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Zufall simulieren

Sammelkarten und ein Elfmeterschießen — zwei Aufgaben, in denen du ein Simulationsmodell planst und auswertest.

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Sammelkarten im Müsli

AFB I–II

In jeder Müslipackung steckt eine von 3 verschiedenen Sammelkarten, jede mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Leon kauft 4 Packungen und möchte wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass er danach alle 3 Karten hat. Er simuliert mit einem Würfel: 1 oder 2 = Karte A, 3 oder 4 = Karte B, 5 oder 6 = Karte C.

Durchgang12345
Würfe2 5 6 31 1 4 26 5 5 63 1 6 42 2 3 1
  1. Erläutere, warum Leons Zuordnung zu den Wahrscheinlichkeiten passt.
  2. Werte die fünf Durchgänge aus: Bei welchen hat Leon alle drei Karten?
  3. Begründe, warum 5 Durchgänge nicht reichen, und nenne eine sinnvolle Anzahl.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Wahrscheinlichkeit hat jede Karte, welche jedes Würfelpaar?
Hinweis zu Aufgabe b)
Übersetze jeden Durchgang in Buchstaben.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an das Gesetz der großen Zahlen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jede Karte hat P = 1/3. Jede Zuordnung umfasst 2 der 6 gleich wahrscheinlichen Augenzahlen, also ebenfalls 2/6 = 1/3.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

D1: A, C, C, B → alle drei ✓. D2: A, A, B, A → C fehlt. D3: C, C, C, C → nur C. D4: B, A, C, B ✓. D5: A, A, B, A → C fehlt. Treffer in 2 von 5 Durchgängen, h = 0,4.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Bei 5 Durchgängen kann die relative Häufigkeit stark schwanken (0,4 ist nur ein grober Hinweis). Für einen verlässlichen Schätzwert braucht man einige hundert Durchgänge, z. B. 500 mit dem Rechner. (Der genaue Wert ist 4/9 ≈ 0,44.)

2

Elfmeterschießen planen

AFB II–III

Die Trainerin der Schulmannschaft weiß: Ihre Spielerinnen verwandeln Elfmeter mit 70 %. In einem Elfmeterschießen schießt ihr Team 5-mal. Sie fragt sich, wie wahrscheinlich es ist, dass mindestens 4 Schüsse treffen. Rechnen kann sie das noch nicht — sie will simulieren. Zur Verfügung stehen ein Würfel, eine Münze und der GTR (Casio fx-CG50).

  1. Entwickle eine Simulation: Wähle ein geeignetes Zufallsgerät, lege die Zuordnung und einen Durchgang fest.
  2. Interpretiere das Ergebnis: In 400 Durchgängen trafen 212-mal mindestens 4 Schüsse.
  3. Diskutiere Grenzen des Modells: Ist die Annahme „jeder Schuss 70 %“ realistisch?

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welches Gerät kann genau 70 % darstellen? Würfel und Münze prüfen!
Hinweis zu Aufgabe b)
Relative Häufigkeit berechnen und in den Sachzusammenhang übersetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an Druck, verschiedene Schützinnen, Torhüterin.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Würfel (4/6 ≈ 67 %) und Münze (50 %) passen nicht. GTR: Zufallszahlen 1 bis 10, 1 bis 7 = Tor, 8 bis 10 = gehalten. Ein Durchgang: RanInt#(1,10,5) liefert 5 Zahlen; Treffer, wenn mindestens 4 davon ≤ 7 sind.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

h = 212/400 = 0,53. Das Team verwandelt in etwa jedem zweiten Elfmeterschießen mindestens 4 von 5 Elfmetern. (Genauer Wert ≈ 0,528.)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Modell nimmt an, dass jeder Schuss gleich und unabhängig mit 70 % trifft. In Wirklichkeit schießen verschiedene Spielerinnen unterschiedlich gut, die Nervosität steigt, die Torhüterin kann gut oder schlecht in Form sein. Die Simulation liefert daher nur eine grobe Orientierung; genauer würde man mit einer eigenen Quote je Schützin simulieren.