MINT lernen

Summenregel, Gegenereignis

Ein Glücksrad beim Tag der offenen Tür und ein Buchstabenspiel — zwei Aufgaben zu Summenregel und Gegenereignis.

1

Das Glücksrad am Tag der offenen Tür

AFB I–II

Ein Glücksrad hat fünf Felder unterschiedlicher Größe. Die Mittelpunktswinkel sind: Hauptpreis 18°, Buch 54°, Stifte 90°, Sticker 108°, Niete 90°.

  1. Weise nach, dass die Winkelangaben ein vollständiges Glücksrad ergeben, und berechne die Wahrscheinlichkeiten aller Felder.
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, einen Preis zu gewinnen, auf zwei verschiedenen Wegen.
  3. Schätze ab, wie viele Hauptpreise der Verein bei 500 Drehungen bereithalten sollte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Winkel müssen zusammen 360° ergeben; P = Winkel : 360°.
Hinweis zu Aufgabe b)
Einmal mit der Summenregel, einmal mit dem Gegenereignis.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartete Anzahl n · P — und ein kleiner Puffer.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

18 + 54 + 90 + 108 + 90 = 360°. P(Hauptpreis) = 0,05; P(Buch) = 0,15; P(Stifte) = 0,25; P(Sticker) = 0,3; P(Niete) = 0,25.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Summenregel: 0,05 + 0,15 + 0,25 + 0,3 = 0,75. Gegenereignis: 1 − P(Niete) = 1 − 0,25 = 0,75.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

500 · 0,05 = 25 Hauptpreise sind zu erwarten. Weil die Anzahl schwankt, sollte man etwas mehr bereithalten, etwa 30 bis 35.

2

Buchstaben ziehen

AFB II–III

Die 14 Buchstaben des Wortes WAHRSCHEINLICH liegen auf Karten in einem Beutel. Eine Karte wird gezogen. Alina behauptet: „P(Vokal oder H) = P(Vokal) + P(H) — das gilt immer.“

  1. Ermittle P(Vokal), P(H) und P(Vokal oder H).
  2. Widerlege Alinas Behauptung mit dem Ereignis „Vokal oder I“.
  3. Leite mit dem Gegenereignis her, wie groß P(kein C und kein H) ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zähle jeden Buchstaben einzeln: W A H R S C H E I N L I C H.
Hinweis zu Aufgabe b)
Wird ein Buchstabe doppelt gezählt?
Hinweis zu Aufgabe c)
Zähle zuerst die Karten mit C oder H.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Vokale: A, E, I, I → 4/14 = 2/7. H kommt dreimal vor → 3/14. Kein H ist Vokal, also P(Vokal oder H) = 7/14 = 0,5.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

P(Vokal) + P(I) = 4/14 + 2/14 = 6/14. Tatsächlich besteht „Vokal oder I“ nur aus den 4 Vokalkarten (die I sind schon Vokale): 4/14. Die Summe zählt die beiden I doppelt — die Regel gilt nur, wenn die Ereignisse kein Ergebnis gemeinsam haben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

C: 2 Karten, H: 3 Karten → 5 Karten. P(C oder H) = 5/14, also P(kein C und kein H) = 1 − 5/14 = 9/14 ≈ 0,64.