Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, dass \((-1)\cdot(-1)=1\) sein muss.
Hinweis: Nutze \((-1)\cdot(1+(-1))\) und das Verteilungsgesetz.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Einerseits ist \((-1)\cdot(1+(-1))=(-1)\cdot0=0\). Andererseits liefert das Verteilungsgesetz \((-1)\cdot1+(-1)\cdot(-1)=-1+(-1)\cdot(-1)\). Beides muss gleich sein: \(-1+(-1)\cdot(-1)=0\). Also ist \((-1)\cdot(-1)\) die Gegenzahl von \(-1\), nämlich \(1\).
Überprüfe die Aussage: „Die Summe zweier negativer Zahlen ist immer negativ.“
Hinweis: Denke an die Zahlengerade.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Die Aussage ist wahr. Die erste Zahl liegt links von 0. Das Addieren einer negativen Zahl bedeutet, noch weiter nach links zu gehen. Das Ergebnis liegt also erst recht links von 0 — es ist negativ. Rechnerisch: Beträge addieren, Vorzeichen minus bleibt.
Überprüfe die Aussage: „Die Differenz zweier negativer Zahlen ist immer negativ.“
Hinweis: Probiere \(-2-(-5)\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(-2-(-5)=-2+5=3\) ist positiv. Die Differenz ist nur dann negativ, wenn die erste Zahl weiter links liegt als die zweite, z. B. \(-5-(-2)=-3\).
Mia rechnet: \(7-(2-5)=7-2-5=0\). Beschreibe ihren Fehler und gib das richtige Ergebnis an.
Hinweis: Rechne zur Kontrolle zuerst die Klammer aus.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Mia hat nur das erste Zeichen in der Klammer umgedreht. Bei einer Minusklammer drehen sich alle Zeichen um: \(7-(2-5)=7-2+5=10\). Kontrolle: \(2-5=-3\) und \(7-(-3)=10\).
Untersuche, für welche Zahlen \(a\) gilt: \(|a|=-a\).
Hinweis: Setze eine positive, eine negative Zahl und die Null ein.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Für positive \(a\) ist \(|a|=a\), aber \(-a\) ist negativ — das passt nicht. Für negative \(a\) ist \(-a\) positiv und genau der Abstand zur 0, also \(|a|=-a\). Für \(a=0\) gilt \(0=0\). Die Gleichung stimmt also für alle \(a\le0\).
Ein Produkt hat sieben negative und drei positive Faktoren, keiner ist 0. Begründe, welches Vorzeichen das Produkt hat.
Hinweis: Fasse negative Faktoren paarweise zusammen.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Je zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. Aus sieben negativen Faktoren lassen sich drei Paare bilden, einer bleibt übrig. Das Produkt ist also „positiv mal negativ“ und damit negativ. Die positiven Faktoren ändern das Vorzeichen nicht.
Tom behauptet: „\(-1\) ist die größte negative Zahl.“ Nimm Stellung.
Hinweis: Suche Zahlen zwischen \(-1\) und \(0\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Tom irrt. \(-0{,}5\) ist negativ und größer als \(-1\). Zu jeder negativen rationalen Zahl gibt es eine größere, z. B. die Hälfte: \(-0{,}5,\ -0{,}25,\ -0{,}125,\ \ldots\) — alle negativ und immer näher an 0. Eine größte negative Zahl gibt es nicht.
Es gilt \(a<b\). Begründe, dass dann \(-a>-b\) gilt.
Hinweis: Die Gegenzahl ist das Spiegelbild an der 0.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: \(a<b\) heißt: \(a\) liegt links von \(b\). Beim Spiegeln an der 0 werden links und rechts vertauscht. Also liegt \(-a\) rechts von \(-b\), das heißt \(-a>-b\). Beispiel: \(2<5\) und \(-2>-5\).
Tim tippt \((-38{,}7)\cdot4{,}9\) ein und notiert \(-1896{,}3\). Beurteile sein Ergebnis mit einem Überschlag.
Hinweis: Runde auf Zehner bzw. Einer.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Überschlag: \(-40\cdot5=-200\). Tims Ergebnis ist etwa zehnmal zu groß — vermutlich hat er \(49\) statt \(4{,}9\) eingetippt. Richtig ist \((-38{,}7)\cdot4{,}9=-189{,}63\). Das Vorzeichen stimmt.
Erkläre, warum \(20-7-3=20-(7+3)\) gilt, aber \(20-7+3\ne20-(7+3)\).
Hinweis: Löse \(20-(7+3)\) auf.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Löst man die Minusklammer auf, drehen sich beide Zeichen um: \(20-(7+3)=20-7-3=10\). Bei \(20-7+3=16\) wird die 3 aber addiert. Wer nacheinander 7 und 3 abzieht, zieht insgesamt 10 ab — wer 3 wieder dazugibt, nicht.