MINT lernen

Sonderfälle und Probe

Zwei Aufgaben zu einer falschen Lösung und einer Gleichung mit Parameter — prüfen statt glauben.

1

Lisas Lösung

AFB I–II

Lisa löst die Gleichung 3(2x − 1) = 4x + 7 und erhält x = 2.

  1. Überprüfe Lisas Ergebnis mit einer Probe.
  2. Löse die Gleichung richtig und mache die Probe.
  3. Erläutere, warum die Probe immer in die Ausgangsgleichung gemacht werden muss.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze x = 2 links und rechts ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zuerst ausmultiplizieren: 6x − 3.
Hinweis zu Aufgabe c)
Was passiert, wenn der Fehler schon in der ersten Umformung steckt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Links: 3 · (4 − 1) = 9. Rechts: 4 · 2 + 7 = 15. 9 ≠ 15 — Lisas Lösung ist falsch.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

6x − 3 = 4x + 7 | − 4x ⇒ 2x − 3 = 7 | + 3 ⇒ 2x = 10 | : 2 ⇒ x = 5, L = {5}. Probe: 3 · 9 = 27 und 20 + 7 = 27 ✓.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Hat man z. B. schon beim Ausmultiplizieren 6x − 1 statt 6x − 3 geschrieben, passt die falsche Lösung zu allen folgenden Zeilen. Nur die Ausgangsgleichung ist sicher richtig — dort fällt jeder Fehler auf.

2

Die Gleichung mit dem Platzhalter

AFB II–III

Gegeben ist die Gleichung 2(x + 4) − x = x + c. Für c kann man verschiedene Zahlen einsetzen.

  1. Löse die Gleichung für c = 5.
  2. Bestimme c so, dass jede rationale Zahl eine Lösung ist.
  3. Untersuche, ob man c so wählen kann, dass die Gleichung genau eine Lösung hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Linke Seite vereinfachen: 2x + 8 − x.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die linke Seite ist x + 8.
Hinweis zu Aufgabe c)
Was passiert mit x, egal wie c gewählt wird?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

x + 8 = x + 5 | − x ⇒ 8 = 5 — falsche Aussage, L = { }.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

x + 8 = x + c gilt für alle x genau dann, wenn c = 8. Dann ist L = ℚ.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nein: Nach dem Vereinfachen steht immer x + 8 = x + c. Mit | − x fällt x für jedes c heraus; es bleibt 8 = c. Also gibt es entweder keine Lösung (c ≠ 8) oder unendlich viele (c = 8), nie genau eine.