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Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die Tombola des Schulfests und ein Würfelspiel — zwei Aufgaben, in denen du erst prüfst, ob Laplace passt, und dann rechnest.

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Die Tombola

AFB I–II

Für die Tombola des Schulfests werden 400 Lose gut gemischt in eine Trommel gelegt: 4 Fahrräder, 16 Kinogutscheine, 60 Süßigkeitentüten, der Rest sind Nieten. Jedes Los wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen.

  1. Begründe, warum das Ziehen eines Loses ein Laplace-Experiment ist.
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für „Fahrrad“, „irgendein Gewinn“ und „Niete“.
  3. Stelle einen Term auf, mit dem man P(Gewinn) berechnen kann, wenn zusätzlich x Nieten in die Trommel kommen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Was sind hier die Ergebnisse?
Hinweis zu Aufgabe b)
Zähle die günstigen Lose; Nieten = 400 − Gewinne.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die Anzahl der Gewinne bleibt gleich, die Gesamtzahl wächst.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Ergebnisse sind die 400 einzelnen Lose. Sie sind gut gemischt und gleich beschaffen, also gleich wahrscheinlich — das ist die Bedingung für ein Laplace-Experiment.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

P(Fahrrad) = 4/400 = 0,01. Gewinne: 4 + 16 + 60 = 80 → P(Gewinn) = 80/400 = 0,2. Nieten: 320 → P(Niete) = 0,8.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

P(Gewinn) = 80 : (400 + x). Beispiel x = 100: 80/500 = 0,16.

2

Das Zwei-Würfel-Spiel

AFB II–III

Beim Spiel „Glückssumme“ werfen Lara und Kai zwei Würfel und addieren die Augenzahlen. Lara gewinnt bei Summe 7, Kai bei Summe 2 oder 12. Kai meint: „Es gibt 11 mögliche Summen. Lara hat 1/11, ich habe 2/11 — ich bin im Vorteil.“

  1. Untersuche, ob die Summen 2 bis 12 gleich wahrscheinlich sind. Notiere dazu alle Würfelpaare als Tabelle (1. Würfel | 2. Würfel).
  2. Zeige, dass Lara im Vorteil ist.
  3. Lege fest, welche Summen man Kai zusätzlich geben müsste, damit das Spiel fair wird. Begründe.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Es gibt 6 · 6 = 36 gleich wahrscheinliche Paare.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wende Laplace auf die 36 Paare an.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kai braucht insgesamt 6 von 36 Paaren; welche Summen haben zusammen 4 weitere Paare?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Von den 36 Paaren ergeben die Summe 2 nur (1|1), die Summe 12 nur (6|6), die Summe 7 aber sechs Paare: (1|6), (2|5), (3|4), (4|3), (5|2), (6|1). Die Summen sind also nicht gleich wahrscheinlich.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

P(Summe 7) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,17. P(Summe 2 oder 12) = 2/36 = 1/18 ≈ 0,06. Lara gewinnt dreimal so wahrscheinlich wie Kai.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Kai braucht 4 weitere Paare. Beispiel: Summen 3 und 11 kommen je 2-mal vor → Kai gewinnt bei 2, 3, 11 oder 12: 1 + 2 + 2 + 1 = 6 Paare, also ebenfalls 6/36. Dann ist das Spiel fair.