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Das Sparbuch von Oma
AFB I–IIOma legt zu Leonies Geburt 3 000 € auf ein Sparbuch mit 2 % Zinsen und Zinseszins.
- Berechne den Kontostand nach 1, 2 und 3 Jahren.
- Gib einen Term für den Kontostand nach 18 Jahren an und berechne ihn.
- Vergleiche mit dem Kontostand ohne Zinseszins nach 18 Jahren.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Jedes Jahr mal 1,02.
Hinweis zu Aufgabe b)
K₁₈ = K₀ · q¹⁸.
Hinweis zu Aufgabe c)
Ohne Zinseszins: jedes Jahr 60 €.
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
3 060 €; 3 121,20 €; 3 183,62 €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
3 000 € · 1,02¹⁸ ≈ 4 284,74 €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ohne Zinseszins: 3 000 € + 18 · 60 € = 4 080 €. Durch den Zinseszins sind es gut 204 € mehr.
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Zwei Sparpläne
AFB II–IIIBen legt 2 000 € zu 4 % mit Zinseszins an. Mara legt 2 000 € zu 5 % an, lässt sich die Zinsen aber jedes Jahr auszahlen.
- Stelle für beide einen Term für das Geld nach n Jahren auf (bei Mara: Konto plus ausgezahlte Zinsen).
- Untersuche mit einer Tabelle, wer nach 5, 10 und 20 Jahren mehr hat.
- Beurteile Maras Aussage: „Mein Zinssatz ist höher, also habe ich immer mehr Geld.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Ben exponentiell, Mara linear.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne mit dem Taschenrechner, Jahr für Jahr oder mit der Potenz.
Hinweis zu Aufgabe c)
Betrachte die Tabelle aus b).
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ben: 2 000 € · 1,04ⁿ. Mara: 2 000 € + n · 100 €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
n = 5: Ben 2 433,31 €, Mara 2 500 €. n = 10: Ben 2 960,49 €, Mara 3 000 €. n = 20: Ben 4 382,25 €, Mara 4 000 €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage ist falsch: Anfangs liegt Mara vorne, zwischen dem 10. und 20. Jahr überholt Ben sie (ab dem 12. Jahr: 3 202,06 € gegen 3 200 €), weil beim Zinseszins der Zuwachs jedes Jahr größer wird.