1
Gleichungen als Waage
- Gleichung:zwei Terme, verbunden durch ein Gleichheitszeichen: \(3x+2=11\).
- Lösung:Zahl, die beim Einsetzen eine wahre Aussage liefert: \(x=3\), denn \(3\cdot3+2=11\).
- Lösungsmenge:alle Lösungen in Mengenklammern: \(L=\{3\}\).
- Äquivalenzumformung:auf beiden Seiten dasselbe rechnen — die Lösungsmenge ändert sich nicht.
Löse die Gleichung an der Waage: Wähle Umformungen, bis links nur noch ein x liegt. Probiere auch „− 1 nur links“ und beobachte, was passiert.
Halte fest: Nur wer auf beiden Seiten dasselbe tut, hält die Waage im Gleichgewicht — und die Lösung bleibt dieselbe.
2
Schritt für Schritt umformen
Beispiel:
\(5x-7=2x+8\)
\(-\,2x\)
Die x-Glieder auf eine Seite bringen.
\(3x-7=8\)
\(+\,7\)
Die Zahl auf die andere Seite bringen.
\(3x=15\)
\(:\,3\)
Durch die Zahl vor dem x teilen.
\(x=5\)
Ergebnis
\(L=\{5\}\)
Merke
Äquivalenzumformungen: auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren; beide Seiten mit derselben Zahl \(\ne0\) multiplizieren oder durch sie dividieren.
- Ziel:\(x=\ldots\) — die Variable steht allein auf einer Seite.
- Reihenfolge:erst die x-Glieder auf eine Seite, dann die Zahlen, zuletzt teilen.
- Schreibweise:die Umformung hinter einen senkrechten Strich: \(\;|-2x\).
3
Allgemeine Hinweise
Nie nur eine Seite
Wer nur links \(-7\) rechnet, verändert die Gleichung. Jede Umformung gilt für die ganze Gleichung.
Nicht mit 0 multiplizieren
\(\cdot\,0\) macht aus jeder Gleichung \(0=0\) — das ist keine Äquivalenzumformung, die Lösung geht verloren.
Minus vor dem x
Aus \(-x=4\) wird mit \(\cdot(-1)\) auf beiden Seiten \(x=-4\).