte Reihe mit 320 Würfen trifft den Wert 1/8 genau — lange Versuchsreihen bestätigen die Wahrscheinlichkeit, die aus der Symmetrie folgt.

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Das verdächtige Glücksrad

AFB II–III

Auf dem Stadtfest steht ein Glücksrad mit 10 gleich großen Feldern, die Felder 1 und 2 bringen einen Gewinn. Der Betreiber sagt: „Jedes fünfte Mal gewinnt man!“ Nina beobachtet 200 Drehungen und zählt 28 Gewinne.

  1. Bestätige die Aussage „jedes fünfte Mal“ als Wahrscheinlichkeit.
  2. Untersuche mit Ninas Beobachtung, ob das Rad wie angekündigt läuft.
  3. Diskutiere, ob Nina dem Betreiber Betrug vorwerfen sollte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wie viele der 10 gleichen Felder sind Gewinnfelder?
Hinweis zu Aufgabe b)
Wie viele Gewinne wären bei 200 Drehungen zu erwarten? Wie groß ist die relative Häufigkeit?
Hinweis zu Aufgabe c)
Nenne Argumente für und gegen einen Vorwurf und was man noch tun könnte.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

P(Gewinn) = 2/10 = 1/5 = 0,2. Auf lange Sicht gewinnt man also etwa bei jeder fünften Drehung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Erwartet: 200 · 0,2 = 40 Gewinne. Beobachtet: 28, also h = 0,14. Das sind 12 Gewinne weniger als erwartet — bei 200 Drehungen ist das eine auffällig große Abweichung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Dafür: 0,14 liegt deutlich unter 0,2; 200 Drehungen sind schon eine längere Reihe. Dagegen: Auch bei einem fairen Rad sind solche Abweichungen möglich, wenn auch selten; vielleicht ist das Rad nur schief aufgehängt. Sinnvoll: noch mehr Drehungen beobachten oder prüfen, ob die Felder wirklich gleich groß sind und sich das Rad frei dreht. Ein Betrugsvorwurf ist erst bei eindeutigeren Daten gerechtfertigt.