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Gesetz der großen Zahlen

Ein Münzexperiment und ein Roulette-Tisch — zwei Aufgaben zu dem, was das Gesetz der großen Zahlen verspricht und was nicht.

1

Tausend Münzwürfe

AFB I–II

Eine Klasse hat eine Münze 1000-mal geworfen und nach 10, 100 und 1000 Würfen Zwischenstände notiert.

Würfe n101001000
Anzahl Kopf756511
  1. Zeichne die relativen Häufigkeiten von Kopf in ein Koordinatensystem ein (n nach rechts, h nach oben) und markiere den Wert 0,5.
  2. Stelle dar, wie sich die Abweichung von 0,5 und die Abweichung der Anzahl von n/2 entwickeln.
  3. Formuliere das empirische Gesetz der großen Zahlen mit Hilfe dieses Beispiels.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Berechne zuerst h für alle drei Zeitpunkte.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne für jeden Zeitpunkt beide Abweichungen aus.
Hinweis zu Aufgabe c)
Beziehe dich auf relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

h: 0,7 (n = 10), 0,56 (n = 100), 0,511 (n = 1000). Die drei Punkte nähern sich der waagerechten Linie h = 0,5.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Abweichung von 0,5: 0,2 → 0,06 → 0,011 (wird kleiner). Abweichung der Anzahl: 2 → 6 → 11 (wird größer).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Wird eine Münze sehr oft geworfen, liegt die relative Häufigkeit von Kopf nahe bei der Wahrscheinlichkeit 0,5. Die Anzahl der Kopfwürfe muss sich dabei nicht an n/2 annähern.

2

Die Roulette-Strategie

AFB II–III

Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 schwarze und ein grünes Feld (die Null). Tim hat beobachtet, dass 8-mal hintereinander Rot kam. Er will jetzt viel Geld auf Schwarz setzen: „Nach so viel Rot muss Schwarz kommen — das ist das Gesetz der großen Zahlen.“

  1. Berechne die Wahrscheinlichkeit für Schwarz bei einem Dreh.
  2. Erkläre Tims Denkfehler.
  3. Beurteile Tims Strategie.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Alle 37 Felder sind gleich wahrscheinlich.
Hinweis zu Aufgabe b)
Hat die Kugel ein Gedächtnis? Worüber spricht das Gesetz?
Hinweis zu Aufgabe c)
Berücksichtige auch das grüne Feld.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

P(Schwarz) = 18/37 ≈ 0,486.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Jeder Dreh ist unabhängig von den vorherigen; die Kugel „weiß“ nichts von den 8-mal Rot. P(Schwarz) bleibt 18/37. Das Gesetz der großen Zahlen sagt nur, dass sich die relative Häufigkeit über sehr viele Drehungen stabilisiert — nicht, dass frühere Abweichungen ausgeglichen werden.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Strategie hat keinen Vorteil: Die Gewinnchance ist bei jedem Dreh 18/37, also sogar etwas unter 1/2, weil die Null dazukommt. Wer viel setzt, verliert auf lange Sicht im Mittel Geld. Die Strategie beruht auf dem Spielerfehlschluss.