Terme und Gleichungen: Zusammenfassung – Mathe Klasse 7

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Rechnen mit rationalen Zahlen

Die Vorzeichenregeln tragen das ganze Kapitel — jede Termumformung rechnet mit ihnen.

Addieren

Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren; verschiedene: Beträge subtrahieren.

(−4) + (−5) = −9 · (−7) + 3 = −4

Subtrahieren

Die Gegenzahl addieren — der Pfeil dreht sich um.

5 − (−3) = 5 + 3 = 8

Multiplizieren

Gleiche Vorzeichen: plus; verschiedene: minus.

(−3) · (−4) = 12 · 12 : (−4) = −3

Reihenfolge

Klammer vor Punkt vor Strich.

−2 + 3 · (−4) = −14

Subtrahieren

a − b = a + (−b)

Gilt für alle rationalen Zahlen a und b.

Minus mal Minus nur beim Malnehmen

(−3) + (−4) = −7. Die Vorzeichenregel für Produkte gilt nicht beim Addieren.

2

Terme aufstellen und vereinfachen

Ein Term beschreibt eine Rechnung mit Platzhaltern — zusammengefasst wird nur Gleichartiges.

Variable und Term

Buchstabe als Platzhalter; Term aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen.

3n + 1 · 3n = 3 · n

Termwert

Variable durch eine Zahl ersetzen; negative Zahlen in Klammern.

x = −3: 2x − 5 = −11

Zusammenfassen

Gleiche Variable, gleiche Hochzahl: Koeffizienten addieren.

5x − 2x + 4 = 3x + 4

Produkte

Zahlen multiplizieren, Variablen dahinter.

2a · 5b = 10ab · x · x = x²

Zusammenfassen

a · x + b · x = (a + b) · x

Nur gleichartige Glieder; x und x² sind verschieden.

3x + 2 bleibt stehen

Eine Zahl und ein x-Glied lassen sich nicht zu 5x zusammenfassen.

3

Klammern auflösen

Das Distributivgesetz verbindet Produkt und Summe — in beide Richtungen.

Ausmultiplizieren

Der Faktor trifft jeden Summanden.

3(x + 4) = 3x + 12

Minusklammer

Klammer weg, alle Vorzeichen darin umdrehen.

7 − (x − 3) = 10 − x

Ausklammern

Gemeinsamen Faktor nach vorn ziehen.

6x + 9 = 3(2x + 3)

Kontrolle

Ausgeklammertes wieder ausmultiplizieren.

3(2x + 3) = 6x + 9 ✓

Distributivgesetz

a · (b + c) = a · b + a · c

Am Rechteck: Die Fläche bleibt beim Zerlegen gleich.

Jeden Summanden treffen

2(x + 5) = 2x + 10, nicht 2x + 5.

4

Gleichungen lösen und modellieren

Äquivalenzumformungen halten die Waage im Gleichgewicht — bis x allein steht.

Äquivalenzumformung

Auf beiden Seiten dasselbe rechnen (nicht · 0).

5x − 7 = 2x + 8 ⇒ x = 5

Probe

In die Ausgangsgleichung einsetzen.

4 · (7 − 2) = 20 = 2 · 7 + 6 ✓

Sonderfälle

x verschwindet: falsche Aussage ⇒ L = { }; wahre ⇒ L = ℚ.

3 = 5 ⇒ L = { } · 3 = 3 ⇒ L = ℚ

Modellieren

Variable → Gleichung → lösen → Probe am Text → Antwort.

2x + 2(x + 3) = 26 ⇒ x = 5

Lösungsmenge

L = {5} · L = { } · L = ℚ

Am CAS (TI-Nspire CX CAS): solve(…,x) liefert x=…, false oder true.

Antwortsatz nicht vergessen

Die Frage im Text entscheidet, was gesucht ist — oft mehr als nur x.