1
Zinsen werden mitverzinst
- Zinseszins:die Zinsen bleiben auf dem Konto und werden im nächsten Jahr mitverzinst.
- Jahr für Jahr:jedes Jahr mit dem Zinsfaktor \(q=1+\frac{p}{100}\) multiplizieren (vermehrter Grundwert).
- Beispiel:1 000 € zu 5 %: \(1000\,€\to 1050\,€\to 1102{,}50\,€\to 1157{,}63\,€\).
- Zuwachs:50 €, dann 52,50 €, dann 55,13 € — jedes Jahr etwas mehr.
Herleitung:
\(K_1=K_0\cdot q\)
| \(\cdot q\)
Nach einem Jahr: Startkapital mal Zinsfaktor.
\(K_2=K_1\cdot q=K_0\cdot q\cdot q\)
| \(\cdot q\)
Im zweiten Jahr wird das neue Kapital verzinst.
\(K_n=K_0\cdot q^n\)
Ergebnis
Nach \(n\) Jahren wurde \(n\)-mal mit \(q\) multipliziert.
Merke
Kapital nach n Jahren: \(K_n=K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n\)
2
Mit und ohne Zinseszins
- Ohne Zinseszins:jedes Jahr gleich viel Zinsen, \(K_0+n\cdot Z\) — z. B. werden Zinsen jährlich ausgezahlt.
- Mit Zinseszins:der Zuwachs selbst wird größer, der Unterschied wächst mit der Zeit.
- Beispiel 10 Jahre, 5 %:ohne Zinseszins 1 500 €, mit Zinseszins \(1000\,€\cdot 1{,}05^{10}\approx 1628{,}89\,€\).
Starte die Simulation mit ▶: Jahr für Jahr kommen die Zinsen aufs Konto. Blau ist das Startkapital, grün die Zinsen auf die 1 000 €, orange die Zinsen auf frühere Zinsen. Stelle vorher den Zinssatz ein.
Halte fest: Ohne Zinseszins wächst das Konto jedes Jahr um denselben Betrag. Mit Zinseszins wird der orange Teil jedes Jahr größer — der Zuwachs selbst wächst.
3
Allgemeine Hinweise
Nicht einfach malnehmen
10 Jahre zu 5 % sind nicht \(+50\,\%\), sondern \(1{,}05^{10}\approx 1{,}629\), also \(+62{,}9\,\%\).
Jahr für Jahr mit dem GTR
Casio fx-CG50: 1000 EXE, dann × 1.05 EXE — der Rechner schreibt Ans×1.05. Jedes weitere EXE ist ein Jahr.
Jahr für Jahr mit dem CAS
TI-Nspire: 1000 enter, dann × 1.05 enter — daraus wird ans·1.05. Jedes weitere enter rechnet ein Jahr weiter.