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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Sachaufgaben von der Lostrommel bis zum Elfmeter — erst übersetzen, dann rechnen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Schulweg-Umfrage
AFB II

In einer Klasse mit 28 Kindern kommen 7 mit dem Bus, 12 mit dem Rad und der Rest zu Fuß.

a) Berechne die relative Häufigkeit für „Rad“ (zwei Nachkommastellen). b) Gib die relative Häufigkeit für „zu Fuß“ in Prozent an (eine Nachkommastelle).

%
Ansatz: Anzahl „zu Fuß“ zuerst bestimmen: \(28-7-12\).
Rechenweg: a) \(\frac{12}{28}\approx0{,}4286\); b) \(\frac{9}{28}\approx0{,}3214\).
Lösung: a) 0,43 b) 32,1 %
Vollständige Lösung
a) \(h=\frac{12}{28}\approx0{,}43\). b) Zu Fuß: \(28-7-12=9\), \(h=\frac{9}{28}\approx0{,}321=32{,}1\ \%\).
A2
Reißzwecken zusammenlegen
AFB II

Drei Gruppen werfen eine Reißzwecke: 60-mal Kopf bei 100 Würfen, 130-mal bei 200 Würfen und 190-mal bei 300 Würfen.

a) Berechne die relative Häufigkeit von Kopf in der Gesamtreihe (zwei Nachkommastellen). b) Wie oft erwartet man damit Kopf bei 1000 Würfen?

mal
Ansatz: Absolute Häufigkeiten addieren, dann durch 600 teilen.
Rechenweg: a) \(\frac{60+130+190}{600}=\frac{380}{600}\). b) \(1000\cdot0{,}63\).
Lösung: a) 0,63 b) 630
Vollständige Lösung
a) \(\frac{380}{600}\approx0{,}63\) — Schätzwert \(P(\text{Kopf})\approx0{,}63\). b) \(1000\cdot0{,}63=630\), also etwa 630-mal Kopf.
A3
Lostrommel
AFB II

In einer Lostrommel sind 200 Lose: 10 Hauptgewinne, 40 Kleingewinne, der Rest sind Nieten.

a) Berechne P(Gewinn). b) Berechne P(Niete) mit dem Gegenereignis.

Ansatz: Gewinn = Hauptgewinn oder Kleingewinn: 50 günstige Lose.
Rechenweg: a) \(\frac{50}{200}\). b) \(1-0{,}25\).
Lösung: a) 0,25 b) 0,75
Vollständige Lösung
a) \(P(\text{Gewinn})=\frac{10+40}{200}=\frac14=0{,}25\). b) Niete ist das Gegenereignis: \(1-0{,}25=0{,}75\).
A4
Zwei Ereignisse am Würfel
AFB II

E: „mindestens 5“, F: „gerade Augenzahl“.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für „E oder F“. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass weder E noch F eintritt.

Ansatz: Alle Ergebnisse von E oder F als Menge aufschreiben — die 6 nur einmal.
Rechenweg: a) \(\{2;4;5;6\}\): \(\frac46\). b) \(\{1;3\}\): \(\frac26\).
Lösung: a) 2/3 b) 1/3
Vollständige Lösung
a) „E oder F“ = \(\{2;4;5;6\}\), also \(\frac46=\frac23\approx0{,}67\) — nicht \(\frac26+\frac36\), weil die 6 sonst doppelt zählt. b) Gegenereignis \(\{1;3\}\): \(\frac26=\frac13\).
A5
Glücksrad mit Winkeln
AFB II

Ein Glücksrad hat drei Felder: rot 90°, blau 120°, gelb 150°.

a) Berechne P(rot). b) Berechne P(nicht blau) (Bruch oder Dezimalzahl).

Ansatz: Anteil am Vollwinkel: \(\frac{\alpha}{360^\circ}\).
Rechenweg: a) \(\frac{90}{360}\). b) \(1-\frac{120}{360}\).
Lösung: a) 0,25 b) 2/3
Vollständige Lösung
a) \(\frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac14\). b) \(P(\text{blau})=\frac{120}{360}=\frac13\), also \(P(\text{nicht blau})=1-\frac13=\frac23\approx0{,}67\).
A6
Buchstaben ziehen
AFB II

Die Buchstaben des Wortes MATHEMATIK liegen auf 10 Karten. Eine Karte wird zufällig gezogen.

a) Berechne P(M). b) Berechne P(Vokal).

Ansatz: Doppelte Buchstaben zählen doppelt. Vokale: A, E, I.
Rechenweg: a) \(\frac{2}{10}\). b) A, E, A, I: \(\frac{4}{10}\).
Lösung: a) 0,2 b) 0,4
Vollständige Lösung
a) M kommt zweimal vor: \(\frac{2}{10}=0{,}2\). b) Vokale A, E, A, I: \(\frac{4}{10}=0{,}4\).
A7
Skatkarten
AFB II

Aus einem Skatspiel mit 32 Karten (vier Farben mit je 8 Karten, darunter je ein Ass) wird eine Karte gezogen.

a) Berechne P(Herz). b) Berechne P(Ass).

Ansatz: Jede Karte ist gleich wahrscheinlich: 32 mögliche Ergebnisse.
Rechenweg: a) \(\frac{8}{32}\). b) \(\frac{4}{32}\).
Lösung: a) 0,25 b) 0,125
Vollständige Lösung
a) \(\frac{8}{32}=\frac14=0{,}25\). b) \(\frac{4}{32}=\frac18=0{,}125\).
A8
Elfmeter simulieren
AFB II

Eine Spielerin trifft beim Elfmeter mit 70 %. Simuliert wird mit Zufallszahlen von 1 bis 10. In 40 Durchgängen mit je drei Schüssen trifft sie 13-mal alle drei.

a) Schätze P(drei Treffer) als relative Häufigkeit. b) Wie viele der Zahlen 1 bis 10 müssen für „Treffer“ stehen?

Ansatz: Treffer durch Anzahl der Durchgänge; 70 % von 10 Zahlen.
Rechenweg: a) \(\frac{13}{40}\). b) \(0{,}7\cdot10\).
Lösung: a) 0,325 b) 7
Vollständige Lösung
a) \(\frac{13}{40}=0{,}325\) ist der Schätzwert. b) 70 % Treffer → 7 von 10 Zahlen, z. B. 1 bis 7 = Tor, 8 bis 10 = kein Tor.
A9
Lange Versuchsreihe
AFB II

Ein Würfel wird 600-mal geworfen, die Sechs fällt 93-mal.

a) Berechne die relative Häufigkeit (drei Nachkommastellen). b) Um wie viele Sechsen weicht das Ergebnis von der erwarteten Anzahl ab?

Ansatz: Erwartet: \(600\cdot\frac16\).
Rechenweg: a) \(\frac{93}{600}\). b) \(100-93\).
Lösung: a) 0,155 b) 7
Vollständige Lösung
a) \(\frac{93}{600}=0{,}155\) — nahe bei \(\frac16\approx0{,}167\). b) Erwartet werden 100 Sechsen, es sind 7 weniger. Das ist bei 600 Würfen völlig normal.
A10
Urne verändern
AFB II

In einer Urne liegen 12 Kugeln, die Wahrscheinlichkeit für rot ist \(\tfrac14\).

a) Wie viele rote Kugeln sind in der Urne? b) Wie viele rote Kugeln muss man hinzulegen, damit P(rot) = \(\tfrac12\) wird?

Ansatz: b) Probieren: 3 + x rote von 12 + x Kugeln sollen die Hälfte sein.
Rechenweg: a) \(\frac14\cdot12=3\). b) \(\frac{3+6}{12+6}=\frac{9}{18}\).
Lösung: a) 3 b) 6
Vollständige Lösung
a) \(12\cdot\frac14=3\) rote Kugeln. b) Mit x zusätzlichen roten: \(\frac{3+x}{12+x}=\frac12\). Probieren: \(x=6\) ergibt \(\frac{9}{18}=\frac12\).