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Laplace-Wahrscheinlichkeit

Günstige durch mögliche — und warum diese einfache Formel nicht bei jedem Glücksrad stimmt.

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Gleich wahrscheinliche Ergebnisse

Haben alle Ergebnisse dieselbe Chance, kann man Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen bestimmen.

  • Laplace-Experiment:alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.
  • Beispiele:Würfel, Münze, Ziehen einer Kugel aus einer gut gemischten Urne, Glücksrad mit gleichen Feldern.
  • Kein Laplace:Reißzwecke, Glücksrad mit ungleichen Feldern.
  • Trick:ungleiche Felder in gleich große Teilfelder zerlegen.

Stelle ein, in wie viele gleich große Felder das Glücksrad zerlegt wird. Passt die Zerlegung, lege die Teilfelder mit „Nach Farbe ordnen“ um und lies die Wahrscheinlichkeit der gewählten Farbe ab.

Glücksrad zerlegen

Halte fest: Erst wenn jedes Teilfeld nur eine Farbe hat, sind alle Teilfelder gleich wahrscheinlich — dann gilt: günstige durch mögliche.

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Die Laplace-Formel

Bei m gleich wahrscheinlichen Ergebnissen bekommt jedes denselben Anteil.

Herleitung:

\(P(\text{ein Ergebnis})=\dfrac1m\)
gleich groß
Die Wahrscheinlichkeit 1 verteilt sich gleichmäßig auf m Ergebnisse.
\(P(E)=\underbrace{\tfrac1m+\ldots+\tfrac1m}_{g\text{ Summanden}}\)
addieren
E besteht aus g Ergebnissen — ihre Anteile werden addiert.
\(P(E)=g\cdot\dfrac1m\)
zusammenfassen
g gleiche Summanden als Produkt schreiben.
\(P(E)=\dfrac{g}{m}\)
Ergebnis
Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ergebnisse.
  • Würfel, „gerade“:\(P=\tfrac36=\tfrac12\).
  • Urne:3 rote, 5 blaue Kugeln: \(P(\text{rot})=\tfrac38\).
Merke

Laplace-Wahrscheinlichkeit: \(P(E)=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}\)

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Allgemeine Hinweise

Erst prüfen, dann zählen

Die Formel gilt nur, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind — bei der Reißzwecke ist \(P(\text{Kopf})\ne\tfrac12\).

Mögliche vollständig zählen

Bei einer Urne zählt jede Kugel einzeln: 3 rote und 5 blaue sind 8 mögliche Ergebnisse, nicht 2.

Kürzen erlaubt

\(\tfrac36=\tfrac12=0{,}5=50\ \%\) — alle Schreibweisen sind richtig.

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