Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen beurteilen, Fehler finden, Simulationen planen — formuliere deine Antwort erst selbst, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Beurteile die Aussage: „Ich habe fünfmal gewürfelt und keine Sechs bekommen. Jetzt ist eine Sechs wahrscheinlicher.“
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Der Würfel hat kein Gedächtnis: Bei jedem Wurf gilt wieder \(P(6)=\frac16\). Das Gesetz der großen Zahlen gleicht nicht einzelne Würfe aus — es beschreibt nur, dass der Anteil der Sechsen bei sehr vielen Würfen nahe bei \(\frac16\) liegt.
Begründe, warum man P(Kopf) bei einer Reißzwecke nicht mit der Laplace-Formel bestimmen kann, und beschreibe, wie man den Wert stattdessen ermittelt.
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Musterlösung: Die Laplace-Formel setzt gleich wahrscheinliche Ergebnisse voraus. Die Reißzwecke ist unsymmetrisch, „Kopf“ und „Seite“ haben verschiedene Chancen — \(\frac12\) wäre geraten. Man wirft sie sehr oft (z. B. 500-mal, Gruppenergebnisse zusammenlegen) und nimmt die relative Häufigkeit als Schätzwert.
Tom würfelt 10-mal und erhält 4 Sechsen. Er sagt: „Der Würfel ist gezinkt.“ Nimm Stellung.
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Musterlösung: Die Behauptung ist voreilig. \(h=0{,}4\) liegt zwar weit über \(\frac16\), aber 10 Würfe sind sehr wenig — kurze Versuchsreihen schwanken stark. Um den Würfel zu prüfen, müsste Tom einige hundert Male würfeln und schauen, ob die relative Häufigkeit dann immer noch deutlich über \(\frac16\) liegt.
Lisa wirft zwei Würfel und addiert. Sie sagt: „Es gibt 11 mögliche Summen von 2 bis 12, also ist \(P(\text{Summe }7)=\frac{1}{11}\).“ Finde den Fehler.
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Musterlösung: Die Summen sind nicht gleich wahrscheinlich, also darf man nicht Laplace auf die 11 Summen anwenden. Die Summe 2 entsteht nur durch (1|1), die Summe 7 durch (1|6), (2|5), (3|4), (4|3), (5|2), (6|1). Gleich wahrscheinlich sind die 36 Paare: \(P(7)=\frac{6}{36}=\frac16\).
Entwickle ein Glücksrad mit \(P(\text{rot})=\frac12\), \(P(\text{blau})=\frac13\) und \(P(\text{grün})=\frac16\). Gib die Mittelpunktswinkel an.
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Musterlösung: Rot \(180^\circ\), blau \(120^\circ\), grün \(60^\circ\). Kontrolle: \(180+120+60=360\) und \(\frac12+\frac13+\frac16=1\). Alternativ: 6 gleich große Felder, davon 3 rot, 2 blau, 1 grün.
Urne A enthält 2 rote und 3 weiße Kugeln, Urne B 3 rote und 5 weiße. Man gewinnt mit einer roten Kugel. Vergleiche und entscheide.
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Musterlösung: Urne A: \(P(\text{rot})=\frac25=0{,}4\). Urne B: \(\frac38=0{,}375\). Obwohl B mehr rote Kugeln hat, ist die Gewinnchance bei A größer — entscheidend ist der Anteil, nicht die Anzahl.
Begründe, warum \(P(E)+P(\overline{E})=1\) gilt und warum eine Wahrscheinlichkeit nie größer als 1 sein kann.
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Musterlösung: Jedes Ergebnis gehört entweder zu E oder zu Ē. Zusammen sind das alle Ergebnisse — das sichere Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1. Also \(P(E)+P(\overline{E})=1\). Da \(P(\overline{E})\ge0\) ist, bleibt \(P(E)\le1\). Ebenso kann eine relative Häufigkeit nie über 1 liegen: Mehr als alle Versuche können nicht eintreten.
Wie wahrscheinlich ist es, dass von 3 zufällig ausgewählten Personen mindestens eine am Wochenende Geburtstag hat? Entwickle eine Simulation mit Zufallszahlen.
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Musterlösung: Wochentage als Zahlen 1 bis 7, dabei 6 = Samstag, 7 = Sonntag. Ein Durchgang: drei Zufallszahlen, z. B. am GTR RanInt#(1,7,3). Treffer, wenn mindestens eine 6 oder 7 dabei ist. Viele Durchgänge (z. B. 200) durchführen, Treffer zählen, durch die Anzahl der Durchgänge teilen — das ist der Schätzwert.
Eine Klasse würfelt 12-mal und bekommt keine Sechs. Erläutere, warum die relative Häufigkeit 0 sein kann, obwohl \(P(6)>0\) ist.
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Musterlösung: Die relative Häufigkeit beschreibt nur diese 12 Würfe. Dass keine Sechs fällt, ist selten (etwa 11 %), aber möglich. Die Wahrscheinlichkeit \(\frac16\) ändert sich dadurch nicht; bei einer viel längeren Versuchsreihe würde h näher an \(\frac16\) liegen.
Untersuche die Aussage: „Je öfter man würfelt, desto kleiner wird der Unterschied zwischen der Anzahl der Sechsen und \(\frac n6\).“
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Bei 60 Würfen mit 12 Sechsen beträgt der Unterschied 2, bei 6000 Würfen mit 1040 Sechsen 40 — der absolute Unterschied kann wachsen. Klein wird nur der Unterschied der Anteile: \(|0{,}2-0{,}167|\approx0{,}033\) gegenüber \(|0{,}173-0{,}167|\approx0{,}007\). Das Gesetz der großen Zahlen spricht über relative Häufigkeiten.