Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Terme deuten, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, dass die Terme \(2(n+1)+n\) und \(3n+2\) gleichwertig sind.
Hinweis: Gleichwertig heißt: gleicher Wert für jede Zahl n.
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Musterlösung: Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(2(n+1)+n=2n+2+n=3n+2\). Da jede Umformung für alle Zahlen gilt, haben beide Terme für jedes n denselben Wert.
Lena rechnet: \(5-(x-2)=5-x-2=3-x\). Überprüfe die Rechnung und korrigiere sie.
Hinweis: Setze zur Kontrolle eine Zahl ein, z. B. x = 2.
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Musterlösung: Bei der Minusklammer dreht sich jedes Vorzeichen um: \(5-(x-2)=5-x+2=7-x\). Lena hat das zweite Vorzeichen nicht umgedreht. Kontrolle mit \(x=2\): \(5-0=5\), und \(7-2=5\) ✓, aber \(3-2=1\).
Begründe, warum das Multiplizieren beider Seiten mit 0 keine Äquivalenzumformung ist.
Hinweis: Betrachte z. B. x + 1 = 4.
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Musterlösung: Aus \(x+1=4\) (Lösung 3) wird \(0=0\) — eine wahre Aussage für jede Zahl. Die Lösungsmenge ändert sich von \(\{3\}\) zu \(\mathbb{Q}\). Die Umformung lässt sich auch nicht rückgängig machen, weil man durch 0 nicht teilen darf.
Entwickle je eine Gleichung der Form \(2x+3=\ldots\), die a) keine Lösung, b) unendlich viele Lösungen, c) genau die Lösung \(x=4\) hat.
Hinweis: Überlege, was nach dem Subtrahieren von 2x übrig bleiben muss.
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Musterlösung: a) \(2x+3=2x+5\) führt zu \(3=5\): keine Lösung. b) \(2x+3=2x+3\) führt zu \(3=3\): \(L=\mathbb{Q}\). c) z. B. \(2x+3=x+7\Rightarrow x=4\), oder \(2x+3=11\).
Tim behauptet: „\(x+x=x^2\).“ Beurteile die Aussage.
Hinweis: Setze x = 3 ein.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch: \(x+x=2x\) (zwei Summanden x), während \(x^2=x\cdot x\) ein Produkt ist. Gegenbeispiel \(x=3\): \(3+3=6\ne9\). Nur für \(x=0\) und \(x=2\) stimmen beide Werte zufällig überein.
Begründe: Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist immer durch 3 teilbar.
Hinweis: Nenne die kleinste Zahl n.
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Musterlösung: Mit der kleinsten Zahl n ist die Summe \(n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3\cdot(n+1)\). Sie ist ein Vielfaches von 3 — sogar das Dreifache der mittleren Zahl.
Jonas behauptet: „Verdoppelt man Länge und Breite eines Rechtecks, verdoppelt sich auch sein Umfang.“ Begründe oder widerlege die Aussage mit Termen.
Hinweis: Nenne die Seiten a und b.
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Musterlösung: Alter Umfang \(u=2a+2b\). Neuer Umfang \(2\cdot2a+2\cdot2b=4a+4b=2\cdot(2a+2b)=2u\). Die Aussage stimmt für jedes Rechteck.
Ein quadratisches Beet aus n mal n Platten bekommt eine Reihe Randplatten. Mia zählt \(4(n+2)-4\), Ben \(4n+4\). Überprüfe, ob beide recht haben, und deute Mias Term.
Hinweis: Skizziere n = 3 und zähle.
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Musterlösung: \(4(n+2)-4=4n+4\) — beide Terme sind gleichwertig (für n = 3: 16 Platten). Mia zählt vier Seiten mit je \(n+2\) Platten; dabei zählt sie jede der 4 Eckplatten doppelt und zieht sie deshalb wieder ab.
Untersuche, wie viele Lösungen die Gleichung \(a\cdot x=b\) je nach a und b hat.
Hinweis: Unterscheide a ≠ 0 und a = 0.
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Musterlösung: Ist \(a\ne0\), gibt es genau eine Lösung \(x=\frac ba\). Ist \(a=0\), lautet die Gleichung \(0=b\): für \(b=0\) wahr (\(L=\mathbb{Q}\)), für \(b\ne0\) falsch (\(L=\{\,\}\)).
Tim löst \(3x=5x\): Er teilt beide Seiten durch x und erhält \(3=5\), also „keine Lösung“. Beurteile Tims Vorgehen.
Hinweis: Setze x = 0 in die Ausgangsgleichung ein.
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Musterlösung: Tim darf nicht durch x teilen, weil x = 0 sein könnte. Tatsächlich ist \(x=0\) Lösung: \(3\cdot0=0=5\cdot0\). Richtig: \(3x=5x\ |-3x\Rightarrow0=2x\ |:2\Rightarrow x=0\), also \(L=\{0\}\).