Die Zahlenmauer
AFB I–IIIn einer Zahlenmauer ist jeder Stein die Summe der beiden Steine darunter. Die unterste Reihe lautet x | 5 | −3, der oberste Stein hat den Wert 4.
- Bestimme die Terme in der mittleren Reihe und im obersten Stein.
- Löse die Gleichung für den obersten Stein und gib die Lösungsmenge an.
- Begründe, warum der oberste Stein um 1 wächst, wenn man x um 1 vergrößert.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Mitte: x + 5 und 2. Oben: (x + 5) + 2 = x + 7.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
x + 7 = 4 | − 7 ⇒ x = −3, L = {−3}. Probe: Mitte 2 und 2, oben 4 ✓.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der oberste Stein ist x + 7: x kommt genau einmal vor. Wird x um 1 größer, wird auch x + 7 um 1 größer. (Stünde x in der Mitte der unteren Reihe, käme es zweimal vor.)
Zwei Wege, ein Ergebnis
AFB II–IIIJana und Emre lösen die Gleichung 12 − 3x = 5x − 20. Jana subtrahiert zuerst 5x, Emre addiert zuerst 3x.
- Löse die Gleichung auf beiden Wegen und schreibe jede Umformung hinter einen senkrechten Strich.
- Vergleiche die beiden Wege: Wo lauern Fehler, welcher ist bequemer?
- Nimm Stellung zur Behauptung: „Die Variable muss beim Lösen immer auf die linke Seite.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Jana: 12 − 3x = 5x − 20 | − 5x ⇒ 12 − 8x = −20 | − 12 ⇒ −8x = −32 | : (−8) ⇒ x = 4. Emre: | + 3x ⇒ 12 = 8x − 20 | + 20 ⇒ 32 = 8x | : 8 ⇒ x = 4. L = {4}.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Beide liefern x = 4. Emres Weg vermeidet die negative Zahl vor x (keine Division durch −8), Janas Weg lässt x links stehen. Fehlerquelle bei Jana: das Vorzeichen beim Teilen durch −8.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung stimmt nicht: 4 = x und x = 4 sind gleichwertig, man darf die Seiten tauschen. Sinnvoll ist, x auf die Seite mit dem größeren Koeffizienten zu bringen — dann bleibt er positiv.