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Variablen und Terme

Zwei Sachaufgaben zu einem Plattenmuster und einer Handwerkerrechnung — Terme aus dem Alltag.

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Die Terrasse

AFB I–II

Eine Terrasse wird aus quadratischen Platten gelegt: In der Mitte liegt eine Reihe aus n grauen Platten, rundherum ein Rand aus weißen Platten (auch an den Ecken). Bei n = 1 sind es 8 weiße Platten.

  1. Gib die Anzahl der weißen Platten für n = 2 und n = 3 an.
  2. Stelle einen Term für die Anzahl der weißen Platten bei n grauen Platten auf und begründe ihn am Muster.
  3. Überprüfe, ob es eine Terrasse mit genau 51 weißen Platten geben kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zeichne die Reihe und zähle oben, unten und an den beiden Enden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Oben und unten liegen je n + 2 Platten, links und rechts je eine.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Werte kann 2n + 6 überhaupt annehmen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

n = 2: 10 weiße Platten; n = 3: 12 weiße Platten (oben und unten je n + 2, an den Enden je 1).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

W = 2 · (n + 2) + 2 = 2n + 6. Oben und unten je n + 2 Platten (über der Reihe plus zwei Ecken), links und rechts je eine Platte. Probe n = 1: 8 ✓.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

2n + 6 ist immer gerade (2n gerade, 6 gerade). 51 ist ungerade, also gibt es keine solche Terrasse. (Rechnerisch: 2n + 6 = 51 ergäbe n = 22,5 — keine ganze Zahl.)

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Die Handwerkerrechnung

AFB II–III

Ein Elektriker berechnet 35 € für die Anfahrt und 48 € pro Arbeitsstunde. Dazu kommt das Material. Eine zweite Firma verlangt keine Anfahrt, aber 55 € pro Stunde; das Material kostet bei beiden gleich viel.

  1. Stelle für beide Firmen einen Term für die Kosten bei t Stunden und m € Material auf.
  2. Berechne beide Rechnungen für t = 2,5 und m = 17,40.
  3. Untersuche mit einer Wertetabelle (z. B. am GTR: MENU → Tabelle, F5 SET, F6 TABLE), ab welcher Arbeitsdauer Firma 1 günstiger ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Anfahrt einmal, Stundenlohn mal t, Material dazu.
Hinweis zu Aufgabe b)
Punkt vor Strich; Einheit € nicht vergessen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Das Material ist bei beiden gleich — vergleiche nur 35 + 48t und 55t für t = 1, 2, …, 7.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Firma 1: K₁ = 35 + 48t + m; Firma 2: K₂ = 55t + m (in €).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

K₁ = 35 + 48 · 2,5 + 17,40 = 35 + 120 + 17,40 = 172,40 €. K₂ = 55 · 2,5 + 17,40 = 137,50 + 17,40 = 154,90 €. Firma 2 ist hier günstiger.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

t: 4 → 227 € und 220 €; t = 5 → 275 € und 275 €; t = 6 → 323 € und 330 €. Bei 5 Stunden sind beide gleich teuer, bei längeren Einsätzen ist Firma 1 günstiger: Jede Stunde spart dort 7 €, die 35 € Anfahrt sind nach 5 Stunden ausgeglichen.