1
Mit Klammern lösen und die Probe machen
Beispiel:
\(4(x-2)=2x+6\)
ausmultiplizieren
Zuerst die Klammer auflösen.
\(4x-8=2x+6\)
\(-\,2x\)
x-Glieder auf die linke Seite.
\(2x-8=6\)
\(+\,8\)
Zahlen auf die rechte Seite.
\(2x=14\)
\(:\,2\)
Durch 2 teilen.
\(x=7\)
Ergebnis
\(L=\{7\}\)
- Probe:in die Ausgangsgleichung einsetzen: links \(4\cdot(7-2)=20\), rechts \(2\cdot7+6=20\) ✓.
- Wozu:Die Probe deckt Rechenfehler auf — sie gehört zu jeder Lösung.
- CAS (TI-Nspire CX CAS):solve(4·(x−2)=2·x+6,x) liefert x=7; die Eingabe 4·(7−2)=2·7+6 liefert true.
2
Keine oder unendlich viele Lösungen
- Keine Lösung:\(2x+3=2x+5\;|-2x\) führt zu \(3=5\) — falsch, also \(L=\{\,\}\).
- Unendlich viele:\(3(x+1)=3x+3\) führt zu \(3=3\) — wahr für jedes x, also \(L=\mathbb{Q}\).
- Am CAS:solve liefert dann false (keine Lösung) oder true (jede Zahl).
Schau dir die Gleichung an und sage voraus, wie viele Lösungen sie hat. „Prüfen“ zeigt beide Seiten für mehrere x-Werte und die umgeformte Gleichung.
Halte fest: Verschwindet x beim Umformen, entscheidet die übrige Aussage — falsch: keine Lösung, wahr: jede Zahl ist Lösung.
Merke
Sonderfälle: falsche Aussage (z. B. \(0=2\)) \(\Rightarrow L=\{\,\}\); wahre Aussage (z. B. \(0=0\)) \(\Rightarrow L=\mathbb{Q}\)
3
Allgemeine Hinweise
\(0=0\) heißt nicht \(x=0\)
Bleibt eine wahre Aussage ohne x übrig, ist jede Zahl Lösung: \(L=\mathbb{Q}\).
Probe in der Ausgangsgleichung
Immer in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, nicht in eine umgeformte — sonst bleibt ein früher Fehler unentdeckt.
Leere Menge richtig schreiben
Keine Lösung heißt \(L=\{\,\}\). \(L=\{0\}\) wäre die Lösung \(x=0\).