Rationale Zahlen: Zusammenfassung – Mathe Klasse 7

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Der erweiterte Zahlbereich

Negative Zahlen machen jede Subtraktion lösbar — auf der Zahlengeraden liegen sie links von 0.

Negative Zahlen

Temperatur, Schulden, Tiefe: Werte unter null bekommen ein Minus.

−5 °C · −40 € · −10 m

Zahlbereiche

Jede natürliche Zahl ist ganz, jede ganze Zahl ist rational.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

Betrag und Gegenzahl

Betrag = Abstand zur 0; die Gegenzahl ist an der 0 gespiegelt.

|−3,5| = 3,5 · −(−3,5) = 3,5

Ordnen

Weiter rechts heißt größer; bei negativen Zahlen: größerer Betrag, kleinere Zahl.

−2 < −0,8 < −¾ < 0 < ½

Betrag

|a| = Abstand von a zur 0

Für jede rationale Zahl gilt |a| ≥ 0 und |a| = |−a|.

Nicht auf die Ziffern schauen

−10 hat mehr Ziffern als −9, ist aber kleiner: −10 < −9.

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Rechnen mit rationalen Zahlen

Man rechnet mit den Beträgen und bestimmt das Vorzeichen nach festen Regeln.

Addieren

Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren. Verschiedene: kleineren Betrag vom größeren abziehen.

(−3) + (−5) = −8 · (−7) + 4 = −3

Subtrahieren

Die Gegenzahl addieren.

4 − (−7) = 4 + 7 = 11

Multiplizieren und dividieren

Gleiche Vorzeichen: positiv, verschiedene: negativ.

(−4) · (−5) = 20 · 15 : (−5) = −3

Klammern auflösen

Minusklammer: alle Zeichen in der Klammer umdrehen.

7 − (−2 + 5) = 7 + 2 − 5

Subtraktion und Vorzeichenregel

a − b = a + (−b) · (−) · (−) = (+)

Bei mehreren Faktoren: gerade Anzahl Minuszeichen positiv, ungerade negativ.

Zwei Minus hintereinander

5 − (−3) = 5 + 3 = 8 — nicht 5 − 3.

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Geschickt rechnen und abschätzen

Rechengesetze sparen Arbeit, Überschläge schützen vor Fehlern.

Vertauschen und verbinden

Summanden und Faktoren dürfen mit ihrem Vorzeichen umgestellt werden.

−37 + 58 + 37 − 8 = (−37 + 37) + (58 − 8) = 50

Reihenfolge

Klammer vor Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts.

2 + 3 · (−4) = 2 − 12 = −10

Verteilungsgesetz

Ausmultiplizieren und ausklammern.

−4 · 98 = −4 · (100 − 2) = −400 + 8 = −392

Runden und Überschlagen

Betrag runden, Vorzeichen bleibt; Überschlag prüft Vorzeichen und Größenordnung.

−3,47 ≈ −3,5 · (−3,9) · 5,2 ≈ −20

Rechengesetze

a + b = b + a · (a + b) + c = a + (b + c) · a · (b + c) = a · b + a · c

Vertauschungs- und Verbindungsgesetz gelten auch für die Multiplikation, nicht für Minus und Geteilt.

Subtraktion nicht vertauschen

3 − 10 = −7, aber 10 − 3 = 7. Erst umwandeln: 3 + (−10) = (−10) + 3.

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Die Regeln, an denen die Punkte hängen

Diese drei Stellen kosten in der Arbeit am häufigsten Punkte.

Vorzeichen beim Addieren

(−9) + 4 = −5: Das Ergebnis bekommt das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. (−3) + (−4) = −7, aber (−3) · (−4) = 12.

Minusklammer vollständig auflösen

8 − (3 − 5) = 8 − 3 + 5 = 10. Jedes Zeichen in der Klammer dreht sich um, auch das der ersten Zahl.

Punkt vor Strich, auch mit Minus

18 : (−3) − 2 · (−5) = −6 + 10 = 4. Erst beide Punktrechnungen, dann die Strichrechnung.